Barkerin yhtälö

Barker -yhtälö on implisiittinen yhtälö, joka määrittää taivaankappaleen sijainnin ( tosi anomalia ) ja ajan välisen suhteen liikkuessaan parabolista kiertorataa pitkin [1] . Tätä yhtälöä on käytetty laajalti komeettojen kiertoradan tutkimuksessa [2] , joiden kiertoradalla on epäkeskisyys lähellä yksikköä. Tällä hetkellä tätä yhtälöä käytetään astrodynamiikassa [2]

Barkerin yhtälöön johtava ongelma

Kahden kappaleen ongelman ratkaisu antaa ratayhtälön napakoordinaateissa muodossa

r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta ))

missä on rataparametri; on kiertoradan epäkeskisyys; - todellinen poikkeama - kulma kehon nykyisen sijainnin sädevektorin ja periapsiksen suunnan välillä. Toisaalta Keplerin toinen laki pätee. $s$ $e$ $\vartheta$

r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}=c

missä on pinta-ala vakio. Näiden yhtälöiden perusteella on helppo saada integraali, joka yhdistää ajan ja todellisen poikkeaman pisteissä ja kiertoradoissa. $c$ $A_0$ $A_{1}$

{\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \oikea)^{2))))

Tämän integraalin laskentatapa riippuu epäkeskisyyden määrästä (katso Keplerin yhtälö ). Paraboliselle liikeradalle tässä tapauksessa pääsemme triviaaliin muunnosketjuun $e=1$

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\right) ^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{ 1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _ {0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz ={\frac {p^{2}}{2\,c}}\vasen[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg} }{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1 }}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Ottaen huomioon, että rataparametri liittyy pinta-alavakioon

p={\frac {c^{2}}{\mu }}

missä on keskuskappaleen painovoimaparametri ja pinta-alavakio parabolisen liikkeen tapauksessa $\mu$

c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu }{r_{\pi ))))

missä on etäisyys periapsikseen; - nopeus kehäkeskuksessa, kun liikutaan paraabelia pitkin, mikä on parabolinen nopeus . Sitten saamme rataparametrin ja saamme lopullisen lausekkeen ${\displaystyle r_{\pi ))$ $v_{\pi }$ $p=2\,r_{\pi }$

t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}} {\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\ vasen({\rm {tg))^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0} }{2}}\oikea)\oikea]

Nyt hyväksymme, että liikeradan alkupiste on pericenter, ja siksi muunnamme tuloksena olevan riippuvuuden muotoon $\vartheta _{0}=0$

n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\ rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}

missä on taivaankappaleen keskimääräinen liike . Tuloksena saamme muodon kuutiometrisen yhtälön $n={\sqrt {\frac {\mu }{2\,r_{\pi }^{3))))$

S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0

missä , on taivaankappaleen kiertoradan keskimääräinen poikkeama . Tätä yhtälöä kutsutaan Barkerin yhtälöksi . $S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}$ $M=n\,\left(t-t_{0}\right)$

Tämä yhtälö edustaa todellisen poikkeaman implisiittistä riippuvuutta ajasta, kun taivaankappale liikkuu parabolista lentorataa pitkin. $\vartheta (t)$

Barkerin yhtälön ratkaisu

Yhtälö

S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0

on Cardanon kanoniseen muotoon kirjoitettu kuutioyhtälö, jolla on analyyttinen ratkaisu. Tietokonealgebran avulla on helppo saada tämä ratkaisu, joka sisältää yhden todellisen ja kaksi kompleksista konjugaattijuurta

S_{1}=x-{\frac {1}{x)),\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2))+{\frac {1}{2 \,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)

missä $x={\frac {1}{2}}\,{\sqrt[{3}]{12\,M+4\,{\sqrt {9\,M^{2}+4}} }}$

Tämän ongelman fyysinen merkitys vastaa vain todellista juuria, joten voimme kirjoittaa

S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=x-{\frac {1}{x}}

Tämän juuren perusteella voidaan laskea todellisen poikkeaman sini ja kosini

\cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+ S^{2}}}\quad

jolla niiden merkki huomioon ottaen määritetään todellinen poikkeama $\vartheta \in [0,\,2\,\pi )$

Barkerin yhtälö

Barkerin yhtälöön johtava ongelma

Barkerin yhtälön ratkaisu

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus