Keplerin yhtälö

Kepler-yhtälö kuvaa kappaleen liikettä elliptisellä kiertoradalla kahden kappaleen ongelmassa ja sen muoto on:

Ee\,\sin E=M

missä on epäkeskopoikkeama , on kiertoradan epäkeskisyys ja on keskimääräinen poikkeama . $E$ $e$ $M$

Tämän yhtälön keksi ensimmäisen kerran tähtitieteilijä Johannes Kepler vuonna 1619 . Sillä on merkittävä rooli taivaanmekaniikassa .

Kepler-yhtälön muunnelmia

Keplerin yhtälö klassisessa muodossaan kuvaa liikettä vain elliptisiä ratoja pitkin eli pisteessä . Liike hyperbolisia ratoja pitkin noudattaa Keplerin hyperbolista yhtälöä , joka on muodoltaan samanlainen kuin klassinen. Suoraviivaista liikettä kuvaa Keplerin radiaalinen yhtälö . Lopuksi Barkerin yhtälöä käytetään kuvaamaan liikettä parabolisella kiertoradalla . Kun kiertoradat eivät ole olemassa. $0\leq e<1$ ${\näyttötyyli (e>1)}$ ${\näyttötyyli (e=-1)}$ ${\näyttötyyli (e=1)}$ $e<0$

Kepler-yhtälöön johtava ongelma

Tarkastellaan kiertoradalla olevan kappaleen liikettä toisen kappaleen kentässä. Selvitetään kappaleen sijainnin kiertoradalla riippuvuus ajasta. Keplerin toisesta laista seuraa se

r^{2}{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)} }

Tässä on etäisyys kehosta gravitaatiokeskukseen, onko todellinen poikkeavuus suuntien välinen kulma kiertoradan kehäkeskukseen ja kehoon, on gravitaatiovakion ja gravitaatiokappaleen massan tulo, on kiertoradan puolipääakseli. Tästä on mahdollista saada kiertoradalla liikkumisajan riippuvuus todellisesta poikkeavuudesta: $r$ $\vartheta$ ${\displaystyle \mu =GM_{0))$ $a$

t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)))}\int \limits _{0}^{\ vartheta }r^{2}d\vartheta

Tässä on periapsiksen läpikulun aika. $t_0$

Ongelman jatkoratkaisu riippuu kiertoradan tyypistä, jota pitkin keho liikkuu.

Elliptinen kiertorata

Ellipsiyhtälöllä napakoordinaateissa on muoto

{\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta ))))

Sitten ajan yhtälö saa muodon

{\displaystyle t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2)){\sqrt {\mu ))} \int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2))))

Ota integraali käyttöön seuraavalla korvauksella:

\operaattorinnimi {tg} {\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operaattorinimi {tg} {\frac {E }{2}}

E:n arvoa kutsutaan epäkeskiseksi anomaliaksi . Tämän korvauksen ansiosta integraali on helppo ottaa. Siitä selviää seuraava yhtälö:

t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(Ee\sin E\right)

Arvo on kappaleen keskimääräinen kulmanopeus kiertoradalla. Taivaanmekaniikassa tälle suurelle käytetään termiä keskiliike. Keskimääräisen liikkeen ja ajan tuloa kutsutaan keskimääräiseksi anomaliaksi M. Tämä arvo on kulma, jossa kappaleen sädevektori kääntyisi, jos se liikkuisi ympyräradalla, jonka säde on yhtä suuri kuin kappaleen kiertoradan pääpuoliakseli. ${\sqrt {{\frac {\mu }{a^{3))))}$

Siten saamme Kepler-yhtälön elliptiselle liikkeelle:

Ee\sin E=M

Hyperbolinen kiertorata

Napakoordinaateissa olevan hyperbolin yhtälöllä on sama muoto kuin ellipsin yhtälöllä. Siten integraali saadaan samassa muodossa. Epäkeskistä poikkeamaa ei kuitenkaan voida käyttää tässä tapauksessa. Käytämme hyperbelin parametriesitystä: , . Sitten hyperbelin yhtälö saa muodon $x=-a\,{\mathrm {ch}}\,H$ $y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H$

r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)

ja suhde ja $\vartheta$ $H$

\mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{ \frac {H}{2}}

Tämän substituution ansiosta integraali saa saman muodon kuin elliptisen kiertoradan tapauksessa. Muutosten suorittamisen jälkeen saamme hyperbolisen Kepler-yhtälön:

M=e\,{\mathrm {sh}}\,HH

Suuruutta kutsutaan hyperboliseksi epäkeskiseksi anomaliaksi . Koska , niin viimeinen yhtälö voidaan muuntaa seuraavasti: $H$ ${\mathrm {sh}}\,H=-i\sin {iH}$

M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(Ee\sin E\oikea)

Tästä on selvää, että . $E=iH$

Parabolinen kiertorata

Paraabeliyhtälöllä napakoordinaateissa on muoto

$r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}$

missä on etäisyys periapsikseen. Keplerin toinen laki tapaukselle, jossa liike tapahtuu parabolisella liikeradalla ${\displaystyle r_{\pi ))$

$r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}$

Mistä saamme integraalin, joka määrää liikeajan

${\displaystyle t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2))))$

Esittelemme universaalin trigonometrisen muutoksen

$z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2)),\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

ja muuntaa integraalin

$t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\ cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\ pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\ ,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{ 3}}\oikea)\oikea|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}$

vihdoin saamme

$t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,} }{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)$

Jälkimmäinen suhde tunnetaan taivaanmekaniikassa Barkerin yhtälönä .

Radiaalinen kiertorata

Rataa kutsutaan säteittäiseksi radaksi, joka on vetokeskuksen läpi kulkeva suora viiva. Tässä tapauksessa nopeusvektori on suunnattu liikerataa pitkin eikä siinä ole poikittaiskomponenttia [1] , mikä tarkoittaa

$v={\frac {dr}{dt))$

Löydämme kehon kiertoradalla asennon ja ajan välisen suhteen energianäkökulmasta

${\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}$

$v^{2}={\frac {2\mu }{r}}+h$

on energiaintegraali. Tästä syystä meillä on differentiaaliyhtälö

${\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt ({\frac {2\mu }{r}}+h}}$

Erottelemalla muuttujat tässä yhtälössä saamme integraalin

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{ \cfrac {2\mu }{r}}+h}}}$

jonka laskentatapa määräytyy vakion etumerkillä . Tapauksia on kolme $h$

$h<0$ suoraviivainen elliptinen kiertorata

Vastaa tapausta, jossa kehon mekaaninen kokonaisenergia on negatiivinen ja siirryttyään tietylle maksimietäisyydelle vetokeskuksesta, se alkaa liikkua vastakkaiseen suuntaan. Tämä on analogista liikkumiseen elliptisellä kiertoradalla. Integraalin laskemiseksi otamme käyttöön korvauksen

${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsin}} {\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\ ,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du$

laske integraali

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits _{ u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}} }\left.\left(2\,u-\sin 2u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Olettaen , kirjoitamme tuloksen $E=2\,u$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h))))\left(E_{1}-E_ {0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\oikea)$

Kun otetaan (todellisuudessa saavuttamattomaksi) ehdollinen periapsis ja alkunopeuden suunta vetokeskuksesta, saadaan ns. radiaalinen Kepler-yhtälö, joka yhdistää etäisyyden vetokeskuksesta liikkeen aikaan. $r_{0}=0$

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h))))\left(E-\sin E\right)$

missä . ${\displaystyle E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu ))))$

$h=0$ suoraviivainen parabolinen kiertorata

Säteittäisesti laukaistu kappale siirtyy äärettömään vetokeskuksesta, jonka nopeus on yhtä suuri kuin nolla äärettömässä. Vastaa parabolisella nopeudella tapahtuvaa liikettä. Yksinkertaisin tapaus, koska se ei vaadi vaihtamista integraalissa

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\ cfrac {2\mu }{r))))={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_ {1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\oikea)$

Kun otetaan ensimmäisen tapauksen alkuehdot, saadaan eksplisiittinen liikelaki

$r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac { 2}{3}}$

$h>0$ suoraviivainen hyperbolinen kiertorata

Vastaa lähtöä vetokeskuksesta äärettömään. Äärettömässä keholla on nopeus, . Esittelemme korvaavan $v_{\infty }={\sqrt {h))$

${\frac {2\,\mu }{r))={\frac {h}({\rm {sh))^{2}u)),\quad u_{0}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac { h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\ rm {ch}}u\,du$

ja laske integraali

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{h{\sqrt {h))))\int \limits _{u_{ 0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \ rajat _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt { h))))\left.\left({\rm {sh}}2u-2\,u\oikea)\oikea|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Olettaen , saamme $H=2\,u$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{h{\sqrt {h))))\left({\rm {sh))\ ,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)$

Jos alkuehdot ovat samanlaiset kuin ensimmäisessä tapauksessa, meillä on Keplerin hyperbolinen radiaalinen yhtälö

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{h{\sqrt {h))))\left({\rm {sh))HH\right)$

missä ${\displaystyle H=2\,{\rm {arcsh)){\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu ))))$

Kepler-yhtälön ratkaisu

Keplerin yhtälön ratkaisu elliptisessä ja hyperbolisessa tapauksessa on olemassa ja on ainutlaatuinen mille tahansa todelliselle M:lle [2] . Ympyräradalla (e \u003d 0) Kepler-yhtälö saa triviaalimuodon M \u003d E. Yleensä Kepler-yhtälö on transsendentaalinen . Sitä ei ratkaista algebrallisissa funktioissa. Sen ratkaisu voidaan kuitenkin löytää monin eri tavoin käyttämällä konvergenttisarjoja . Keplerin yhtälön yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa Fourier-sarjan avulla :

E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n))J_{n}\left(n\,e\,\right)\cdot \sin{nM}

missä

J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\ oikea)dE

on Besselin funktio .

Tämä sarja konvergoi, kun ε:n arvo ei ylitä Laplacen rajan arvoa .

Likimääräiset menetelmät

Numeerisista menetelmistä Kepler-yhtälön ratkaisemiseksi käytetään usein kiinteän pisteen menetelmää ("yksinkertainen iteraatiomenetelmä") ja Newtonin menetelmää [3] . Kiinteän pisteen menetelmässä elliptisessä tapauksessa E 0 :n alkuarvoksi voidaan ottaa M , ja peräkkäisillä approksimaatioilla on seuraava muoto [2] :

E_{n+1}=e\,\sin E_{n}+M

Hyperbolisessa tapauksessa kiinteän pisteen menetelmää ei voida käyttää tällä tavalla, mutta tämä menetelmä mahdollistaa tällaiselle tapaukselle toisen approksimaatiokaavan (hyperbolisella käänteissinillä) johtamisen [2] :

H_{n+1}=\operaattorinimi {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{e))

Muistiinpanot

↑ Lukyanov, Shirmin, 2009 , s. 70-71.
↑ 1 2 3 Balk M. B. Keplerin yhtälön ratkaisu // Avaruuslentojen dynamiikan elementit. - M .: Nauka , 1965. - S. 111-118. – 340 s. — (Avaruuslennon mekaniikka).
↑ Balk M. B., Demin V. G., Kunitsyn A. L. Kepler-yhtälön ratkaisu // Taivaanmekaniikan ja kosmodynamiikan tehtävien kokoelma. — M .: Nauka , 1972. — S. 63. — 336 s.

Kirjallisuus

D. E. Okhotsimsky , Yu. G. Sikharulidze. Avaruuslennon mekaniikan perusteet. - Moskova: "Nauka", 1990.
V. E. Žarov. Pallotähtitiede . - Fryazino, 2006. - S. 480 . — ISBN ISBN 5-85099-168-9 .
G. M. Fikhtengolts. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. Osa 3
Lukyanov L.G., Shirmin G.I. Luennot taivaanmekaniikasta. - Almaty, 2009. - S. 276.

Taivaan mekaniikka

Lait ja tehtävät	Newtonin lait Painovoimalaki Keplerin lait Kaksi kehon ongelmaa Kolme kehon ongelmaa Gravitaatio N-kappaleen ongelma Bertrandin ongelma Keplerin yhtälö
Taivaallinen pallo	Taivaallinen koordinaattijärjestelmä galaktinen vaakasuoraan päiväntasaajan- ekliptiikka Kansainvälinen taivaankoordinaattijärjestelmä Pallomainen koordinaattijärjestelmä maailman akseli Taivaallinen päiväntasaaja oikea ylösnousemus deklinaatio Ekliptinen Päiväntasaus Päivänseisaus perustaso
Rataparametrit _	Kepleriläiset kiertoradan elementit epäkeskisyys puolipääakseli tarkoittaa anomaliaa nouseva solmupituusaste periapsis argumentti Apocenter ja periapsis Ratanopeus Ratasolmu Epoch
Taivaankappaleiden liikkeet	Auringon ja planeettojen liike taivaalla Ephemeris Planeetan kokoonpanot vastakkainasettelua yhdiste kvadratuuri venymä planeettojen paraati Pimennys auringonpimennys kuunpimennys saros Metoninen kierto Pinnoite Ohjaus huipentuma sideerinen ajanjakso synodinen ajanjakso Kiertojakso kiertoradan resonanssi Equinox Prelude Lähentyminen libration Painovoiman laajuus Kozai-efekti Jarkovski-efekti Dzhanibekovin vaikutus

Astrodynamiikka

Avaruuslento	avaruuden nopeus ensimmäinen (ympyrä) toinen (parabolinen) kolmas neljäs Tsiolkovskyn kaava Painovoiman liike Hohmannin lentorata Elementtien oskulointimenetelmä Vuorovesikiihtyvyys Orbitaalin kaltevuuden muutos Planeettojen välinen liikenneverkko Telakointi Lagrangen pisteet Pioneeriefekti
SC kiertoradalla	geostationaarinen kiertorata Heliosentrinen kiertorata geosynkroninen kiertorata geosentrinen kiertorata geosiirtorata Matala maan kiertorata napainen kiertorata Rata "Tundra" Auringon synkroninen kiertorata Rata "Salama" Oskuloiva kiertorata

Johannes Kepler
Tieteelliset saavutukset	Keplerin hypoteesi Keplerin lait Kepleriläiset kiertoradan elementit Keplerin kolmio Keplerin yhtälö Kepler-Poinsot-runko Supernova Kepler
Julkaisut	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–21) Harmonices Mundi (1619) Rudolfiinipöydät (1627) somnium (1634)
Perhe	Katharina Kepler (äiti) Jacob Barch (vävy)