Kolme kehon ongelmaa

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Kolmen kappaleen ongelma tähtitieteessä on yksi taivaanmekaniikan tehtävistä, ja siinä määritetään kolmen Newtonin painovoimalain mukaan vuorovaikutuksessa olevan kappaleen (materiaalipisteen) suhteellinen liike (esimerkiksi Aurinko , Maa ja Kuu ). Toisin kuin kahden kappaleen ongelma , yleisessä tapauksessa ongelmalla ei ole ratkaisua äärellisten analyyttisten lausekkeiden muodossa. Erikoisalkunopeuksille ja kohdekoordinaateille tunnetaan vain yksittäisiä tarkkoja ratkaisuja.

Matemaattinen muotoilu

Taivaanmekaniikan yleistä kolmen kappaleen ongelmaa kuvataan toisen asteen tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmällä

$\left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{ 2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol { q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_ {1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\ gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}} _{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+ \gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\ lihavoitu symboli {q}}_{3}|^{3}}}\end{array}}\quad \right\}$

missä on gravitaatiovakio , ovat kappaleiden massat, ovat sädevektorit, jotka määrittävät niiden sijainnin, ja piste tarkoittaa ajan derivaatta. $\gamma$ $mi}$ ${\boldsymbol {q}}_{i}$

Yksityiset päätökset

Tällä hetkellä tunnetaan yli tuhat erityistä ratkaisua:

Euler löysi kolme ensimmäistä ratkaisua vuonna 1767. Ne ovat olemassa, kun kaikki kolme kappaletta ovat samalla suoralla . Tässä tapauksessa on 3 mahdollista järjestelysekvenssiä (kolmas runko on kahden muun välissä, joko molempien vasemmalla tai oikealla puolella). Tällaista liikettä kutsutaan kollineaariseksi .
Vuonna 1772 Lagrange löysi kaksi muuta ratkaisua . Niissä kappaleiden muodostama kolmio pysyy tasasivuisena ja pyörii avaruudessa.
Vuosina 1892-1899 Henri Poincaré osoitti, että kolmen kehon ongelmaan on äärettömän monia erityisiä ratkaisuja.
Vuonna 1911 W. D. Macmillan löysi uuden erityisen ratkaisun, mutta ilman selkeää matemaattista perustetta. Vasta vuonna 1961 Neuvostoliiton matemaatikko K. A. Sitnikov onnistui löytämään tarkan matemaattisen todisteen tälle tapaukselle (katso Sitnikovin ongelma ).
1970-luvun puolivälissä R. Broucke ( englanniksi Roger A. Broucke ), M. Henot ( ranska Michel Hénon ) ja J. Hadjidemetriou ( englanniksi John D. Hadjidemetriou ) löysivät itsenäisesti Brooke-Hénot-reittien perheen - Hadjidemetriou [1] .
Vuonna 1993 Moore [2] [3] löysi toisen ratkaisun stabiilien "kahdeksan" kiertoradan muodossa .

Vuonna 2013 serbialaiset tutkijat Milovan Shuvakov ja Velko Dmitrashinovich Belgradin fysiikan instituutista löysivät 11 uutta jaksoittaista osittaista ratkaisua kolmen kappaleen, joilla on sama massa, ongelmaan [1] [4] .
Vuoteen 2017 mennessä joukko kiinalaisia matemaatikoita oli luonut oman algoritminsa jaksollisten lentoratojen löytämiseksi, jota he kutsuivat Clean Numerical Simulation -simulaatioksi . Sen avulla tiedemiehet laskivat uusia lentoratoja, minkä seurauksena kolmen kehon ongelman jaksollisten liikeratojen tunnettujen perheiden lukumääräksi tuli 695. Jatkaessaan työtä tämä tiedemiesryhmä laski vielä 1223 erityistä ratkaisua ongelmaan.
Vuonna 2018 matemaatikko Liao Shijun ja hänen kollegansa Shanghain liikenneyliopistosta löysivät 234 uutta erityistä ratkaisua kolmen kappaleen ongelmaan ilman törmäyksiä käyttämällä supertietokonetta [5] .

Yleinen tapaus

Yleisessä tapauksessa Weierstrass ehdotti seuraavaa ongelmaa ( 1885 , kilpailu Ruotsin kuninkaan Oscar II :n palkinnosta ):

Olkoon järjestelmä, jossa on mielivaltainen määrä aineellisia pisteitä, jotka ovat vuorovaikutuksessa Newtonin lain mukaan. Olettaen, että kahden pisteen yhteentörmäystä ei tapahdu, jokaisen pisteen koordinaatit on esitettävä sarjana joidenkin jatkuvien ajan funktioiden muodossa, jotka konvergoivat tasaisesti tämän muuttujan kaikille todellisille arvoille. .

- Pogrebyssky I. B. Kommentti Poincarén kolmikeho-ongelmasta // Poincaré A . Valitut teokset. - T. 2. - M .: Nauka, 1979. - S. 967-976.

Likimääräinen ratkaisu

Ilmeisesti Weierstrass itse, tukeutuen kuuluisaan lauseeseensa mielivaltaisen funktion approksimaatiosta polynomeilla , halusi saada lausekkeen kappaleiden koordinaateille muodossa

\lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)

missä on polynomeja. $P_{n}$

Tällaisten polynomien olemassaolo seuraa välittömästi ratkaisun jatkuvuudesta, mutta toistaiseksi ei ole ollut mahdollista löytää konstruktiivista tapaa löytää polynomia.

Keskustelu Weierstrassin ongelmassa kuvatun tilanteen mahdollisuudesta johti useisiin tärkeisiin johtopäätöksiin:

Jos kolmen kappaleen ongelman ratkaisu on holomorfinen funktio intervallissa ja lakkaa olemasta sellainen kohdassa , niin kappaleiden väliset etäisyydet ovat yleensä nollassa (kappaleiden kolminkertainen törmäys), tai yksi niistä pyrkii nollaan, ja kahdella muulla on taipumus olla äärellisissä rajoissa (yksinkertaiset törmäyskappaleet). ( Painlevé , 1897); $t$ $[0,t_{0})$ $t=t_{0}$ $t\nuoli oikealle t_{0}-0$
Kolminkertainen törmäys kolmen kappaleen ongelmassa on mahdollista vain, jos järjestelmän kulmamomentti katoaa, ja siksi se voi tapahtua vain hyvin erityisillä lähtötiedoilla. ( F. A. Sludsky , 1874);
Jos järjestelmän kulmamomentti ei ole nolla, on olemassa ns. regularisoiva parametri , jonka kautta voidaan ilmaista koordinaatit ja aika holomorfisesti todellisen akselin läheisyydessä . ( Sundman , 1912; Burdet antoi lyhyen todisteen vuonna 1967 [6] ). $s$ $s$

Tämä sai Poincarén ja Zundmanin etsimään ratkaisua ei funktioiden muodossa , vaan jonkin parametrin sarjan muodossa . Nimittäin kolmen kappaleen ja ajan koordinaatit ovat holomorfisia funktioita pitkin tason koko reaaliakselia eli siellä on jokin alue, jolla koordinaatit ovat holomorfisia. Riemmannin lauseen mukaan tämä alue voidaan kuvata yksikkösäteen ympyrään , jolloin kolmen kappaleen ja ajan koordinaatit voidaan esittää parametrin holomorfinen funktioina yksikkösäteisessä ympyrässä. Tällaisia funktioita voidaan esittää positiivisten potenssien sarjoina, jotka suppenevat koko ympyrässä . Zundman löysi nämä sarjat vuonna 1912 , tarkemmin sanottuna, löydettiin algoritmi niiden kertoimien löytämiseksi. Valitettavasti, kuten D. Beloritsky [7] osoitti , ainakin Lagrangen tapauksessa laskennallisen tähtitieteen tarpeita varten ainakin termit on otettava suppenevissa Sundman-sarjoissa. $t$ $s$ $s$ $|v|<1$ $v$ $v$ $10^{8\cdot 10^{6}}$

Tarkka ratkaisu

Kolmirunkoinen järjestelmä on yksinkertaisin järjestelmä, jossa on dynaaminen kaaos [1] .

Bruns ja Poincaré osoittivat, että kolmen kappaleen liikkeen differentiaaliyhtälöjärjestelmää ei voida pelkistää integroitavaksi [1] . Niiden löytö tarkoittaa, että dynaamiset järjestelmät eivät ole isomorfisia .

Yksinkertaiset integroitavat järjestelmät voidaan hajottaa ei-vuorovaikutteisiksi alijärjestelmiksi, mutta yleensä vuorovaikutuksia on mahdotonta sulkea pois.

Katso myös

Kaksi kehon ongelmaa
Gravitaatio N-kappaleen ongelma
Michael Minovich
Faddeev-yhtälöt (kolmen hiukkasen ongelma kvanttimekaniikassa.)

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Trunin, D. Kolmen kehon ongelmassa löydettiin yli kuusisataa jaksoittaista liikerataa : [ arch. 7. marraskuuta 2018 ] // N+1. - 2017 - 12. lokakuuta.
↑ Stewart, 2016 , s. 217.
↑ Serbialaiset fyysikot ovat laajentaneet merkittävästi "kolmen kehon ongelman" tunnettujen ratkaisujen määrää . Haettu 10. tammikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 11. tammikuuta 2019. (määrätön)
↑ Fyysikot ovat löytäneet uusia ratkaisuja Newtonin kolmen kappaleen ongelmaan . Lenta.ru (11. maaliskuuta 2013). Haettu 17. maaliskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 21. maaliskuuta 2013. (määrätön)
↑ Li, Xiaoming ja Liao, Shijun. Törmäysttömät jaksolliset kiertoradat vapaan pudotuksen kolmen kappaleen ongelmassa . – 21.5.2018
↑ Marsalkka K. Kolmen ruumiin ongelma. M.-Iževsk, 2004
↑ Belorizky, D. Sur la Solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // CR 193, 766-768, 1931.

Kirjallisuus

Alekseev V. M. Luennot taivaanmekaniikasta. - Izhevsk: RHD, 2001. - 156 s.
Siegel KL Luennot taivaanmekaniikasta. - M .: IL, 1959. - 300 s.
Marsalkka K. Kolmen ruumiin ongelma. - Izhevsk: RHD, 2004. - 640 s.
Ian Stewart . Suurimmat matematiikan ongelmat. — M. : Alpina tietokirjallisuus, 2016. — 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Linkit

Checiner, Alain (2007). "Kolmen kehon ongelma". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ ...2.2111C . DOI : 10.4249/scholarpedia.2111 .
Tiedemiehet ovat lähellä vihdoinkin ratkaisevansa kolmen kehon ongelman . Popular Mechanics (13.5.2021). (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph124613

Taivaan mekaniikka

Lait ja tehtävät	Newtonin lait Painovoimalaki Keplerin lait Kaksi kehon ongelmaa Kolme kehon ongelmaa Gravitaatio N-kappaleen ongelma Bertrandin ongelma Keplerin yhtälö
Taivaallinen pallo	Taivaallinen koordinaattijärjestelmä galaktinen vaakasuoraan päiväntasaajan- ekliptiikka Kansainvälinen taivaankoordinaattijärjestelmä Pallomainen koordinaattijärjestelmä maailman akseli Taivaallinen päiväntasaaja oikea ylösnousemus deklinaatio Ekliptinen Päiväntasaus Päivänseisaus perustaso
Rataparametrit _	Kepleriläiset kiertoradan elementit epäkeskisyys puolipääakseli tarkoittaa anomaliaa nouseva solmupituusaste periapsis argumentti Apocenter ja periapsis Ratanopeus Ratasolmu Epoch
Taivaankappaleiden liikkeet	Auringon ja planeettojen liike taivaalla Ephemeris Planeetan kokoonpanot vastakkainasettelua yhdiste kvadratuuri venymä planeettojen paraati Pimennys auringonpimennys kuunpimennys saros Metoninen kierto Pinnoite Ohjaus huipentuma sideerinen ajanjakso synodinen ajanjakso Kiertojakso kiertoradan resonanssi Equinox Prelude Lähentyminen libration Painovoiman laajuus Kozai-efekti Jarkovski-efekti Dzhanibekovin vaikutus

Astrodynamiikka

Avaruuslento	avaruuden nopeus ensimmäinen (ympyrä) toinen (parabolinen) kolmas neljäs Tsiolkovskyn kaava Painovoiman liike Hohmannin lentorata Elementtien oskulointimenetelmä Vuorovesikiihtyvyys Orbitaalin kaltevuuden muutos Planeettojen välinen liikenneverkko Telakointi Lagrangen pisteet Pioneeriefekti
SC kiertoradalla	geostationaarinen kiertorata Heliosentrinen kiertorata geosynkroninen kiertorata geosentrinen kiertorata geosiirtorata Matala maan kiertorata napainen kiertorata Rata "Tundra" Auringon synkroninen kiertorata Rata "Salama" Oskuloiva kiertorata