Blochin yhtälöt

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. tammikuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Makroskooppiset yhtälöt, joilla lasketaan ydinmagnetisaatio M = ( M x , M y , M z ) ajan funktiona relaksaatioajoilla T 1 ja T 2 . Niitä käytetään laajalti sellaisilla fysiikan aloilla kuin NMR , MRI ja EPR . Nimetty Nobel -palkitun fyysikon Felix Blochin mukaan, joka esitteli ne ensimmäisen kerran vuonna 1946 [1] . Kirjallisuudessa niitä kutsutaan joskus ydinmagnetisoinnin liikeyhtälöiksi .

Yhtälöt laboratorion (stationaarisessa) koordinaattijärjestelmässä

Olkoon M ( t ) = ( M x ( t ), M y ( t ), M z ( t )) ydinmagnetisaatio. Sitten Bloch-yhtälöillä on seuraava muoto:

{\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_{y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}

tässä γ on gyromagneettinen suhde ja B ( t ) = ( B x ( t ), B y ( t ), B 0 + Δ B z (t)) on magneettikentän voimakkuus ytimessä. Vektorin B Z - komponentti on vakion ( B0 ) ja ajassa vaihtelevan ΔBz ( t ) summa , jota käytetään erityisesti NMR-signaalin spatiaaliseen resoluutioon. × on vektorien ristitulon merkki . M 0 - ydinmagnetisoinnin stationaarinen arvo (esim. pisteessä t → ∞) ulkoista syötettyä kenttää pitkin.

Fyysinen perustelu

Blochin yhtälöt ovat fenomenologisia . Ilman relaksaatiota (eli kohdissa T 1 ja T 2 → ∞) Bloch-yhtälöt yksinkertaistetaan seuraavasti:

{\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x))

{\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y))

{\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z))

tai vektorimuodossa:

{\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt))=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)

Tämä on yhtälö ydinmagnetisaation M Larmor-precessiolle ulkoisesti kohdistetun kentän B ympärillä .

Jäsenet

\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z }-M_{0}}{T_{1}}}\oikea)

vastaavat ydinmagnetisoinnin M pitkittäis- ja poikittaisrelaksaatioprosessia .

Blochin yhtälöt ovat makroskooppisia : ne ovat liikeyhtälöitä makroskooppiselle ydinmagnetisaatiolle, joka voidaan saada lisäämällä yhteen näytteen yksittäiset ydinmagneettiset momentit. Ne eivät sovellu kuvaamaan kunkin magneettisen momentin käyttäytymistä.

Bloch-yhtälöiden vaihtoehtoinen muoto

Kun olet avannut ristitulon sulut ja lisännyt M xy , B xy mukaan

M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ ja }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}

, saamme

{\frac {dM_{xy}(t)}{dt))=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_ {xy}(t)\oikea)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i\gamma \left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)))-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\oikea)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}

Tässä i = √(-1) ja : . ${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}$

M xy :n reaali- ja imaginaariosa vastaavat M x :ää ja M y :tä . M xy : tä kutsutaan joskus myös poikittaiseksi ydinmagnetisaatioksi .

Blochin yhtälöt pyörivässä koordinaattijärjestelmässä

Ilman relaksaatiota ( T 1 ja T 2 → ∞) ja jatkuvaa z-akselia pitkin suunnattua ulkoista kenttää ( B ( t ) = (0, 0, B 0 ), Blochin yhtälöiden ratkaisut ovat

{\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t))

M_{z}(t)=M_{0}={\text{const))

Siten poikittaismagnetisaatio M xy pyörii z-akselin ympäri kulmataajuudella ω 0 = γ B 0 vastapäivään. Pitkittäinen magnetointi Mz pysyy ajassa vakiona . Jos siirrytään taajuudella Ω pyörivään koordinaattijärjestelmään (jonka valinta voi määräytyä esimerkiksi ulkoisen muuttujakentän taajuudella ΔВ ), niin siinä oleva ratkaisu esitetään seuraavasti:

M_{z}'(t)=M_{z}(t)

M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)

Poikittaismagnetisoinnin liikeyhtälöt pyörivässä koordinaattijärjestelmässä

Korvaamalla edellisen osan lausekkeen saamme:

{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\oikea)}{ dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}=e^{ +i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'

Bloch-yhtälöt pyörivässä koordinaattijärjestelmässä ovat muotoa:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy }(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\oikea)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}\oikea]+ i\Omega M_{xy}'=\\&=\vasen[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z }(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\oikea)-{\frac {M_{xy}e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\ oikea]+i\Omega M_{xy}'=\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}'(t)-M_{z}'(t)B_{ xy}'(t)\oikea)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}

Kun otetaan huomioon aiemmin hyväksytty esitys magneettikentän voimakkuudesta vakio- ja muuttujakomponenttien summana ( B z ′( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t )), yhtälöt ottavat lopulta muoto:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\ Delta B_{z}(t))-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}=\\&=-i\gamma (t)B_{0}M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\ gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))}\\&=i(\ Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t) M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\\end{aligned}}

Termit oikealla puolella:

i (Ω - ω) M xy ′( t ) - Larmorin rotaatio koordinaatistossa, joka pyörii kulmataajuudella Ω suhteessa laboratorioon. Kääntyy nollaksi, kun Ω = ω 0 .
- i γ Δ B z ( t ) M xy ′ ( t ) määrittää magneettikentän epähomogeenisuuden vaikutuksen z-akselilla (riippuvuus Δ B z ( t )) poikittaiseen ydinmagnetoitumiseen.
i γ Δ B xy ′ ( t ) M z ( t ) määrittää poikittaismagnetisoinnin käyttäytymisen, kun vaihtuvaa poikittaismagneettikenttää ( Δ B xy ′ ( t ) ) kohdistetaan ydinmagnetointiin. Käytetään kuvaamaan pulssi-NMR :n vaikutuksia .
- M xy ′( t ) / T 2 kuvaa poikittaismagnetoinnin koherenssin vähenemistä ajan kanssa.

Yksinkertaisia ratkaisuja Blochin yhtälöihin

Poikittaisydinmagnetisaation M xy

Olettaa:

Ulkoinen magneettikenttä on vakio ja sitä sovelletaan z-akselia pitkin ( B z ′( t ) = B z ( t ) = B 0 ). Silloin ω 0 = γ B 0 , Δ B z ( t ) = 0 ja B xy ' = 0.
Koordinaatisto pyörii suhteessa laboratoriojärjestelmään taajuudella Ω = ω 0 .

Sitten pyörivässä koordinaattijärjestelmässä poikittaisen magnetisoinnin M xy '( t ) liikeyhtälö yksinkertaistetaan seuraavasti:

{\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))))

Ratkaisu tähän yhtälöön:

M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}

missä M xy '(0) on poikittaismagnetointi kohdassa t = 0. Kun RCS-taajuus on täsmälleen sama kuin Larmorin taajuus (Ω = ω 0 ), poikittaismagnetointivektori on vakio.

π/2 ja π impulssit

Oletetaan, että:

Pitkittäinen magneettikenttä on vakio ja sitä sovelletaan z-akselia pitkin. Toisin sanoen Bz '( t ) = Bz ( t ) = B 0 , ω 0 = γ B 0 ja Δ B z ( t ) = 0.
Ajanhetkellä t = 0 näytteeseen kohdistetaan vaihtuva poikittaismagneettikenttä taajuudella ω 0 .
Koordinaatisto pyörii suhteessa laboratoriojärjestelmään taajuudella Ω = ω 0 .

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\ gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}\end{aligned}}

Vaihtelemalla vaihtokentän käyttöaikaa on mahdollista saavuttaa ydinmagnetisoinnin precessio kulmien π/2 ja π kautta. Tuloksena voidaan havaita esimerkiksi spin kaikuefekti .

Pitkittäisen ydinmagnetisaation rentoutuminen M z

Linkit

↑ F Bloch , Nuclear Induction , Physics Review 70 , 460-473 (1946)

Kirjallisuus

Charles Kittel , Johdatus Solid State Physicsiin , John Wiley & Sons, 8. painos (2004), ISBN 978-0-471-41526-8 . Luku 13 käsittelee magneettiresonanssia.

Abraham A. Ydinmagnetismi, M.: Izdatelstvo inostr. lit., 1963.
Slikter Ch. Magneettiresonanssiteorian perusteet, M.: Mir, 1981.