Tilavuuden muoto

Tilavuusmuoto on korkeampiulotteinen differentiaalinen muoto sileässä monistossa (eli -muoto -ulotteisessa monistossa), joka ei katoa missään vaiheessa. $n$ $n$

Tilavuusmuodon avulla voimme määrittää funktion integraalin jakosarjan yli. Toisin sanoen tilavuuden muoto määrittelee mittarin , jonka yli funktioita voidaan integroida.

Ominaisuudet

Sileä jakotukki sallii tilavuusmuodon jos ja vain, jos se on suuntautuva.
Jakotukissa, jonka tilavuusmuoto on , vektorikentän divergentti voidaan määrittää käyttämällä seuraavia identiteettejä: $\omega$ $X$ $(\operaattorinnimi {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

jossa tarkoittaa Lie derivaatta suhteessa , on ulkoinen differentiaali ja on korvausoperaatio .

{\mathcal {L}}_{X}

X

d

X\;\lrcorner \;\omega

X

\omega

Esimerkkejä

Missä tahansa Lie-ryhmässä tilavuusmuodon luonnollinen valinta saadaan yhtenäismuodosta oikealle (tai vasemmalle) siirtymällä. Tällaisia muotoja kutsutaan oikeaksi ja vasemmaksi muuttumattomiksi. Tämän seurauksena jokainen valheryhmä on orientoituva. Vastaava mitta on nimeltään Haar-mitta .

Sympaattisella ulottuvuusjoukolla on luonnollinen tilavuusmuoto . ${\näyttötyyli (M,\omega )}$ $2{\cdot }n$ $\omega ^{{\wedge n}}$

Kaikilla suuntautuneilla pseudo-Riemannisilla (mukaan lukien Riemanni - jakoputkella ) on luonnollinen tilavuusmuoto, joka voidaan ilmaista paikallisissa koordinaateissa $\omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$

missä on metrisen tensorin esitysmatriisin determinantin itseisarvo .

|g|

Tilavuuden muoto

Ominaisuudet

Esimerkkejä

Kirjallisuus