Ranskan rautatiemittari

Ranskan rautatiemetri on harvinainen esimerkki metriikasta .

Tämän mittarin nimi tuli Ranskan erittäin keskeisesti rakennetusta (varsinkin aikaisemmasta) rautatieverkostosta , jossa lähes kaikki radat yhtyivät Pariisiin .

Tämän seuraukset olivat sellaiset, että esimerkiksi päästäksesi junalla Strasbourgista Lyoniin , sinun on tehtävä 400 km kiertotie Pariisin läpi - jouduit sietämään, että suoraa yhteyttä ei ole.

Tämä sai tuntemattoman matemaatikko määrittelemään seuraavan mittarin: jos tasossa on joukko pisteitä (Ranskan kaupungit, joilla on rautatieyhteys Pariisin kautta) ja - valittu kiinteä piste (Pariisi), metriikka voidaan määritellä seuraavasti: : $X$ $s$ $X$ $\rho \colon X\times X\to {\mathbb {R}}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x-p=\lambda (yp)\\\|xp\|+\|yp\|,&x -p\neq \lambda (yp)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Tässä se on ymmärrettävä etäisyydeksi rautatien varrella kaupungista kaupunkiin . $\rho (x,y)$ $x$ $y$

Tämä rakenne sallii alkeellisen yleistyksen mihin tahansa normiavaruuteen .

Ominaisuudet

Ei-degeneroituneessa tapauksessa, eli kun on ei-kollineaarisia vektoreita, Ranskan rautatiemetriikka on yksinkertaisin esimerkki metriikasta, jota ei generoi normi.

Todellakin, oletetaan päinvastoin. Olkoon tällainen sääntö olemassa. Otetaan kaksi ei-kollineaarista vektoria ja , joille . Sitten vektorit ja ovat myös ei-kollineaarisia, ja $a$ $b$ $\left|a\right|\leqslant \left|b\right|$ $a+b$ $b$

\rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)

Normin luomassa mittarissa tätä epäyhtälöä rikotaan: $d$

{\näyttötyyli d(p+a,p)=|p+ap|=|a|\leq d(p,p+b)=|ppb|=|-b|=|b|<d(p+a +b,p+b)=|p+a+bpb|=|a|.}

Siksi ei ole olemassa normia , joka luo Ranskan rautatiemittarin siinä mielessä $|\cdot |$ $\rho (x,\,y)=|xy|.$

Nimet p = 0

Ranskan metrometriikassa normi on mittari , joka määritellään [1] [2] : $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,&x\neq \lambda y\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Toisin sanoen Ranskan metrometriikka määritellään lyhimmän reitin pituudeksi pisteestä x pisteeseen y , jos x , y ja alkupiste ovat samalla suoralla, ja lyhimmän reitin pituudeksi pisteestä x pisteeseen y . alkuperä, muuten.

Ranskan metrometriikka on sama kuin Ranskan rautatiemittari siinä erityistapauksessa, jossa Pariisi on lähtöpisteessä ( p = 0).

Euklidisen normin mukaan Ranskan metron metriikkaa kutsutaan myös Pariisin metriikaksi , siilimetriksiksi , säteittäiseksi metriikaksi tai vahvistetuksi SNCF -metriikaksi [1] [2] [3] . $\|\cdot \|_{2}$

Brittiläinen rautatiemetriikka

Normille ( yleensä on ) Ison- Britannian rautatiemetriikka on metri (on ), joka määritellään muodossa $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\|x\|+\|y\|

jos , ja 0 muuten. Sitä kutsutaan myös Postin metriksi, Caterpillar -metriksi ja Shuttle-metriikka [1] [2] . $x\ney$

Toisin sanoen brittiläisen rautatiemetriikan mukaan sinun on aina käännettävä lähtökohdan kautta, ellei lähtöpaikka ole sama kuin määränpää.

Isossa-Britanniassa Britannian rautatien metriikkaa (British Rail metriikka ) kutsutaan joskus Ranskan metron metriksi [4] .

Esimerkkejä

s	x	y	FZhDM [5]	MFM [6]	IBJD [7]
$(0;0)$	$(0;3)$	$(6; 5)$	$3+ {\sqrt {61}}$	$3+ {\sqrt {61}}$	$3+ {\sqrt {61}}$
$(0;0)$	$(0;3)$	$(0;6)$	$3$	$3$	${\sqrt {45}}$
$(-3;2)$	$(0;3)$	$(0;6)$	${\sqrt {10}}+5$	$3$	${\sqrt {45}}$
	$(0;3)$	$(6; 5)$	${\sqrt {40}}$	$3+ {\sqrt {61}}$	$3+ {\sqrt {61}}$
	$(5; 12)$	$(12;5)$	${\sqrt {164}}+{\sqrt {234}}$	$26$	$26$
	$(5; 12)$	$(5; 12)$	$0$	$0$	$0$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Elena Deza, Michelle Marie Deza. Encyclopedic Dictionary of Distances = Dictionary of Distances. - M . : Nauka, 2008. - S. 278 . — ISBN 978-5-02-036043-3 .
↑ 1 2 3 Elena Deza, Michel Marie Deza. Etäisyyden tietosanakirja . - Springer, 2009. - S. 325 -326. - ISBN 978-3-642-00233-5 .
↑ Weisstein, Eric W. French Metro Metric Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Math 125A: Real Analysis, syksy 2012. Luku 7. Metriavaruudet . Haettu 24. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 6. joulukuuta 2013. (määrätön)
↑ Ranskan rautatiemetri
↑ Ranskan metrometri
↑ Ison-Britannian rautatiemetri (ei Yhdistyneessä kuningaskunnassa käytetyn määritelmän mukaan)