Kuvaava geometria

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Kuvaava geometria  on tekniikan tieteenala, joka edustaa kaksiulotteista geometrista laitteistoa ja algoritmisarjaa geometristen objektien ominaisuuksien tutkimiseen.

Käytännössä kuvaava geometria rajoittuu esineiden tutkimiseen kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa . Alkutiedot tulee esittää kahtena itsenäisenä ennusteena. Useimmissa ongelmissa ja algoritmeissa käytetään kahta ortogonaalista projektiota keskenään kohtisuoralle tasolle.

Tällä hetkellä tieteenalalla ei ole käytännön arvoa tietotekniikan ja lineaarialgebran kehityksen vuoksi , mutta se on luultavasti välttämätön osana yleistä insinöörikoulutusta tekniikan ja rakennusalan erikoisuuksilla.

Kuvaava geometria  on tiede, joka tutkii tilakuvioita projisoimalla (asettamalla) kohtisuorat joillekin kolmelle tasolle, jotka sitten katsotaan yhdistettyinä toisiinsa.

Tavanomaisessa kuvaustavassa viivoja, jotka ulottuvat kauas tarkkailijan silmästä, vaikka ne on kuvattu, sen mukaan, miltä ne näyttävät meille, lyhennetään, mutta tämän pienennyksen määrittää yleensä piirtäjä silmän perusteella, ja vaikka ne on kuvattu. joissakin tapauksissa se voidaan välittää tarkasti valokuvauksella, mutta suhdetta, jossa kuvatun kohteen eri linjat kärsivät supistuksia, on edelleen vaikea määrittää; lisäksi valokuvaaminen johtaa monissa tapauksissa myös perspektiivivirheisiin. Kuka tahansa mestari, oli se sitten puuseppä, lukkoseppä, sorvaaja, kivenhakkaaja tms., voi toteuttaa tilatun tuotteen asiakkaan toiveen mukaan vain, jos hänelle annetaan täsmälleen sama esine näytteeksi, hänen mallinsa tai mallinsa. piirustus , jonka mukaan kaikkien piirrettyjen viivojen mitat määritettäisiin helposti ja tarkasti, vaikka ne, jotka poistettaisiin kuvan syvyyksistä ja siksi kuvattaisiin lyhennettyinä. Kuvaava geometria opettaa sellaisten piirustusten tekemisen, joissa kohde on kuvattu melkein sellaisena kuin sen näemme, ja lisäksi siten, että piirretyistä viivoista voidaan tarkasti määrittää kuvatun kohteen mitat ja todellinen ulkonäkö.

Kuvaavan geometrian luomisen historia

Klassisessa teoksessaan "Geometrie descriptive" ("Descriptive geometry"), joka julkaistiin vuonna 1798, Gaspard Monge kehitti yleisen geometrisen teorian , joka mahdollistaa erilaisten stereometristen ongelmien ratkaisemisen tasaisella levyllä, joka sisältää kolmiulotteisen kappaleen ortogonaalisia projektioita . ] .

Hän loi abstraktin geometrisen mallin todellisesta avaruudesta , jonka mukaan jokaiselle kolmiulotteisen avaruuden pisteelle osoitetaan kaksi sen ortogonaalista projektiota keskenään kohtisuorassa oleville tasoille. Ajan mittaan kuvaavan geometrian sääntöjen mukaan rakennetusta projektiopiirroksesta tulee kaikkien maiden insinöörien , arkkitehtien ja teknikkojen työväline . [yksi]

Monge käytti teoriassaan termejä "vaaka", "vaakasuora projektioviiva" ja "vaakasuora projektiotaso" sekä "pystysuora", "pysty projektioviiva" ja "pysty projektiotaso". Vakiintuneiden termien läsnäolo ammatillisessa ympäristössä on Mongen mukaan riittävä syy kieltäytyä ottamasta käyttöön yleisempää abstraktia terminologiaa:

”Lisäksi, koska suurin osa asiantuntijoista, jotka käyttävät projektiomenetelmää. tottuneet käsittelemään vaakatason sijaintia ja luotiviivan suuntaa, he yleensä olettavat, että kahdesta projektiotasosta toinen on vaakasuora ja toinen pystysuora .

Terminologia

Perusperiaatteet

Kuvittele, että pisteessä O (kuva 1) on objektia AB katsovan henkilön silmä. Kuvitellaan silmän ja kohteen välinen taso MN , joka sijaitsee kohtisuorassa linjaan, jota pitkin silmä katsoo. Vedetään suoria viivoja O :sta niihin esineen pisteisiin, jotka kuvaavat sen muotoa. Nämä viivat, joita kutsutaan projektiosäteiksi , leikkaavat MN -tason eri pisteissä. Tällaisten pisteiden joukko ab muodostaa kohteen AB kuvan, joka toimii sen kuvana. Siksi tasoa MN kutsutaan kuvatasoksi. Projisointisäteen ja kuvan tason leikkauspistettä kutsutaan sen kohteen sen pisteen keskiprojektioksi tai -perspektiiviksi , josta annettu projektiosäde tulee. Tätä tapaa kuvata esinettä kutsutaan perspektiiviksi. Jos sen sijaan, että johtaisimme projisointisäteitä kohteen pisteistä silmään, laskemme kohtisuorat kohteen pisteistä kuvan tasoon, niin tuloksena oleva kuva, jota edustaa näiden kohtisuorien kantat yhteensä säilyttää jonkin verran samankaltaisuutta perspektiivin kanssa. Todellakin, mitä enemmän pistettä O poistetaan kohteesta, sitä enemmän projektiosäteet lähestyvät sijaintia keskenään yhdensuuntaisesti ja kohtisuorassa kuvan tason kanssa. Tällaista kuvaa kutsutaan ortogonaaliksi projektioksi. Joten ortogonaalisessa projektiossa kohteen jokainen piste on kuvattu kohtisuoran kannalla, laskettuna siitä kuvan tasolle. Todellisten mittojen saaminen tietystä piirustuksesta ja muista rakenteista on verrattoman helpompaa ortogonaalisella suunnittelulla kuin perspektiivillä .

Kuvailevan geometrian pääidea on seuraava: jos esineellä on kaksi ortogonaalista projektiota kahdella tasolla, jotka sijaitsevat eri tavoin suhteessa kohteeseen, niin suhteellisen yksinkertaisia ​​rakenteita käyttämällä näissä kahdessa kuvassa voit saada todellisen kohteen mitat, sen litteiden viivojen todellinen muoto ja ortogonaalinen projektio mihin tahansa kolmanteen tasoon. Tietysti tätä varten on tiedettävä, missä mittakaavassa annetut kaksi ortogonaalista projektiota on annettu, eli missä suhteessa koko piirustusta pienennettiin tai suurennettiin todellisuutta vasten. Yleensä ne asettavat näkymän esineestä sen ortogonaalisilla projektioilla sellaisille kahdelle tasolle, joista toinen on vaakasuora ja jota kutsutaan tasoksi ja toinen pystysuoraksi ja sitä kutsutaan julkisivuksi . Niitä kutsutaan myös vaaka- ja pystysuoraksi projektiotasoiksi. Kohteen ortogonaalista projektiota tasoon, joka on kohtisuorassa tasoa ja julkisivua vastaan, kutsutaan sivukuvaksi. Erittäin tärkeä kuvailevan geometrian tekniikka on siinä, että julkisivun taso, sivukuva ja kaikki muut tasot, joille kohde projisoidaan, taitetaan henkisesti suunnitelman tasoon kääntämällä sen suoran ympäri, jota pitkin suunnitelma leikkaa. koneen ollessa taitettuna. Tätä tekniikkaa kutsutaan sovitukseksi. Lisärakenteet on jo tehty tällaiselle yhdistetylle piirustukselle , kuten alla osoitetaan. Koska jokainen kohde on kokoelma pisteitä, on ensinnäkin tarpeen tutustua suunnitelman kuvaan ja pisteen julkisivuun yhdistetyssä piirustuksessa.

Olkoon a (kuva 2) annettu piste; P suunnitelma kone; Julkisivun Q -taso. Pudottamalla kohtisuora a :sta suunnitelmaan, saadaan pisteen a suunnitelma a' ; pudottamalla kohtisuora kohdasta a julkisivulle, saadaan pisteen a julkisivu b . Perpendikulaareja aa' ja ab kutsutaan projektisuoroiksi. Projektioviivojen määrittelemää tasoa baa' kutsutaan projektiotasoksi. Se on kohtisuorassa sekä tasoon että korkeuteen nähden ja on siksi kohtisuorassa taso- ja korkeustason leikkauskohtaan, jota kutsutaan yhteiseksi leikkaukseksi. Olkoon a o piste, jossa ulkoneva taso leikkaa yhteisen leikkauksen: a o a' ja a o b ovat kohtisuorassa yhteistä leikkausta vastaan. Suunnitelman ja julkisivun annetuilla tasoilla pisteen a sijainnin määräävät täysin sen taso a' ja julkisivu b , koska a on a' :sta tason tasoon nostetun kohtisuoran leikkauspisteessä , jossa b :stä nostettu kohtisuora julkisivun tasoon. Yhdistelmäpiirustuksen saamiseksi pyöritetään julkisivun Q -tasoa nuolen osoittamaan suuntaan, lähellä yhteistä leikkausta, kunnes se osuu suunnitelman tason kanssa. Tässä tapauksessa piste b putoaa kohtaan a" . Siten piste a" , joka on pisteen a yhdistetty julkisivu , on kohtisuoran a'a o jatkossa , laskettuna tasosta a' yhteiseen leikkaukseen.

Siten kuviossa esitetty yhdistetty piirustus. 3 jossa MN on yhteinen aikaväli; a'  on suunnitelma ja a"  on pisteen a yhdistetty julkisivu , jota itseään ei enää näytetä.

Kuvaava geometria käsittelee vain päällekkäisiä piirustuksia; jokainen piste annetaan suunnitelmasta ja yhdistetystä julkisivusta; Tavallisilla tekniikoilla täytettyihin piirustuksiin (jotka meillä on kuvissa 1, 2 ja 5) turvaudutaan vasta tämän tieteen tutkimuksen alussa.

Suoran projektio

Suora määritellään kahdella pisteellä. Siksi, jos kahdesta pisteestä a ja b on suunnitelma ja julkisivu (yhdistetty) viivalla , niin pisteiden a ja b suunnitelmat yhdistävä viiva a'b on viivojen ab ja viivan a"b" suunnitelma. yhdistää pisteiden a ja b julkisivut, on linjan ab julkisivu . Kuvassa 4 on suora ab tasoineen ja julkisivuineen.

Tyypillisiä temppuja

Suunnitelman ja projektion antaman suoran janan todellisen pituuden määrittäminen

Käytämme piirustusta, joka on suoritettu tavalliseen tapaan (kuva 5).

Olkoon ab annettu suora jana, a'b' sen taso ja "b" sen julkisivu. Käännetään taso a'abb' suoran a'b' ympäri ja taivutetaan asentoon a'b'BA tasotasolla . Tässä tapauksessa segmentti ab ottaa paikan AB. Näin ollen:

Aa' = aa' = a "a o Bb' = bb' = b "b o

Suoran viivojen a'a ja b'b kohtisuora a'b :hen ei ole muuttunut, joten sen todellisen pituuden määrittämiseksi suoran segmentin tietystä tasosta ja julkisivusta yhdistetyssä piirustuksessa (kuva 6), sinun täytyy: palauttaa kohdista a' ja b' kohtisuoraan suunnitelmaan a'b' ja laittaa niihin: a'A=a o a" ; b'B=b o b" .

Suora AB on yhtä suuri kuin suoran ab todellinen pituus . Tässä esimerkissä näemme, että tavallisella tavalla suoritetussa piirustuksessa 5 suora ab esitetään lyhennetyssä muodossa sen mukaan, miten sen näemme, ja koska tämän lyhennyksen aste on tuntematon, on mahdotonta määrittää todellinen etäisyys ab piirroksesta 5. Samaan aikaan piirustuksessa 6, vaikka itse viivaa ab ei ole esitetty, vaan on annettu vain sen taso a'b' ja julkisivu a"b" , niin niistä on mahdollista määrittää niiden edustama viiva täydellisellä tarkkuudella.

Pisteen sivukuvan määritys sen suunnitelman ja julkisivun mukaan

Olkoon a' tietyn pisteen taso ja a" julkisivu (kuva 7), kun taas sivukuvan taso leikkaa suunnitelman tason suoraa linjaa pitkin ja julkisivun tason suoraa om pitkin .

Kun pohjapiirroksen ja julkisivun tasot yhdistetään, om ja on ovat samalla suoralla mn , kohtisuorassa MN :n suhteen , koska oletetaan, että sivukuvan taso on kohtisuorassa pohjapiirron ja julkisivun tasoihin nähden. Kolmen tason yhdistelmän oletetaan tapahtuneen seuraavasti: ensinnäkin sivukuvan taso yhdistettiin kiertämällä om :n ympäri julkisivun tason kanssa; sitten ne molemmat, kiertämällä MN :n ympäri , kohdistettiin suunnitelman tason kanssa, joka on piirustuksen taso. Ei ole vaikea nähdä, että tässä tapauksessa pisteen a sivukuvan a"' etäisyys a"s kohdasta MN on yhtä suuri kuin a o a" ja etäisyys a'" pisteestä om on yhtä suuri kuin a o a'. Tästä saadaan seuraava konstruktio: kun a' ja a" , niin piirretään kohtisuora mn MN :ään ja pudotetaan kohtisuora a'q kohdasta a' siihen ; säteellä oq kuvaamme kaaria o keskustasta o , joka leikkaa MN pisteessä s ; s :stä palautetaan kohtisuoraan MN:ään nähden. Tämän kohtisuoran leikkauspiste julkisivun a" läpi vedetyn viivan kanssa yhdensuuntaisena MN :n kanssa, ja on sivukuva a'" .

Monikulmion sivukuvan määritelmä

Jos annetaan (kuva 8) monikulmion sivujen pohjapiirros ja julkisivu ja siten sen kärkipisteet, niin rakentamalla kärkien sivukuvat saadaan myös monikulmion sivukuva. Koska piirustuksessa käsittelemme paljon pisteitä, on kätevää merkitä ne numeroilla.

Samanlainen tekniikka "sivukuvan" (tarkemmin sanottuna profiiliprojektion tai vasemman näkymän) rakentamiseksi suunnittelijan näkökulmasta ei salli piirustuksen onnistunutta asettelua. Jälkimmäisen varmistamiseksi koordinaattiakselien käyttö ei ole tarkoituksenmukaista, koska se rajoittaa piirustuksen asettelua ja pakottaa sinut jatkuvasti ylläpitämään samoja etäisyyksiä etu-, ylä- ja vasemman näkymän välillä, mikä on useimmiten ei-toivottua. Kolmannen rakentamiseen minkä tahansa kahden tyyppisen alkuperäisen mukaan on kätevää järjestää piirustus, koordinaattiakselien sijaan kuviin (näkymiin) sidotut "viitepohjat" auttavat.

Laatikon projisointi

Yleensä ne asetetaan sellaiseen suunnitelman ja julkisivun tasojen asentoon, jossa annettu kohde projisoidaan niihin yksinkertaisella piirustuksella, ja jo tämän suunnitelman ja julkisivun mukaan ne rakentavat objektin projektion sellaiselle tasolle jossa se on kuvattu kaikessa monimutkaisuudessaan. Alkuperäinen suunnitelma ja julkisivu voidaan jopa valita niin, että jotkin kohteen mitat eivät vääristy niissä. Näytämme tämän seuraavassa esimerkissä suuntaissärmiön kuvasta (kuva 9).

Kuvittele, että suuntaissärmiö on yhden reunansa kanssa tason tasossa ja sen taka- ja etupohjat ovat yhdensuuntaiset julkisivun tason kanssa. Sitten nämä perustukset projisoidaan julkisivulle päällekkäin (peittäen toisiaan), mutta todellisessa muodossaan. Tasolle saadaan projektio, jossa suunnitelman suuntaisten reunojen arvo säilyy. Pyöritämme suuntaissärmiötä henkisesti tietyn pystysuoran ympäri ja viemme sitä hieman sivuun. Sitten hänen suunnitelmansa kääntyy samassa kulmassa ja viedään sivuun. Uuden sijainnin suunnitelman saamiseksi piirretään suora viiva 1'3', joka muodostaa tietyn kulman edellisen suunnitelman suunnan 1 3 kanssa ja tälle viivalle rakennamme edellistä suunnitelmaa vastaavan kuvan käyttämällä tavallisen geometrian menetelmät. Uuden aseman julkisivun kärjet ovat kohtisuorassa, joka on laskettu uuden suunnitelman kärjestä yhteiseen leikkaukseen. Lisäksi ne sijaitsevat entisen julkisivun huipuista yhteisleikkaukseen vedetyillä rinnakkaisilla, koska suuntaissärmiön mainitun liikkeen aikana sen kärjet pysyivät samalla korkeudella suunnitelman tasosta. Mainittujen kohtisuorien ja yhdensuuntaisten kohtien leikkauspisteet ovat siis uuden julkisivun huiput. Yhdistämällä ne yhteen ja kuvaamalla heikommilla piirteillä suuntaissärmiön peittämät viivat, saadaan siitä sellainen kuva, jossa sen kaikki 12 reunaa ovat jo näkyvissä. Suuntaissärmiön kuvassa riittää kuvaamaan sen reunat, ja kaarevan pinnan kuvassa riittää kuvaamaan sen tunnusomaisimmat viivat, joiden välissä näkyvä ääriviiva on ensiarvoisen tärkeä -  käyrä, jota pitkin ulkonevat viivat koskettaa pintaa.

Kahden pyöreän sylinterin leikkauspiste

Selventääksemme tapaa, jolla kaarevia pintoja on kuvattu, tarkastellaan H. geometrian soveltamista seuraavaan käytännön kysymykseen. Kaksi kattilarautalevystä niitattua putkea on liitettävä toisiinsa siten, että toinen putki kohtisuorassa toiseen nähden leikkaaisi siihen yli puolet sen paksuudesta. Tätä varten yhteen putkeen (sanotaanko isompaan) on tehtävä ikkuna, joka on tietysti kätevämpää tehdä levyyn, josta suuri putki on valmistettu, kun se ei vielä ole niitattu. On määritettävä ikkunan muoto, joka tulisi leikata suuren putken valmistukseen käytettävään levyyn.

Olkoon (kuva 10) suunnitelman taso kohtisuorassa suureen putkeen nähden ja julkisivun taso yhdensuuntainen molempien putkien akseleiden kanssa. Tällöin ison putken pohjapiirros on ympyrä 036 ja sen julkisivua edustaa suorakulmio ABCD. Pienen savupiipun suunnitelma on mnpq ja julkisivu abcd. Olkoon HF pienen putken diametraalisen ja tasosuuntaisen tason julkisivu. Arvolla nm , kuten halkaisijalla, kuvataan kaari nsm. Otetaan jokin pienen putken generatriisi h5 ja määritetään sen putkien keskinäisen leikkauspisteen julkisivu, joka sijaitsee tällä generaattorilla ja jonka pohjapiirros on siis piste 1. Pisteen halutun julkisivun on ensinnäkin oltava kohtisuorassa, joka on laskettu yhteiseen leikkaukseen pisteestä 1. Toiseksi se on HF :stä korkeudella HS , joka on yhtä suuri kuin hs. Joten piste S on vaadittu julkisivu. Määrittämällä muita generaattoreita ja rakentamalla putkien keskinäisten leikkauspisteiden julkisivut saadaan useita pisteitä, joiden liitos on putkien leikkauskohdan julkisivu. Laajennamme nyt puoliympyrää 036. Tämä tehtävä voidaan suorittaa vain suunnilleen. Se on ratkaistu riittävällä approksimaatiolla, jos otetaan puoliympyrän pituus sisäänkirjoitetun neliön sivujen ja säännöllisen piirretyn kolmion sivujen summana. Kirjoitetun neliön sivu on jänne 36 , kolmion sivu on jänne 04 , jos numerot osoittavat puoliympyrän jakautumisen 6 osaan. Näiden sointujen summa piirretään erityispiirrokselle (kuva 11) ja jaetaan 6 osaan. Olkoon PQ vastaavan pienen putken mainittua diametraalista tasoa: se tulee piirtää yhdensuuntaisesti suoran 012… kanssa etäisyydellä OP=AE. Palauttamalla jaosta 1 kohtisuora suoraa 012… vastaan ​​ja jättämällä sille sivuun sen leikkauspisteestä PQ :n kanssa arvon h'=hs=HS , saadaan tarvittavan käyrän piste s' , jota pitkin ikkuna tulee leikata pois. arkki MN . Saadaan samalla tavalla muut halutun käyrän pisteet, määritämme juuri tämän piirustuksen mukaisen käyrän (kuva 11).

Historia

Kuvailevan geometrian kehitti G. Monge vuosina 1760-1770, jolloin Mézièresin tekniikan korkeakoulun opettajana hänelle uskottiin vaikea tehtävä laskea linnoitusten helpotus.

Se liittyy läheisesti varjojen teoriaan ja aksonometristen projektioiden menetelmään .

Johdanto

Kuvaava geometria on yksi insinöörikoulutuksen perustan muodostavista tieteistä .

Kuvailevan geometrian aiheena on kolmiulotteisten kohteiden kuvaamis- ja rakentamismenetelmien esittely ja perustelut kaksiulotteisella piirustustasolla sekä menetelmien geometristen (piirustus)ongelmien ratkaisemiseksi näillä kuvilla.

Kuvailevan geometrian sääntöjen mukaan rakennetut kuvat mahdollistavat:

Kuvaava geometria on teoreettinen perusta teknisten piirustusten käytännön toteutukselle, mikä varmistaa niiden ilmeisyyden ja tarkkuuden . Ja näin ollen mahdollisuus riittävään valmistukseen todellisten osien ja rakenteiden piirustusten mukaan.

Janan pituus

Minkä tahansa projektiotason kanssa samansuuntaisessa avaruudessa sijaitseva jana heijastetaan tälle tasolle todellisessa koossa (eli ilman vääristymiä).

Suoran janan pituus sen projektioiden mukaan määritellään suorakulmaisen kolmion hypotenuusaksi , jonka toinen haara on yksi tämän janan projektioista ja toinen haara on etäisyyksien algebrallisen eron absoluuttinen arvo . janan toisen projektion päät projektioakseliin nähden .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Kargin D. I. Gaspard Monge ja hänen "kuvaava geometria" / liite Gaspard Mongen kirjaan "Descriptive Geometry" / Käännös V. F. Gaze Kravets T. P. - 1. - Leningrad, Neuvostoliiton tiedeakatemia7 , . - S. 254. - 291 s.
  2. ↑ Gaspar Monge. Kuvaava geometria / Kääntäjä Gaze V.F. Yleistoimituksena Kravets T.P. - 1. - Leningrad, Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1947. - S. 23. - 291 s.
  3. ↑ 1 2 3 Kuvaava geometria . CADInstructor (5. heinäkuuta 2018). Haettu 9. marraskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 9. marraskuuta 2019.
  4. ↑ 1 2 3 Gordon V. O., Sementsov-Ogievsky M. A. Kuvaavan geometrian kurssi / Toimittanut Ivanov Yu. B. - 23. - Moskova: Nauka, 1988. - S. 8. - 272 s.

Kirjallisuus

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
Bibliografisissa luetteloissa