Todan ketju

Todan ketju on diskreettien epälineaaristen yhtälöiden järjestelmä , joka kuvaa toisiinsa kytkettyjen epälineaaristen oskillaattorien dynamiikkaa . Sillä on suuri merkitys kidehilojen värähtelyteoriassa .

Yleisessä tapauksessa järjestelmä on muotoa [1] :

m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})

jossa tarkoittaa n:nnen oskillaattorin poikkeamaa tasapainoasennosta, ja se on epälineaarinen funktio , jolla on i:nnen oskillaattorin vaikuttavan palautusvoiman merkitys. Pisteet tarkoittavat eriyttämisoperaation ottamista . $r_{n}(t)$ $f(r_{i})$

Morikazu Toda ehdotti ja analysoi tapausta varten ensimmäisen kerran vuonna 1967 [2] [3] . $f(t)=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

Vastaava muoto

On kätevää analysoida Toda-ketjuyhtälö seuraavan muodon vastaavassa muodossa

{\piste {s}}_{n}=f(r_{n})

m{\dot {r}}_{n}=2s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1}

Päätökset

Voidaan osoittaa, että Toda-ketjun dynamiikkaa kuvaavilla yhtälöillä on ratkaisuja liikkuvien aaltojen muodossa, joiden muoto on

s_{n}=S(\theta )=S(\omega t-pn)

jossa funktio tapauksessa , täyttää yhtälön $S(\theta )$ $f(r_{i})=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

{\frac {m\omega ^{2}}{\beta }}{\frac {S''}{\alpha +\omega S'}}=S(\theta +p)+S(\ theta -p)-S(\theta )

Tämän yhtälön ratkaisu ilmaistaan Jacobin elliptisten funktioiden avulla :

S(\theta )=bZ(2K\theta )

missä

Z(\theta )=E(\theta )-\theta {\frac {E(K)}{K))

on Jacobin zeta-funktio jaksolla 2 K

E(\zeta )=\int \limits _{0}^{\zeta }\mathrm {dn} ^{2}zdz

Tässä K on ensimmäisen tyyppinen täydellinen elliptinen integraali . Yhteys kertoimien b ja parametrien , ja m välillä on melko monimutkainen, mutta se on yksinkertaistettu rajatapauksissa. $\omega$ $\alpha$ $\beeta$

Funktio löytyy relaatiosta $r_{n}$

-\alpha \left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)={\piste {s}}_{n}=2K\omega b\left(\mathrm {dn} ^{2}2K\theta -{\frac {E}{K}}\oikea)

Erityinen ratkaisu on solitonityyppinen yksinäinen paikallinen ratkaisu . Se voidaan saada limiittissä , kun seuraavat ehdot täyttyvät samanaikaisesti: $K\to \infty$

2K\omega \to \Omega

2Kp\to P

Tässä tapauksessa elliptiset funktiot muuttuvat hyperbolisiksi ja ratkaisu saa muodon

-\alpha \left(1-\beta e^{-r_{n}}\right)={\frac {m\Omega ^{2}}{\beta \cosh ^{2}\left[ \Omega t-Pn\oikea]}}

M. Toda osoitti teoksissaan, että nämä solitonit eivät muuta alkuperäistä muotoaan vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Mikä tahansa alkujakauma evoluutioprosessissa on jaettu moniin solitoneihin. Tarkka ratkaisu tähän ongelmaan saatiin käänteissirontamenetelmällä [4] [5] .

Muistiinpanot

↑ J. Whitham. Lineaariset ja epälineaariset aallot . - Mir, 1977. - S. 554. - 622 s.
↑ Morikazu Toda. Ketjun värähtely epälineaarisen vuorovaikutuksen kanssa // J. Phys . soc. Jpn. . - 1967. - Voi. 22 . — s. 431-436 .
↑ Morikazu Toda. Wave Proprogation in Anharmonic Lattices // J. Phys . soc. Jpn. . - 1967. - Voi. 23 . — s. 501-506 .
↑ S. V. Manakov. Täydestä integroitavuudesta ja stokastisoinnista erillisissä dynaamisissa järjestelmissä // ZhETF . - 1974. - T. 67 , nro 2 . - S. 543-555 .
↑ H. Flashka. On the Toda lattice II (englanniksi) // Progr. Theor. Phys. . - 1974. - Voi. 51 . - s. 703-716 .

Kirjallisuus

Morikazu Toda. Epälineaarisen hilan tutkimukset (englanti) // Physics Reports . - 1975. - Voi. 18 , iss. 1 . - s. 1-123 .
J. Whitham. Lineaariset ja epälineaariset aallot . - Mir, 1977. - S. 584-588. — 622 s.