0, (9)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 18 muokkausta .

0, (9) tai 0,999 ... ( , ) ("nolla ja yhdeksän jaksossa") on jaksollinen desimaaliluku , joka edustaa lukua 1 . Toisin sanoen, $0.{\bar {9}}$ $0.{\piste {9}}$

1=0{,}(9).

Tästä tasa-arvosta on monia todisteita .

Huolimatta siitä, että tämän tasa-arvon oikeellisuus on todistettu tosiasia eikä tiedeyhteisössä ole epäilystäkään, monet ihmiset yrittävät todistaa päinvastaista. Tällaisissa todisteissa tehdään yleensä aritmeettisia ja loogisia virheitä. Tällainen kiihkeä erimielisyys johtuu siitä, että tämä tasa-arvo on vastoin intuitiota. Tämän vuoksi se on saavuttanut suuren suosion.

Selitys

Matemaattista merkintää käytettäessä on ymmärrettävä, että merkintätapa ei ole itse keskustelun aihe, vaan vain sen nimitys. Kaksi nimitystä voivat hyvinkin tarkoittaa samaa asiaa. Esimerkiksi kirjaa ja merkitse sama numero. Vaikka nämä ovat eri merkintöjä, ne määrittelevät saman objektin. Toinen esimerkki on ja . Tämä esimerkki osoittaa, että erilaiset yhteiset murtoluvut voivat hyvinkin antaa saman luvun, joten merkintä yhteiseksi murtoluvuksi on epäselvä. ${\frac {1}{10))$ $0{,}1$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$

Se, että viimeisen desimaaliluvun muodossa oleva merkintä on yksiselitteinen, on desimaalimurtolukujen ominaisuus. Eri loppumurtoluvut tarkoittavat eri lukuja. Mutta tämä ominaisuus toimii vain viimeisessä tapauksessa. Yleisessä tapauksessa (jossa sekä äärelliset että äärettömät desimaalit ovat sallittuja) kaksi eri desimaalia voivat edustaa samaa numeroa. Tämä johtuu siitä, että äärettömät murtoluvut ovat erittäin monimutkainen kohde, ja monet äärellisten jakeiden ominaisuudet eivät toimi tai eivät toimi niillä. Esimerkki tällaisesta moniselitteisestä esityksestä on ja . Huolimatta siitä, että niiden merkintätapa on erilainen, ne edustavat samaa numeroa, aivan kuten ne edustavat samaa numeroa. $yksi$ $0{,}(9)$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$

Perustodisteet

Sarakejako

Tavallinen murto -osa (esimerkiksi ) voidaan esittää desimaalimuodossa viimeisenä tai jaksollisena desimaalilukuna . Muuntaminen tavallisesta murtoluvusta desimaaliluvuksi voidaan tehdä jakamalla sarakkeella . Kun kokonaisluvun 1 sarake on jaettu kokonaisluvulla 3, saadaan luku 0,333 ... (desimaalimuodossa), jossa numerot 3 toistuvat loputtomasti: ${\frac {1}{3))$

{\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots

Kerro vasen puoli 3:lla.

{\frac {1}{3}}\cdot 3=1

Kerro oikea puoli kolmella. Huomaa, että jokaisen kolminkertainen kertominen kolmella antaa yhdeksän:

0{,}333\ldots \cdot 3=0{,}999\ldots

Tällä tavalla,

1=0{,}999\ldots

[1] .

Vastaavasti voit todistaa tämän yhtäläisyyden jakamalla desimaalimurtolukuksi ei , vaan esimerkiksi : ${\frac {1}{3))$ ${\frac {1}{9}}$

{\frac {1}{9}}=0{,}111\ldots

{\frac {1}{9}}\cdot 9=1

0{,}111\ldots \cdot 9=0{,}999\ldots

1=0{,}999\ldots

Numeromanipulaatiot

Edellinen todistus saatiin käyttämällä pitkää jakoa, joka on algoritmi yhteisen murtoluvun muuntamiseksi desimaaliksi. Voit mennä toiseen suuntaan ja käyttää algoritmia jaksollisen desimaaliluvun muuntamiseen tavalliseksi murtoluvuksi.

Merkitään numeroa . Kun desimaaliluku kerrotaan luvulla, numerot eivät muutu, pilkku siirtää yhden numeron oikealle: $0{,}(9)$ $x$ $kymmenen$

0{,}999\ldots \cdot 10=9{,}999\ldots

Tuo on,

10x=9{,}999\ldots

Jos vähennät luvusta , kaikki desimaalipilkun jälkeiset yhdeksän vähennetään ja nollat jäävät: $9{,}999\ldots$ $0{,}999\ldots$

9{,}999\ldots -0{,}999\ldots =9{,}000\ldots =9

Hae esitelty merkintä ja korvaa tasa-arvon vasen puoli niillä: $x$

10x-x=9

Sitten,

9x=9

x=1

No, koska merkitsimme , niin $x$ $0{,}999\ldots$

0{,}999\ldots =1

Tiukka perustelu

Huolimatta yllä olevien todisteiden yksinkertaisuudesta ja selkeydestä, niissä ei ole riittävää matemaattista tarkkuutta ja muodollisuutta. Ensimmäinen todiste perustuu siihen tosiasiaan

0{,}333\ldots \cdot 3=0{,}999\ldots

toisena päälle

0{,}999\ldots \cdot 10=9{,}999\ldots

Nämä ilmaisut näyttävät ilmeisiltä, mutta ilmeisyys on petollista, kuten voidaan nähdä esimerkistä tasa-arvosta . Tiukasti esitettäessä nämä tosiasiat vaativat myös todisteita. Todellakin, jos tällaiset oudot yhtäläisyydet voivat päteä äärettömiin desimaalilukuihin, kuinka voimme olla varmoja, että niiden kertolaskusäännöt toimivat samalla tavalla kuin äärellisillä murtoluvuilla? Yllä olevien todisteiden yksinkertaisuus ja ilmeisyys saavutetaan johtuen päättelyn löyhyydestä, mikä on oleellista vasta-intuitiivisille väitteille. $1=0{,}(9)$

Jotta perustelut olisivat tarkkoja, sinun on ensin ymmärrettävä, mitä merkintätapa yleensä tarkoittaa . Tarkastellaanpa jotain viimeistä desimaalimurtolukua, esimerkiksi . Mitä tämä merkintä tarkoittaa? Tämä merkintä on lyhenne seuraavasta ilmaisusta: $0{,}(9)$ $127{,}98765$

1\cdot 100+2\cdot 10+7\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {8}{100}}+{\frac {7}{1000}} +{\frac {6}{10000}}+{\frac {5}{100000}}

Numero, jota tämä merkintä tarkoittaa, on tämän lausekkeen tulos. Joten matematiikassa määritellään itse desimaalimurtoluku. Tämän määritelmän mukaan ääretön desimaali on täsmälleen sama lyhenne sellaiselle summalle, joka eroaa lopullisesta tapauksesta vain siten, että siinä olevien termien määrä on ääretön. Eli esimerkiksi murtoluku on lyhenne sanalle $21{,}5(23)$

2\cdot 10+1\cdot 1+{\frac {5}{10}}+{\frac {2}{100}}+{\frac {3}{1000}}+{\frac { 2}{10000}}+{\frac {3}{100000}}+\ldots

Tässä artikkelissa käsitelty murto-osa on summan lyhenne $0{,}(9)$

{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+{\frac {9}{10000}}+{\frac {9}{100000}}+\ldots

Merkinnällä merkitty luku on määritelmän mukaan äärettömän määrän edellä esitettyjen termien summa. On ymmärrettävä, että edellä mainitun summan tulokselle on olemassa vain muodollinen merkintä, jota ei vaadita muiden ominaisuuksien täyttämiseksi kuin sen, että se on sama. Mitä tahansa tämä summa osoittautuukaan yhtä suureksi, se luku on yhtä suuri riippumatta tämän intuitiivisuudesta tai odotustemme mukaisuudesta. $0{,}(9)$ $0{,}(9)$

Äärettömän määrän termien summaamisen tulos matemaattisessa analyysissä määritetään käyttämällä rajan käsitettä . Äärettömän summan ominaisuudet eroavat monella tapaa äärellisten summien ominaisuuksista ja vaativat erityistä huolellisuutta niiden soveltamisessa.

Sarja on geometrinen progressio , jonka nimittäjä on , ja ensimmäinen termi on . Matemaattisessa analyysissä tunnetun kaavan mukaan geometrisen progression summa on , jossa on ensimmäinen termi ja nimittäjä. Sitten ${\frac {9}{10)),{\frac {9}{100)),{\frac {9}{1000)),{\frac {9}{10000)),\ldots$ $0{,}1$ ${\frac {9}{10}}$ ${\frac {b_{1}}{1-q}}$ $b_{1}$ $q$

0{,}(9)={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots ={\frac {\dfrac {9}{10}}{ 1-{\dfrac {1}{10}}}={\frac {\dfrac {1}{9}}{\dfrac {1}{9}}}=1

Tämä todistus perustuu vain desimaaliluvun muodolliseen määritelmään, eikä se sisällä äärettömien desimaalilukujen todistamattomien ominaisuuksien käyttöä.

Tällaisen todisteen (lukujen 10 ja 9.999 vastaavuudesta...) julkaisi Leonhard Euler vuonna 1770 julkaisussa " Elements of Algebra " [2] .

Konvergentin geometrisen progression summan kaava tunnettiin ennen Euleria. Vuoden 1811 oppikirjassa An Introduction to Algebra käyttää myös geometristä progressiota luvulle 0,(9) [3] . 1800 - luvulla reaktio tällaiseen summaussääntöön johti väitteeseen, että sarjan summan on oltava osasummien sarjan raja [4] .

Perustodisteiden ankaruus

Käyttämällä desimaalimurtoluvun muodollista määritelmää voidaan yrittää saavuttaa riittävä tiukka kahdelle ensimmäiselle todistukselle.

Todistuksessa pitkällä jaolla käytetään ei-triviaalista tosiasiaa, että pitkä jako antaa oikean esityksen jaksollisena murtolukuna, mikä puolestaan vaatii todisteen. Ominaisuus todistetaan hyvin yksinkertaisesti käyttämällä operaatiota kertomalla lukusarja luvulla: $0{,}(3)\cdot 3=0{,}(9)$

0{,}(3)\cdot 3=\left({\frac {3}{10}}+{\frac {3}{100}}+\ldots \right)\cdot 3={\ frac {3}{10}}\cdot 3+{\frac {3}{100}}\cdot 3+\ldots ={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}} +\lpisteet =0{,}(9)

Todistuksessa lukuja manipuloimalla käytetään kahta yksinkertaista ominaisuutta. Ensimmäinen: $0{,}(9)\cdot 10=9{,}(9)$

0{,}(9)\cdot 10=\left({\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots \right)\cdot 10={\ frac {9}{10}}\cdot 10+{\frac {9}{100}}\cdot 10+\ldots =9\cdot 1+{\frac {9}{10}}+\ldots =9{ ,}(9)

Toinen :. $9{,}(9)-0{,}(9)=9$

9{,}(9)-0{,}(9)=\left(9\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}\ldots \right)-\left({\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots \right)=\left(9\cdot 1+{\frac {9}{ 10}}+{\frac {9}{100}}\ldots \right)-\left(0\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+ \ldots \right)=(9\cdot 1-0)+\left({\frac {9}{10}}-{\frac {9}{10}}\right)+\left({\frac { 9}{100}}-{\frac {9}{100}}\oikea)+\ldots =9+0+0+0+\ldots =9

Joka tapauksessa kurinalaisuuden tavoittelu johtaa joko tarpeeseen manipuloida numerosarjoja tai muuhun keinotekoisempaan jaksollisten murtolukujen määritelmään. Toisen lähestymistavan toteutus voi olla esimerkiksi jaksollisten murtolukujen arvon määrittäminen käyttämällä algoritmia, jolla ne muunnetaan tavallisiksi. Kaikki ominaisuudet vaativat edelleen todisteita, mutta ilman tarvetta turvautua lukusarjojen teoriaan. Yritys toteuttaa toinen lähestymistapa määrittämällä jaksolliset murtoluvut sarakkeeseen jakamisen kautta ei johda haluttuun tulokseen, koska sarakkeeseen jakamalla on mahdotonta saada murto-osaa jaksolla . $9$

Muut desimaalit

Samanlainen yhtäläisyys voidaan saada mille tahansa äärelliselle desimaaliluvulle. Antaa olla viimeinen desimaaliluku, . Sitten: ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m))$ $a_{-m}\neq 0$

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](9)

Hakasulkeet tässä tarkoittavat, että kirjoitamme luvun, joka on yhtä suuri kuin . Esimerkiksi , , . Siten jokaiselle desimaalimurtoluvulle voidaan saada toinen desimaaliluku, jossa jaksossa on yhdeksän. Tämä toimii myös toisinpäin: jokaisesta jakson murto-osasta, jossa on yhdeksän, voit saada rajallisen tietueen. $a_{-m}-1$ $3=2{,}(9)$ $20=19{,}(9)$ $0{,}5=0{,}4(9)$ $0{,}01=0{,}00(9)$

Mielenkiintoista on se tosiasia, että kaikki desimaalimerkinnän epäselvyydet täyttyvät tässä tapauksessa. Esitetään tämä tosiasia tiukka muotoilu. Ensinnäkin meidän on määriteltävä tarkasti, mitä tietueita pidämme samana ja mitkä ovat erilaisia (jotta ei lasketa tietueita erilaisiksi, esimerkiksi ja , tai ja ). Pidämme kahta desimaalitietuetta samana, jos niillä on samat numerot kaikissa numeroissa (jos tietueessa ei ole numeroa, pidämme sen arvoa nollana). Sitten: $2{,}3$ $2{,}30$ $0{,}(3)$ $0{,}(33)$

jos luku on muu kuin nolla ja se voidaan esittää äärellisenä desimaalilukuna, se voidaan esittää 9:llä jaksossa
jos luku on nollasta poikkeava ja se voidaan esittää pisteessä 9:llä, se voidaan esittää myös viimeisenä desimaalilukuna

ja nämä esitykset liittyvät suhteeseen

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](9)

tällaisille luvuille ei ole muita desimaalimuotoja.

Kaikilla muilla reaaliluvuilla on vain yksi desimaaliesitys.

Desimaalien vertailu

Desimaalien lopussa on yksinkertainen algoritmi niiden vertailuun. Siirrymme vasemmalta oikealle ensimmäiseen yhteensopimattomaan numeroon asti. Numero, jossa on tätä hieman enemmän, on suurempi. Jos kaikki numerot ovat yhtä suuret, luvut ovat yhtä suuret.

Tämä algoritmi ei enää toimi äärettömien murtolukujen kanssa. Tämän algoritmin mukaan luvun tulisi olla suurempi kuin , mutta nämä luvut ovat yhtä suuret. Algoritmi toimii kuitenkin edelleen ei-tiukalla vertailulla: jos korvaamme kaikki siinä olevat tiukat epäyhtälöt ei-tiukoilla, se toimii myös äärettömille murtoluvuille. Näin ollen for ja se tulostaa , mikä on totta. $yksi$ $0{,}(9)$ $yksi$ $0{,}(9)$ $1\geq 0{,}(9)$

Jos on tarpeen verrata äärettömiä desimaalilukuja, on otettava huomioon, että tapaus yhdeksän jaksossa tyhjentää kaikki epäselvät lukujen esitykset. Siten voit yksinkertaisesti tuoda kaikki luvut, joissa jaksossa on yhdeksän, lopulliseen tietueeseen etukäteen ja käyttää tavallista vertailualgoritmia.

Muut numerojärjestelmät

Samanlainen yhtäläisyys voidaan saada mille tahansa paikkalukujärjestelmälle . Lukujärjestelmässä, jossa on kanta ja alkunumero , lopullinen murtoluku voidaan esittää muodossa $k$ $c=k-1$ ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m))$ $a_{-m}\neq 0$

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](c)

Esimerkiksi: , , , . $0{,}(1)_{2}=1$ $0{,}(3)_{4}=1$ $0{,}(F)_{16}=1$ $0{,}0(1)_{2}=0{,}1_{2}=0{,}5$

Kaikki ominaisuudet säilytetään muille numerojärjestelmille. Samalla tavalla jokainen äärellinen murto-osa voidaan esittää pisteen murto-osana ja päinvastoin, ja kaikki luvun esitykset kuluvat loppuun näiden kahden esityksen avulla. Muilla murtoluvuilla on vain yksi esitys. Samat huomautukset koskevat murtolukujen bittikohtaista vertailua. $c$

Muiden lukujärjestelmien ominaisuus on, että desimaalilukujärjestelmässä loppumurtoluvulla edustamat murtoluvut voidaan esittää jaksollisina toisessa lukujärjestelmässä ja päinvastoin. Joten murtoluku , jota ei esitetä desimaalilukujärjestelmässä lopullisena murtolukuna, esitetään kolmiosassa muodossa . Kolmiosaisen järjestelmän murto -osa esitetään muodossa . Näin ollen tietyn luvun esitysten lukumäärä n-lukuisena murtolukuna riippuu lukujärjestelmästä. Desimaalimurtoluvun muodossa olevalla luvulla on kaksi esitystapaa: ja , ja kolmiluvun muodossa vain yksi: . Desimaalimurtoluvun muodossa olevalla luvulla on yksi esitys: , ja kolmilukuisena kaksi: ja . $0{,}(3)$ $0{,}1_{3}$ $0{,}5$ ${\displaystyle 0{,}(1)_{3))$ ${\frac {1}{2))$ $0{,}5$ $0{,}4(9)$ ${\displaystyle 0{,}(1)_{3))$ ${\frac {1}{3))$ $0{,}(3)$ $0{,}1_{3}$ ${\displaystyle 0{,}0(2)_{3))$

N-arvoisten esitysten lukumäärän riippuvuus lukujärjestelmästä ilmenee vain ei-kokonaislukujen rationaaliluvuilla. Kaikilla kokonaisluvuilla nollaa lukuun ottamatta on kaksi esitystapaa missä tahansa lukujärjestelmässä, kaikki irrationaaliset ja - yksi. $0$

Sovellus

Tasa-arvolla on sovelluksia esimerkiksi alkeislukuteoriassa . Vuonna 1802 H. Goodwin julkaisi havainnon, jonka hän oli löytänyt jakaessaan lukuja alkuluvuilla . Esimerkiksi:

${\frac {1}{7))$ = 0,142857142857 ... ja _ _

142 + 857 = 999;

${\frac {1}{73}}$ = 0, 0136 9863 0136 9863 ... ja

0136 + 9863 = 9999.

Midi (ME Midy) vuonna 1836 yleisti havaintotiedot Midin lauseeksi .

Populaarikulttuurissa

Uutispalstan " The Straight Dope " kirjoittaja todistaa yhtälön 1 = 0,999... 1⁄3 : lla ja rajoilla puhuen väärinkäsityksestä:

Alempi ensisijaisuus lepää meitä vastaan sanoen: ,999~ ei itse asiassa edusta numeroa , vaan prosessia . Numeron löytämiseksi meidän on pysäytettävä tämä prosessi. Ja tässä vaiheessa yhtäläisyys ,999~ = 1 vain hajoaa.

- Hölynpölyä [5] .

Kysymys tasa-arvosta 1 = 0,999… tuli niin kuuma aihe Battle.net -foorumien seitsemän ensimmäisen vuoden aikana, että Blizzard Entertainment julkaisi "lehdistötiedotteen" aprillipäiväksi 2004:

Olemme erittäin iloisia voidessamme sulkea tätä aihetta käsittelevän kirjan lopullisesti. Olemme nähneet tuskaa ja ahdistusta siitä, onko .999~ yhtä kuin 1 vai ei, ja olemme ylpeitä voidessamme esittää seuraavan todisteen, joka ratkaisee tämän ongelman asiakkaillemme [6] .

Seuraavassa on todisteita, jotka perustuvat rajoihin ja kertomiseen luvulla 10.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Vertaa Silvanus P. Thompsonin (St. Martin 's Press, New York, 1998, ISBN 0-312-18548-0 ) helpottamaan Calculuksen binääriversioon .
↑ Eulerin kirjan sivu 179.
↑ Grattan-Guinness, sivu 69; Bonnycastle-kirjan sivu 177.
↑ Katso esimerkiksi J. Stewartin sivu 706, Rudin sivu 61, Protter ja Morrey sivu 213, Pugh sivu 180, JB Conway sivu 31.
↑ Cecil Adams . Loputon kysymys: Miksei .999~ = 1? (englanniksi) (linkki ei ole käytettävissä) . Suora huume . Chicago Reader (11. heinäkuuta 2003). Haettu 6. syyskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 18. helmikuuta 2012.
↑ Blizzard Entertainment: Lehdistötiedotteet . Haettu 17. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 17. kesäkuuta 2015.