CW kompleksi

CW-kompleksi on eräänlainen topologinen avaruus , jossa on lisärakenne (solunjako), jonka Whitehead on ottanut käyttöön tyydyttääkseen homotopiateorian tarpeita . Venäjänkielisessä kirjallisuudessa käytetään myös nimiä solutila , solujakautuminen ja solukompleksi . Solukompleksien luokka on laajempi kuin yksinkertaisten kompleksien luokka , mutta samalla säilyttää kombinatorisen luonteen, mikä mahdollistaa tehokkaat laskelmat.

Määritelmät

Avoin n -ulotteinen solu on topologinen avaruus , joka on homeomorfinen avoimelle n -ulotteiselle pallolle (erityisesti nollaulotteinen solu on yksitoinen avaruus ). CW-kompleksi on Hausdorffin topologinen avaruus X , joka on esitetty avoimien solujen liittona siten, että jokaiselle avoimelle n -ulotteiselle solulle on jatkuva kartoitus f suljetusta n -ulotteisesta pallosta X :ään, jonka rajoitus solun sisäpuolelle. pallo on tämän solun homeomorfi ( ominaisuuskartoitus ). Tässä tapauksessa kahden ominaisuuden oletetaan täyttyvän:

(C) Kunkin solun raja sisältyy rajallisen määrän pienempien solujen liittoon;
(W) X :n osajoukko on suljettu silloin ja vain, jos sen leikkauskohta kunkin solun sulkeutumisen kanssa on suljettu.

Nimet C ja W tulevat englannin sanoista closure-finiteness ja heikko topologia . [1] [2]

Solukompleksin ulottuvuus määritellään sen solujen mittojen ylärajaksi. Solukompleksin n: s runko on kaikkien sen solujen liitto, joiden mitta ei ylitä n : tä, solukompleksin X n : nnen rungon standardimerkintä on X n tai sk n X. Solukompleksin osajoukkoa kutsutaan alikompleksiksi , jos se on suljettu ja koostuu kokonaisista soluista; Erityisesti mikä tahansa kompleksin luuranko on sen alakompleksi.

Mikä tahansa CW-kompleksi voidaan rakentaa induktiivisesti seuraavalla menetelmällä: [3]

aloitamme diskreetistä joukosta , jonka pisteitä pidetään nollaulotteisina soluina; $X^{0}$
muodostamme induktiolla n : nnen virittävän puun ( n − 1)-puusta liimaamalla siihen n - ulotteisia soluja mielivaltaisilla jatkuvilla kuvauksilla . $\varphi _{\alpha }:S^{{n-1}}\to X^{{n-1}}.$ $X^n$ $X^{{n-1}}$ $D_{\alpha }$ $x\sim \varphi _{\alpha }(x),$ $x\in \partial D_{\alpha }.$
Induktiivinen prosessi on mahdollista lopettaa viimeiseen vaiheeseen asettamalla tai jatkaa sitä toistaiseksi asettamalla [4] . Suoran rajan topologia osuu yhteen heikon topologian kanssa: osajoukko on suljettu silloin ja vain, jos sen leikkauspiste $X=X^{n},$ $X=\varinjlim X_{i}$ $\varinjlim X_{i}$ $X_{i}.$

Esimerkkejä

Avaruus vastaa homotooppisesti CW-kompleksia (koska se on kutistuva ), mutta siihen on mahdotonta tuoda CW-kompleksin rakennetta (koska kaikki CW-kompleksit ovat paikallisesti kutistuvia ). $\{re^{{2\pi i\theta }}:0\leq r\leq 1,\theta \in {\mathbb Q}\}\subset {\mathbb C}$
Havaijilainen korvakoru on esimerkki topologisesta avaruudesta, joka ei homotooppisesti vastaa mitään CW-kompleksia.
Mikä tahansa monitahoinen on luonnollisesti varustettu CW-kompleksin rakenteella, ja graafilla on yksiulotteinen CW-kompleksi.
N -ulotteinen pallo sallii solurakenteen, jossa on yksi nolla-ulotteinen solu ja yksi n - ulotteinen solu (koska n -ulotteinen pallo on homeomorfinen n -ulotteisen pallon osamääräavaruuteen nähden sen rajalla). Toinen soluosio hyödyntää sitä tosiasiaa, että "ekvaattorin" upottaminen jakaa pallon kahteen n - ulotteiseen soluun (ylempi ja alempi pallonpuolisko). Induktiolla tämä mahdollistaa n - ulotteisen pallon soluosion saamisen, jossa on kaksi solua kussakin ulottuvuudessa välillä 0 - n , ja suoran rajarakenteen soveltaminen mahdollistaa pallon soluosion saamiseksi . $S^{{n-1}}\S^{n}$ $S^{\infty }$
Todellinen projektioavaruus sallii solurakenteen, jossa on yksi solu jokaisessa ulottuvuudessa ja yksi solu jokaisessa parillisessa ulottuvuudessa. ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
Grassmannian mahdollistaa osion Schubert-soluiksi kutsuttuihin soluihin .
Mille tahansa kompaktille sileälle jakoputkelle voidaan rakentaa sitä homotooppisesti vastaava CW-kompleksi (esimerkiksi Morse-funktiolla ).

Soluhomologia

CW-kompleksin yksittäiset homologiat voidaan laskea käyttämällä soluhomologioita , eli soluketjukompleksin homologioita

\cdots \to {H_{{n+1}}}(X^{{n+1}},X^{{n}})\to {H_{{n}}}(X^{{n} },X^{{n-1}})\to {H_{{n-1}}}(X^{{n-1}},X^{{n-2}})\to \cdots ,

jossa määritellään tyhjäksi joukoksi. $X^{{-1}}$

Ryhmä on vapaa Abelin ryhmä, jonka generaattorit voidaan tunnistaa CW-kompleksin orientoituneista n -ulotteisista soluista. Rajakartoitukset rakennetaan seuraavasti. Olkoon mielivaltainen n - ulotteinen solu , sen ominaiskartoituksen rajoitus rajaan ja olkoon mielivaltainen ( n − 1)-ulotteinen solu. Harkitse koostumusta ${H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})$ $e_{{n}}^{{\alpha }}$ $x,$ $\chi _{{n}}^{{\alpha }}:\osittainen e_{{n}}^({\alpha }}\cong S^{{n-1}}\to X^{{n- yksi}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}:S^{{n-1}}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{{n} }^{{\alpha }}\,{\stackrel {\chi _{{n}}^({\alpha }}}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}\,{\ stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }} \right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{{n-1)),

jossa ensimmäinen mappaus identifioituu kartoitus -faktorointiin ja viimeinen kartoitus identifioituu käyttämällä solun ominaiskartoitusta . Sitten rajakartta $S^{{n-1}}$ $\partial e_{n}^{\alpha },$ $q$ $X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\oikea)$ $S^{{n-1}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

d_{{n}}:{H_{{n}}}(X_{{n}},X_{{n-1}})\-{H_{{n-1}}}(X_{{n- 1}},X_{{n-2}})

annetaan kaavalla

{d_{{n}}}(e_{{n}}^({\alpha }})=\sum _{{\beta }}\deg \left(\chi _{{n}}^{{\ alpha \beta }}\right)e_{{n-1}}^{{\beta }},

missä on kartoitusaste ja summa otetaan kaikista ( n − 1)-ulotteisista soluista . $\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\oikea)$ $\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}$ $X$

Erityisesti, jos solukompleksissa ei ole kahta solua, joiden mitat eroavat yhdellä, kaikki rajakartoitukset katoavat ja homologiaryhmät ovat vapaita. Esimerkiksi parillinen ja nolla pariton. ${H_{{n))}({\mathbb {CP}}^{n},{\mathbb Z})={\mathbb Z}$ $n$

Ominaisuudet

CW-kompleksien homotopialuokka on joidenkin asiantuntijoiden mukaan paras vaihtoehto homotopiateorian rakentamiseen. [5] Yksi CW-kompleksien "hyvistä" ominaisuuksista on Whiteheadin lause ( heikko homotopiaekvivalenssi CW-kompleksien välillä on homotoopiaekvivalenssi). Jokaiselle topologiselle avaruudelle on olemassa heikosti homotooppisesti vastaava CW-kompleksi. [6] Toinen hyödyllinen tulos on, että CW-kompleksien homotopiakategorian edustavilla funktoreilla on yksinkertainen karakterisointi kategorisesti ( Brownin edustavuuslause ). Sylinterillä, kartiolla ja CW-kompleksin päällä olevalla päällirakenteella on luonnollinen solurakenne.

Toisaalta CW-kompleksien tuote, jossa on luonnollinen laatoitus soluihin, ei aina ole CW-kompleksi - tuotteen topologia ei välttämättä ole sama kuin heikko topologia, jos molemmat kompleksit eivät ole paikallisesti kompakteja. Kuitenkin tuotteen topologia kompaktisti muodostettujen tilojen kategoriassa osuu yhteen heikon topologian kanssa ja määrittelee aina CW-kompleksin [7] . Funktioiden avaruus Hom ( X , Y ) kompaktilla avoimella topologialla ei ole yleisesti ottaen CW-kompleksi, mutta John Milnorin lauseen [8] mukaan se on homotopiaa, joka vastaa CW-kompleksia ehdolla. että X on kompakti .

CW-kompleksin X päällyste voidaan varustaa CW-kompleksin rakenteella siten, että sen solut kartoitetaan homeomorfisesti X :n soluihin .

Finite CW-kompleksit (kompleksit, joissa on äärellinen määrä soluja) ovat kompakteja. Mikä tahansa CW-kompleksin kompakti osajoukko sisältyy äärelliseen alikompleksiin.

Muistiinpanot

↑ Whitehead, 1949 , s. 214.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 35.
↑ Hatcher, 2011 , s. neljätoista.
↑ Katso artikkelin suora raja .
↑ Katso esimerkiksi D. O. Baladze . Solun osio - artikkeli Mathematical Encyclopediasta.
↑ Hatcher, 2011 , s. 445-446.
↑ Martin Arkowitz. Johdatus homotopyteoriaan . - Springer, 2011. - S. 302 . — ISBN 9781441973290 .
↑ Milnor, John. CW-kompleksin homotopiatyyppisissä tiloissa // Trans. amer. Matematiikka. Soc.. - 1959. - T. 90 . — S. 272–280 .

Kirjallisuus

JHC Whitehead. kombinatorinen homotopia. I. // Bull. amer. Matematiikka. Soc.. - 1949. - Voi. 55.—s. 213–245.
JHC Whitehead. kombinatorinen homotopia. II. // Bull. amer. Matematiikka. Soc.. - 1949. - Voi. 55.—s. 453–496.
Hatcher, A. Algebrallinen topologia / Per. englannista. V. V. Prasolova, toim. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 s. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Homotopologian kurssi. - M .: Nauka, 1989. - 528 s.