Havaijilainen korvakoru

Havaijin korvakoru on topologinen avaruus , joka vastaa euklidisen tason ympyröiden liittoa keskipisteillä ja säteillä (kaikki positiiviset kokonaisluvut ). Avaruus on homeomorfinen avoimien intervallien ( ) laskettavan liiton yhden pisteen tiivistymiselle . $H$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\näyttötyyli (1/n,0)}$ $1/n$ $n$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {N}$

Hawaiian korvakoru on kompakti ja se voidaan varustaa täydellä korvakorulla . Se on polkukytketty, mutta ei puolipaikallisesti yksinkertaisesti yhdistetty .

Havaijilainen korvakoru näyttää ensi silmäyksellä kimppulta , joka koostuu lukemattomasta määrästä ympyröitä, mutta ne eivät ole homeomorfisia topologisia tiloja. Havaijin korvakorun topologia on heikompi : mikä tahansa ympyröiden leikkauspisteen alue sisältää kaikki paitsi rajallisen määrän ympyröitä, kun taas kimpussa on alueita, joissa ei ole ympyröitä. Lisäksi lukemattoman määrän ympyröitä sisältävä kimppu ei ole kompakti.

Perusryhmä

Havaijilainen korvakoru ei ole yksinkertaisesti yhdistetty , koska sen ympyrää parametroiva silmukka ei ole homotooppinen triviaalille. Siksi sillä on ei-triviaali perusryhmä . $G$

On jatkuva kartoitus lukemattoman monen ympyrän kimpusta osaksi , se saa aikaan kimpun perusryhmän ( vapaan ryhmän , jossa on lukemattomia generaattoreita) upottamisen osaksi . Ryhmä sisältää myös muita elementtejä - silmukoiden homotopialuokkia, jotka eivät sisälly mihinkään havaijilaisen korvakorun ympyröiden rajalliseen osajoukkoon; esimerkki on silmukka, joka "kiertää" segmentin th ympyrän ympäri . $H$ $G$ $G$ $[2^{-n},2^{-(n-1)}]$ $n$

Lisäksi se uppoaa vapaiden ryhmien projektiiviseen rajaan ( yhdistää kartoitukset kohteesta viimeiseen generaattoriin ryhmän identiteettiin). Tämä kartoitus ei kuitenkaan ole surjektiivinen ; sen kuva sisältää täsmälleen ne käänteisrajan elementit, joissa jokainen generaattori esiintyy äärellisen monta kertaa. Esimerkki elementistä, joka ei ole tämän kuvauksen kuvassa, on ääretön kommutaattori . $G$ $F_{n}$ $F_{n}$ $F_{{n-1}}$ $[\gamma _{1},\gamma _{2}][\gamma _{1},\gamma _{3}]\ldots$

Ryhmä on lukematon, eikä se ole ilmainen. Vaikka sen abelisaatiolla ei ole yksinkertaista kuvausta, on olemassa normaali alaryhmä , joka on isomorfinen Baer-Specker-ryhmän kanssa . Sitä kutsutaan äärettömäksi abelisaatioksi tai voimakkaaksi abelisaatioksi , koska se koostuu täsmälleen niistä elementeistä, joiden jokainen koordinaatti (jos ajatellaan projektitiivisen rajan aliryhmää ) on vastaavan vapaan ryhmän kommutaattorialiryhmässä . Tietyssä mielessä voidaan puhua kommutaattorin sulkemisesta . $G$ $G$ $N$ $G/N$ $\prod _{i=0}^{\infty }\mathbb {Z}$ $G$ $N$ $G$ $N$ $G$

Aiheeseen liittyvät patologiset tilat

Havaijin korvakorun päällä oleva kartio antaa esimerkin yksinkertaisesti yhdistetystä (erityisesti puolipaikallisesti yksinkertaisesti yhdistetystä) mutta ei paikallisesti yksinkertaisesti yhdistetystä tilasta.
- Tällaisen kartion kahdesta kopiosta yhteen pisteeseen liimattu tila, jonka perusteella korvakorun renkaat koskettavat toisiaan, antaa esimerkin tilasta, jossa on ei-yksinkertaisesti yhdistetty yleispäällyste, joka on triviaali.

Kirjallisuus

Hatcher, A. Algebrallinen topologia / Per. englannista. V. V. Prasolova, toim. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - S. 69-70. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
Cannon, JW; Conner, GR Suuri perusryhmä, suuret havaijilaiset korvakorut ja suuret vapaat ryhmät // Topologia ja sen sovellukset. - 2000. - Voi. 106. - Ongelma. 3 . - s. 273-291. - doi : 10.1016/S0166-8641(99)00104-2 .
Conner, G.; Spencer, K. Havaijilaisen korvakoruryhmän poikkeava käyttäytyminen // Journal of Group Theory. - 2005. - Voi. 8. - Ongelma. 2 . - s. 223-227. - doi : 10.1515/jgth.2005.8.2.223 .
Eda, K. yksiulotteiset villit tilat ja havaijilainen korvakoru] // Proceedings of the American Mathematical Society. — Voi. 130. - Ongelma. 5 . - s. 1515-1522. - doi : 10.1090/S0002-9939-01-06431-0 .
Eda, K.; Kawamura, K. Havaijilaisen korvakorun singulaarinen homologia // Journal of the London Mathematical Society. — Voi. 62. - Ongelma. 1 . - s. 305-310. - doi : 10.1112/S0024610700001071 .
Fabel, P. Topologinen havaijilainen korvakoruryhmä ei upota vapaiden ryhmien käänteiseen rajaan // Algebraic & Geometric Topology. — Voi. 5. - P. 1585-1587. - doi : 10.2140/agt.2005.5.1585 .
Morgan, JW; Morrison, I. Van Kampenin lause heikkoille liitoksille // Proceedings of the London Mathematical Society. — Voi. 53, nro 3 . - s. 562-576. - doi : 10.1112/plms/s3-53.3.562 .
Biss, Daniel K. Yleistetty lähestymistapa perusryhmään // American Mathematical Monthly. - MAA, 2000. - T. 107 , nro 8 . — S. 711–720 . - doi : 10.2307/2695468 .