Lambertin W-funktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.3.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

$W$ Lambert - funktio määritellään käänteisfunktioksi , kompleksille . Merkitään tai . Minkä tahansa kompleksin kohdalla se määräytyy funktionaalisella yhtälöllä : $f(w)=me^{w}$ $w$ $K(x)$ $\operaattorin nimi {LambertW}(x)$ $z$

z=W(z)e^{{W(z)}}

$W$ Lambert-funktiota ei voi ilmaista alkeisfunktioissa . Sitä käytetään kombinatoriikassa esimerkiksi puiden lukumäärän laskemisessa sekä yhtälöiden ratkaisemisessa.

Historia

Toimintoa tutkittiin Leonhard Eulerin teoksessa vuonna 1779 , mutta sillä oli itsenäinen merkitys ja nimi vasta 1980-luvulla. Itsenäisenä funktiona se otettiin käyttöön Maplen tietokonealgebrajärjestelmässä , jossa sille käytettiin nimeä LambertW . Nimi Johann Heinrich Lambert valittiin, koska Euler viittasi työssään Lambertin työhön ja koska "ei olisi hyödytöntä nimetä toista funktiota Eulerin mukaan" [1] .

Polysemia

Koska funktio ei ole injektiivinen välissä , se on moniarvoinen funktio . Jos rajoitamme todellisiin ja vaadimme , määritellään yksiarvoinen funktio . $f(w)$ $(-\infty,0)$ $W(z)$ $(-{\frac {1}{e}},0)$ $z=x\geqslant -1/e$ $w\geqslant -1$ $W_{0}(x)$

Asymptotiikka

On hyödyllistä tuntea funktion asymptotiikka, kun se lähestyy tiettyjä avainkohtia. Esimerkiksi konvergenssin nopeuttamiseksi suoritettaessa rekursiivisia laskelmia.

$\left.W(z)\right|_{{z\to \infty }}=\log(z)-\log(\log(z))$

$\left.W(z)\right|_{{z\to -{\frac {1}{e))))={\sqrt {2(ez+1)))-1$

Muut kaavat

\int _{{0}}^{{\pi }}W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;{\mathrm d}x=4{\sqrt {\pi ))

\int _{{0}}^{{+\infty }}W\left({\frac {1}{x^{2}}}\oikea)\;{\mathrm d}x={\sqrt { 2\pi }}

\int _{{0}}^{{+\infty }}{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}{\mathrm d}x=2{\sqrt {2\ pi}}

Ominaisuudet

Differentoimalla implisiittinen funktio voidaan saada aikaan, että , Lambert-funktio täyttää seuraavan differentiaaliyhtälön: $z\neq -{\tfrac {1}{e}}$

{dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.

Sarjan inversiolausetta käyttämällä voidaan saada lauseke Taylor-sarjalle ; se konvergoi nollan läheisyyteen : $|z|<{\tfrac {1}{e}}$

W_{0}(x)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-n)^{{n-1}}}{n!}}\ x^{n }=xx^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}} x^{5}-\cdots .

Käyttämällä osien integrointia voimme löytää W(z:n) integraalin:

\int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.

Arvot joissain kohdissa

W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}

W(-1)\noin -0,31813+1,33723i

W\left(-{1 \over e}\right)=-1

W\left(-{\frac {\ln a}{a))\right)=-\ln a

, klo

{\frac {1}{e}}\leq a\leq e

W(0)=0

W(e)=1

W(1)=\Omega \noin 0{,}56714329

( Jatkuva Omega )

Kaavat

$W(xe^{x})=x,\,x>0$

${\displaystyle e^{n\cdot W(x)}=\left({\frac {x}{W(x)))\oikea)^{n))$

$\ln W(x)=\ln xW(x),\,x>0$

$W\left({\frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}}\right)=nW(x),\,n>0,x>0$

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {W(x)+W(y)}{W(x)W(y)))\right)\ oikea),\,x>0,y>0$

Yhtälöiden ratkaiseminen W-funktiolla

Monien transsendenttisten yhtälöiden ratkaisut voidaan ilmaista W-funktion muodossa.

Esimerkki: $x^{x}=z$

\ln z=x\ln x=e^{{\ln x}}\,\ln x

, siis .

x=e^{{W(\ln z)}}

Esimerkki: $2^{x}=5x$

1=5x\cpiste 2^{{-x}}=5x\,e^{{-x\ln 2}}

Merkitse sitten , tästä ja lopuksi . $y=-x\ln 2$ $y\,e^{y}={-\ln 2 \yli 5}$ $y=W\vasen({-\ln 2 \yli 5}\oikea)$ $x=-{1 \over \ln 2}W\left({-\ln 2 \over 5}\right)$

Lambert W-funktion yleiset sovellukset

Standardi Lambert W-funktio näyttää tarkat ratkaisut transsendentaalisille algebrallisille yhtälöille muodossa:

e^{{-cx}}=a_{o}(xr)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

missä a 0 , c ja r ovat reaalivakioita. Tällaisen yhtälön ratkaisu on . Seuraavassa on joitain Lambert W-funktion yleisiä sovelluksia: [2] [3] [4] ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W{\Big (}{\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}{\Big )))$

Tätä funktiota voidaan käyttää yleisessä suhteellisuusteoriassa ja kvanttimekaniikassa ( kvanttigravitaatio ) alemmissa ulottuvuuksissa. Aikakauslehti Classical and Quantum Gravity [5] esitteli aiemmin tuntemattoman yhteyden näiden kahden käsitteen välillä, jossa yhtälön oikeasta puolesta tulee neliöllinen polynomi x - muuttujassa :

e^{{-cx}}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)

ja missä vakiot r 1 ja r 2 ovat tämän toisen asteen polynomin juuret. Tässä tapauksessa tämän yhtälön ratkaisu on funktio, jonka argumentti on x , ja r i ja a o ovat tämän funktion parametreja. Tästä näkökulmasta, vaikka tämä Lambertin W-funktion yleinen sovellus muistuttaa hypergeometristä funktiota ja "Meijer G" -funktiota, se kuuluu erityyppiseen funktioon. Kun r 1 = r 2 , niin yhtälön (2) molemmat puolet voidaan yksinkertaistaa yhtälöksi (1), jolloin kokonaisratkaisu yksinkertaistuu standardi W-funktioksi. Yhtälö (2) esittää konstitutiiviset suhteet dilaton- skalaarikentässä , josta seuraa parillisten kappaleiden lineaarisen painovoiman mittaamisen ongelman ratkaisu 1 + 1 -ulottuvuuksissa (avaruus- ja aikamittaukset) myös eri massojen tapauksessa. kaksiulotteisen stationaarisen Schrödinger-yhtälön ongelman ratkaisuna, jonka potentiaali on Dirac-deltafunktion muodossa erisuuruisille varauksille yhdessä ulottuvuudessa.

Tätä funktiota voidaan käyttää ratkaisemaan tietty kvanttimekaniikan sisäisten energioiden ongelma, joka koostuu kolmen kappaleen, nimittäin kolmiulotteisen molekyylivetyionin , suhteellisen liikkeen määrittämisestä [6] [7] . Tässä tapauksessa yhtälön (1) (tai (2)) oikeasta puolesta tulee nyt muuttujan x kahden äärettömän polynomin suhde :

e^{{-cx}}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{{i=1}}^({\infty }}(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{{i=1}}^{{\infty }}(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)

jossa r i ja s i ovat vakioita ja x on funktio sisäisen energian ja ytimen R sisällä olevan etäisyyden välillä. Yhtälö (3) sekä sen yksinkertaistetut muodot yhtälöissä (1) ja (2) ovat differentiaaliyhtälöiden tyyppi viiveellä .

Lambert W-funktion sovellukset fysiikan perusongelmissa eivät rajoitu standardiyhtälöön (1), kuten on hiljattain osoitettu atomi-, molekyyli- ja optisen fysiikan aloilla [8] .

Laskenta

$W$ -funktio voidaan laskea likimäärin käyttämällä toistuvuusrelaatiota [1] :

w_{{j+1}}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{{w_{j}}}-z}{e^{{w_{j}}}(w_{j }+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{{w_{j))}-z)}{2w_{j}+2))))

Esimerkkiohjelma Pythonissa :

tuoda matematiikkaa def lambertW ( x , prec = 1e-12 ): w = 0 i :lle alueella ( 100 ) : wTimesExpW = w * math . exp ( w ) wPlusOneTimesExpW = ( w + 1 ) * matemaattinen . exp ( w ) w -= ( wTimesExpW - x ) / ( wPlusOneTimesExpW - ( w + 2 ) * ( wTimesExpW - x ) / ( 2 * w + 2 )) , jos prec > abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimes ): katko jos prec <= abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): nosta poikkeus ( "W(x) ei konvergoi tarpeeksi nopeasti x= %f " % x ) return w

Likimääräistä laskelmaa varten voit käyttää kaavaa [9] : !!!Yllä oleva funktio on samanlainen, mutta eroaa yli 10 % Lambert-funktiosta

W(x)\noin \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{, }04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matriisi }}\oikea.

Linkit

↑ 1 2 Corless et ai. Lambert W -funktiosta (määrittämätön) // Adv. Laskennallinen matematiikka .. - 1996. - V. 5 . - S. 329-359 . Arkistoitu alkuperäisestä 18. tammikuuta 2005.
↑ T.C. Scott, R.B. Mann. Yleinen suhteellisuusteoria ja kvanttimekaniikka: Kohti Lambert W -funktion yleistämistä (englanti) // AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) : Journal. - 2006. - Voi. 17 , ei. 1 . - s. 41-47 . - doi : 10.1007/s00200-006-0196-1 .
↑ T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst. Asymptoottinen sarja yleistetystä Lambert W -funktiosta // SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) : lehti . - 2013. - Vol. 47 , nro. 185 . - s. 75-83 .
↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W. Z. Zhang. Yleistetyn Lambert W -funktion numerot (epämääräinen) // SIGSAM. - 2014. - T. 48 , nro 1/2 . - S. 42-56 .
↑ P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott. N-kehon painovoima ja Schrödingerin yhtälö (englanniksi) // Klassinen ja kvanttipainovoima : päiväkirja. - 2007. - Voi. 24 , nro. 18 . - P. 4647-4659 . - doi : 10.1088/0264-9381/24/18/006 .
↑ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst. Uusi lähestymistapa vetymolekyyli-ionin elektronisiin energioihin // Chem . Phys. : päiväkirja. - 2006. - Voi. 324 . - s. 323-338 . - doi : 10.1016/j.chemphys.2005.10.031 .
↑ Maignan, Aude; Scott, TC Täsmentää yleistä Lambert W -funktiota (määrittämätön) // SIGSAM. - 2016. - T. 50 , nro 2 . - S. 45-60 . - doi : 10.1145/2992274.2992275 .
↑ T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III. Heliumatomin ominaisfunktioiden solmupinnat // Phys . Rev. A : päiväkirja. - 2007. - Voi. 75 . — P. 060101 . - doi : 10.1103/PhysRevA.75.060101 .
↑ Kaksinkertainen tarkkuustoiminto LAMBERTW(X) Arkistoitu 2. syyskuuta 2005 Wayback Machinessa QCDINS- paketissa Arkistoitu 4. huhtikuuta 2005 Wayback Machinessa