Absoluuttinen konvergenssi

Konvergenttia sarjaa kutsutaan ehdottoman konvergentiksi, jos moduulisarja konvergoi , muuten sitä kutsutaan ehdollisesti konvergentiksi . $\sum a_{n}$ $\sum |a_{n}|$

Vastaavasti, jos funktion virheellinen integraali suppenee, sitä kutsutaan absoluuttisesti tai ehdollisesti konvergentiksi riippuen siitä, konvergoiko sen moduulin integraali vai ei . $\int f(x)\,dx$ $\int |f(x)|\,dx$

Yleisen normoidun avaruuden tapauksessa määritelmässä oleva moduuli korvataan normilla.

Rivit

Absoluuttisen konvergenssin merkkejä

Vertailun merkki

Jos klo , niin: $\exists N_{0}:|a_{n}|\leqslant b_{n}$ $n\geqslant N_{0}$

jos sarja suppenee, sarja suppenee ehdottomasti $\sum b_{n}$ $\sum a_{n}$
jos sarja eroaa, sarja eroaa $\sum a_{n}$ $\sum b_{n}$

Cauchyn kriteerin mukaan . Näin ollen , ja Cauchyn kriteerin mukaan sarja konvergoi. Toinen väite seuraa ensimmäisestä, koska jos sarja lähentyisi, sarja lähentyisi.

\forall \varepsilon >0\ \exists N\geqslant N_{0}\ \forall m\geqslant n\geqslant N:\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k} \right|\leqslant \varepsilon

\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}a_{k}\right|\leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}|a_{k}| \leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\leqslant \left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\right| \leqslant \varepsilon

\sum a_{n}

\sum b_{n}

\sum a_{n}

Monotonisesti pienenevien termien sarjojen konvergenssin kriteeri

Anna . Sitten sarja konvergoi jos ja vain jos sarja konvergoi $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant ...\geqslant 0$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ $\sum _{{k=0}}^{{\infty }}2^{{k}}a_{{2^{k}}}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+ 8a_{8}+...$

Todiste

Merkitse:

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

$t_{k}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+...+2^{{k}}a_{{2^{k}}}$

Koska ei-negatiivisten termien sarjan konvergenssi vastaa sen osittaissummien jonon rajoittuneisuutta, riittää, kun osoitetaan, että ja ovat samanaikaisesti rajallisia tai rajoittamattomia. $s_{n}$ $t_k$

Kun meillä on $n<2^{k}$

$s_{n}\leqslant a_{1}+(a_{2}+a_{3})+...+(a_{{2^{k}}}+...+a_{{2^{{ k+1}}-1}})\leqslant a_{1}+2a_{2}+...+2^{{k}}a_{{2^{k}}}=t_{k}$

Tällä tavalla, $s_{n}\leqslant t_{k}$

Toisaalta, milloin $n>2^{k}$

$s_{n}\geqslant a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+...+(a_{2^{k-1}+1}+. ..+a_{2^{k)))\geqslant {\frac {1}{2}}a_{1}+a_{2}+2a_{4}+...+2^{k-1} a_{2^{k}}={\frac {1}{2}}t_{k}$

Siten molemmat sekvenssit ja tai molemmat ovat rajoitettuja tai molemmat eivät ole rajoitettuja. $2s_{n}\geqslant t_{k}$ $s_{n}$ $t_k$

Cauchyn ja d'Alembertin merkit

d'Alembertin merkki

Rivi $\sum a_{n}$

konvergoi ehdottomasti jos $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|<1$
Se eroaa, jos $\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|>1$
Joille on olemassa sekä konvergentti- että divergenttisarjoja $\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{{n\ to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\oikea|$

Cauchy merkki

Anna sarja ja annetaan . Sitten $\sum a_{n}$ $\alpha =\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{|a_{n}|}}$

Jos , niin sarja konvergoi ehdottomasti $\alfa < 1$
Jos , niin sarja eroaa $\alpha >1$
Joille on olemassa sekä konvergentti- että divergenttisarjoja $\alpha=1$

Väite Cauchyn ja d'Alembertin merkkien lähentymisestä on johdettu vertailusta geometriseen progressioon (nimittäjillä ja vastaavasti), hajaantumisesta - siitä tosiasiasta, että sarjan yhteinen termi ei pyri nollaan. $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$ $\alpha$

Jos d'Alembert-merkki osoittaa lähentymistä, niin Cauchyn merkki osoittaa konvergenssia; jos Cauchyn testi ei anna meidän tehdä johtopäätöstä konvergenssista, niin d'Alembert-testi ei myöskään anna meidän tehdä johtopäätöksiä. Cauchyn testi on vahvempi kuin d'Alembert-testi, koska on sarjoja, joille Cauchyn testi osoittaa konvergenssia ja d'Alembertin testi ei osoita konvergenssia.

Cauchy-Maclaurin integraalitesti

Annetaan sarja ja funktio siten , että: $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n},a_{n}\geqslant 0$ $f(x):\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$f(x)$ ei tiukasti monotonisesti laskeva: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$
$\forall \ n:\ f(n)=a_{n}$

Sitten sarja ja integraali suppenevat tai hajoavat samanaikaisesti, ja $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$ $\forall k\geqslant 1\ \sum _{{n=k}}^({\infty }}a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^({\infty }}f(x)dx \geqslant \sum _{{n=k+1}}^{{\infty }}a_{n}$

Raaben merkki

Anna sarjan ja annetaan . $\sum a_{n}$ $a_{n}>0$ $R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\oikea)$

Jos , niin sarja konvergoi $\varliminf _{{n\to \infty }}R_{n}>1$
Jos , niin sarja eroaa $\varlimsup _{{n\to \infty }}R_{n}\leqslant 1$
Joille on olemassa sekä konvergentti- että divergenttisarjoja $\varliminf _{{n\to \infty }}R_{n}\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{{n\to \infty }}R_{n}$

Raabe-merkki perustuu vertailuun yleistettyyn harmoniseen sarjaan

Rivitoiminnot

Jos molemmat sarjat konvergoivat absoluuttisesti, niin niiden summa konvergoi ehdottomasti . $\sum a_{n}$ $\sum b_{n}$ $\summa (a_{n}+b_{n})$
Jos ainakin yksi sarjoista konvergoi absoluuttisesti, niiden Cauchy-tuote konvergoi, mutta jos molemmat sarjat konvergoivat absoluuttisesti, niiden tuote konvergoi ehdottomasti $\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }b_{n}$ $\sum c_{n},c_{n}=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}$
Sarja konvergoi ehdottomasti, jos ja vain jos jokainen sen permutaatio konvergoi. Lisäksi kaikki ehdottoman konvergentin sarjan permutaatiot konvergoivat samaan summaan.

Esimerkkejä

Ajatellaanpa sarjaa . Tälle riville: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+...$

$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {2}{3}}\right)^{n}=0$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {2n}]{{ \frac {1}{2^{n}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {3}{2}}\right)^{n}=+\infty$

Siten Cauchyn testi osoittaa konvergenssin, kun taas d'Alembertin testi ei salli johtopäätösten tekemistä.

Harkitse sarjaa $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}2^{{n-(-1)^{n}}}$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {2 ^{{n+1+1}}}{2^{{n-1}}}}=8$
$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {2 ^{{n+1-1}}}{2^{{n+1}}}}={\frac {1}{2}}$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}2{\sqrt[ {n}]{ 2^{{(-1)^{n}}}}}}=2$

Siten Cauchyn testi osoittaa eroa, kun taas d'Alembertin testi ei salli johtopäätösten tekemistä.

Sarja konvergoi ja eroaa kuitenkin: $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ $\alpha >1$ $\alpha \leqslant 1$

$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}n^{{\alpha /n}} =1$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$

Näin ollen Cauchyn ja d'Alembertin merkit eivät anna meidän tehdä mitään johtopäätöksiä.

Sarja konvergoi ehdollisesti Leibnizin testin mukaan, mutta ei absoluuttisesti, koska harmoninen sarja hajoaa. $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum _{{n=1} }^{{\infty }}{\frac {1}{n}}$

Ensimmäisen tyyppisten virheellisten integraalien absoluuttinen konvergenssi

Määritelmä

Ensimmäisen tyyppistä väärää integraalia kutsutaan ehdottoman konvergentiksi , jos integraali suppenee . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$ $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$

Ominaisuudet

integraalin konvergenssi tarkoittaa integraalin konvergenssia . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$ $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$
Ensimmäisen tyypin virheellisen integraalin absoluuttisen konvergenssin tunnistamiseksi käytetään ensimmäisen tyypin ei-negatiivisten funktioiden sopimattomien integraalien konvergenssin merkkejä .
Jos integraali poikkeaa, niin Abel- ja Dirichlet - merkkejä voidaan käyttää tunnistamaan ensimmäisen tyypin virheellisen integraalin ehdollinen konvergenssi . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$

Toisen tyyppisten virheellisten integraalien absoluuttinen konvergenssi

Määritelmä

Antaa olla määritelty ja integroitavissa , rajoittamaton pisteen vasemmalla naapurustossa . Toisen tyyppistä epäsopivaa integraalia kutsutaan ehdottoman konvergentiksi , jos integraali suppenee . $f(x)$ $[a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;ba)$ $b$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$

Ominaisuudet

integraalin konvergenssi tarkoittaa integraalin konvergenssia . $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx$
Toisen tyypin virheellisen integraalin absoluuttisen konvergenssin tunnistamiseksi käytetään toisen tyyppisten ei-negatiivisten funktioiden sopimattomien integraalien konvergenssin merkkejä.
Jos integraali poikkeaa, niin Abel- ja Dirichlet - merkkejä voidaan käyttää tunnistamaan toisen tyyppisen virheellisen integraalin ehdollinen konvergenssi . $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$

Lähteet

Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja. - Toim. 7., stereotyyppinen. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1967. - S. 296.

Katso myös

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen