Autoregressiivinen ehdollinen heteroskedastisuus

Autoregressiivinen ehdollinen heteroskedastisuus ( ARCH - AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) on ekonometriassa aikasarjojen (ensisijaisesti taloudellisten) analysointiin käytetty malli , jossa sarjan ehdollinen (sarjan aikaisempien arvojen mukaan) varianssi riippuu menneistä arvoista. sarjasta, näiden varianssien aiemmat arvot ja muut tekijät. Nämä mallit on tarkoitettu "selittämään" rahoitusmarkkinoiden volatiliteetin klusteroitumista, kun korkean volatiliteetin jaksot jatkuvat jonkin aikaa, joita seuraa alhaisen volatiliteetin jaksot ja keskimääräistä (pitkän aikavälin, ehdotonta) volatiliteettia voidaan pitää suhteellisen vakaana.

ARCH-malleja ehdotti ensimmäisen kerran Robert Engle vuonna 1982. Jo vuonna 1986 Bollerslev ehdotti näiden mallien yleistämistä (GARCH). Tulevaisuudessa useat kirjoittajat ehdottivat muita tämäntyyppisten mallien versioita ottaen huomioon tietyt ominaisuudet.

Perusmallit

ARCH

Olkoon aikasarja seuraava prosessi $u_{t}$

$u_{t}=\varepsilon _{t}{\sqrt {\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}u_{{ti}}^{ 2}}}$

missä on valkoinen kohina . $\varepsilon _{t}$

Silloin sekä tämän prosessin ehdollinen että ehdoton odotus ovat nolla. Tämän prosessin ehdollinen varianssi on yhtä suuri kuin

$\sigma _{t}^{2}=V(u_{t}|u_{t-1},...,u_{tq})=\alpha _{0}+\sum _{i =1}^{q}\alpha _{i}u_{ti}^{2}$

Tällaista ehdollista varianssimallia kutsutaan ARCH(q)-malliksi. Negatiivisten varianssiarvojen välttämiseksi oletetaan, että kaikki mallin kertoimet ovat ei-negatiivisia ja vakio on ehdottomasti positiivinen. Jos tämä prosessi on paikallaan, niin ehdoton varianssi on vakio ja yhtä suuri, ilmeisesti

$\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}}}$

Stacionaarisuuden välttämätön ehto on, että mallin kertoimien summa (ilman vakiota) on ehdottomasti pienempi kuin yksi. Jos kertoimien summa on yksi, meillä on integroitu ARCH (ei-stationaarinen).

ARCH-prosesseille on ominaista positiivinen kurtoosi ("rasvapyrstö"). Esimerkiksi ARCH(1)-prosessissa siirtymä normaalijakauman kurtoosista on , jos $6\alpha _{1}^{2}/(1-3\alpha _{1}^{2})$ $\alpha _{1}<1/{\sqrt {3}}$

ARCH(q)-mallin parametrien estimointi voidaan tehdä käyttämällä tavallista pienimmän neliösumman menetelmää .

GARCH

ARCH-malli olettaa, että ehdollinen varianssi riippuu vain aikasarjan menneiden arvojen neliöistä. Tämä malli voidaan yleistää olettaen, että ehdollinen varianssi riippuu myös itse ehdollisen varianssin aiemmista arvoista. Tämä on niin kutsuttu yleistetty ARCH (Generalized ARCH - GARCH). Tässä tapauksessa GARCH(p, q) -malli (missä p on GARCH-jäsenten järjestys ja q on ARCH-jäsenten järjestys ) kuvataan seuraavasti: $\sigma ^{2}$ $u^{2}$

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}u_{{ti}}^{2}+\ summa _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{2}$

Kiinteyttämisen välttämätön ehto . Stationaarisen GARCH(p, q)-prosessin ehdoton varianssi on vakio ja yhtä suuri kuin $\sum _{{i=1}}^{p}~\beta _{{i}}+\sum _{{i=1}}^{q}~\alpha _{{i}}<1$

$\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{{\varepsilon }}^{2}}{1-\sum _{{i=1}}^{p}~\beta _{{i} }-\sum _{{i=1}}^{q}~\alpha _{{i}}}}$

Jos kertoimien summa on yhtä suuri kuin yksi, niin meillä on integroitu GARCH - IGARCH , jonka ehdoton varianssi on ääretön .

GARCH-M

Angle ym. ehdottivat GARCH-in-Meanin (GARCH-M) vuonna 1987. Tässä tapauksessa emme puhu erityisestä ehdollisen varianssin mallista. Puhumme ehdollisen varianssin käytöstä yhtenä riskipreemion regressiomallin tekijöistä. Jos merkitsemme ylimääräistä tuottoa , niin GARCH-M-malli tarkoittaa, että [1] $y_{t}$

${\displaystyle y_{t}=a+f(\sigma _{t}^{2})-E[f(\sigma _{t+1}^{2})]+u_{t))$

jossa mallin satunnaisvirhe on ehdollinen varianssi GARCH-prosessi ja f on jokin funktio. $\sigma _{t}^{2}$

Engle käytti funktiota , mutta kaikki vaihtoehdot ovat teoriassa mahdollisia, erityisesti yksinkertaisesti tai . Kaikki kolme vaihtoehtoa (dispersio, sco ja varianssilogaritmi) ovat saatavilla Eviews-ekonometrisessa ohjelmassa (esimerkiksi versiossa 10). $f(\sigma _{t}^{2})=b{\sqrt {\sigma _{t}^{2))}=b\sigma _{t}$ $f(\sigma _{t}^{2})=b\sigma _{t}^{2}$ $f(\sigma _{t}^{2})=b\ln {\sigma _{t}^{2))$

Epäsymmetriset GARCH-mallit

Näillä taustalla olevien mallien modifikaatioilla on tarkoitus ottaa huomioon rahoitusmarkkinoilla toisinaan havaittava epäsymmetria: huonoilla uutisilla (negatiivisilla sokeilla) on yleensä suurempi vaikutus volatiliteettiin kuin hyvillä uutisilla (positiiviset shokit), eli volatiliteetti on suurempi laskussa. markkinoilla kuin nousevalla. Tätä vaikutusta kutsutaan joskus vipuvaikutukseksi (leverage), joka liittyy yhteen tämän ilmiön selityksistä, että osakekurssit laskevat, mikä lisää yritysten taloudellista vipuvaikutusta ja siten riskitasoa (joka vastaa suurempaa volatiliteettia). Klassisten GARCH-mallien puitteissa tätä vaikutusta ei voida selittää, koska ehdollinen varianssi riippuu sarjan aiempien arvojen neliöistä eikä riipu merkeistä.

EGARCH

EGARCH-mallia ehdotti Nelson vuonna 1991. Tässä mallissa on epäsymmetrian huomioimisen lisäksi ratkaistu myös mallin positiivisen määrityksen ongelma, koska ehdollisten varianssien sijaan mallissa ovat mukana niiden logaritmit:

$\ln \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}g(z_{ti})+\ summa _{j=1}^{p}\beta _{j}\ln \sigma _{tj}^{2}~,~~~g(z_{t})=\delta _{1}z_{ t}+\delta _{2}(|z_{t}|-{\sqrt {2/\pi }})~,~~~z_{t}\sim iid(0,1)$

AGARCH

Angle ehdotti epäsymmetristä GARCH-mallia (AGARCH) vuonna 1990.

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}(u_{{ti}}-\gamma )^ {2}+\sum _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{2}$

Engle ja Ng ehdottivat epälineaarista AGARCH(1,1)-mallia (NAGARCH) vuonna 1993.

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}(u_{{t-1}}/\sigma _{{t-1}}-\gamma )^{ 2}+\beta \sigma _{{t-1}}^{2}$

TGARCH ja GJR-GARCH

GARCH-kynnysmallit (Threshold GARCH, TGARCH) ehdottivat Zakoyan vuonna 1991 ja itsenäisesti Glosten, Jagannathan ja Runkle vuonna 1993 (jälkimmäiseen malliin viitataan kirjoittajien GJR-GARCHin nimillä). Ainoa ero näiden kahden mallin välillä on se, että Zakoyan-malli käyttää ehdollisia keskihajontoja, kun taas GJR-malli käyttää ehdollista varianssia. Nämä mallit voidaan esittää seuraavasti:

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}(\alpha _{i}u_{{ti}}^{ {\delta }}+\gamma _{i}I_{{ti}}^{-}u_{{ti}}^({\delta }})+\sum _{{j=1}}^{p }\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{{\delta }}~,~~I_{t}^{-}={\begin{cases}1,~u_{t}<0 \\0,~u_{t}\geqslant 0\end{cases}}$

missä Zakoyan - mallille ja GJR - mallille - . Itse asiassa mallit ottavat käyttöön erilaisia kertoimia sarjan negatiivisille ja positiivisille menneille arvoille, joten joskus TGARCH-malli esitetään myös seuraavassa muodossa: $\delta=1$ $\delta=2$

$\sigma _{t}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}(\alpha _{i}^{+}u_{{ti}}^{+}+ \alpha _{i}^{-}u_{{ti}}^{-})+\sum _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}$

missä . $u^{+}=\max(0,u)~,~u^{-}=\max(0,-u)$

QGARCH

Sentanan vuonna 1995 ehdottama neliöllinen GARCH (QGARCH).

$\sigma _{t}^{2}=\sigma ^{2}+a^{T}x_{tq}+x_{tq}^{T}Ax_{tq}+\sum _{j= 1}^{p}\beta _{j}\sigma _{tj}^{2}~,~~x_{tq}=(u_{t-1}...,u_{tq})^{T }$

missä A on symmetrinen positiivinen määrätty matriisi, a on positiivinen vektori.

Tämä malli ottaa huomioon vipuvaikutuksen lisäksi matriisin A diagonaalista poikkeavista elementeistä johtuvien viiveiden vaikutuksen mahdollisen vuorovaikutuksen . Jos matriisi A on diagonaalinen ja vektori a on nolla, saadaan standardi GARCH-mallit. Jos diagonaalimatriisilla A vektori a ei ole nolla, niin meillä on epäsymmetrinen GARCH. Jos , jossa c on jokin vektori ja kertoimet , niin saadaan keskihajonnan lineaarinen malli $A=cc^{T},~a=2\sigma c$ $\beta _{j}=0$ $\sigma _{t}=|\sigma +c^{T}x_{{tq}}|$

Mallien yleistäminen

APGARC

Asymmetric Power GARCH (APGARCH) -mallia ehdottivat Ding ja muut vuonna 1993, ja se on yleistys monista muista malleista:

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}(|u_{{ti}}| -\gamma _{i}u_{{ti)))^{{\delta }}+\sum _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^{ {\delta }}~,~\delta >0,~-1<\gamma _{i}<1$

Jos tehoparametri on , ja epäsymmetriatekijä on , saadaan tavalliset GARCH-mallit. Jos (vinollisuuskerroin on myös nolla), saadaan GARCH-malli Taylorin (1986) ja Schwertin (1989) ehdolliseen keskihajontaan: $\delta=2$ $\gamma _{i}=0$ $\delta=1$

$\sigma _{t}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}|u_{{ti}}|+\sum _{{j= 1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}$

Jos epäsymmetriatekijä ei ole nolla, saadaan TGARCH-malli. Jos epäsymmetriatekijä ottaa myös ei-negatiivisia arvoja, saadaan GJR-GARCH. $\delta=2$

Yleisessä tapauksessa, jos , niin saadaan vuonna 1992 ehdotettu Higginsin ja Behrin epälineaarinen GARCH (NGARCH) $\gamma _{i}=0$

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}|u_{{ti}}|^ {{\delta }}+\sum _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^({\delta }}~,~~,\delta >0$

Hentschel-malli (fGARCH)

Hentschel ehdotti tätä mallia vuonna 1995. Se käyttää tunnettua Box-Cox-muunnosta, jonka avulla voidaan ottaa huomioon suuri valikoima malleja. Yhden viiveen mallilla on muoto:

${\frac {\sigma ^{{\lambda }}-1}{\lambda }}=\alpha _{0}+\alpha \sigma _{{t-1}}^({\lambda }}f^ {{\nu }}(z_{{t-1}})+\beta {\frac {\sigma ^{{\lambda }}-1}{\lambda }}~,~~f(z_{{t -1}})=|z_{{t}}-b|-c(z_{{t}}-b)$

Jos ja b=0, niin saamme APGARCH(1,1), ja siten kaikki yksityiset mallit, jotka viimeinen malli ottaa huomioon. Tämä malli, toisin kuin APGARCH, mahdollistaa myös EGARCH:n saamisen — rajassa , Box-Cox-muunnos on yhtä suuri kuin logaritminen funktio, ja jos , niin saadaan EGARCH(1,1). $\lambda=\nu$ $\lambda \rightarrow 0$ $\nu=1$

Käytetyt jakelut

GARCH-malleissa käytetään erilaisia jakaumia vastaamaan paremmin rahoitussarjojen empiirisiä piirteitä. Jopa normaalijakauman käyttö selittää suurelta osin "rasvapyrstöjä" tuottojen jakautumisessa. Tämä ei kuitenkaan riitä. Usein on hyödyllistä käyttää pienellä määrällä vapausasteita olevaa Studentin jakaumaa , jolla on normaalijakaumaa paksumpi häntä. Tällaisia malleja kutsutaan joskus nimellä GARCH-t. Epäsymmetrian huomioon ottamiseksi käytetään myös erityistä vinoa Studentin jakaumaa (Hansenin t-jakauma). Tällaisia malleja kutsutaan joskus nimellä GARCH-HT

GED-jakelut.

Regressiomallit, joissa on GARCH-virhe

Regressiomallit, joissa satunnaisvirhe tyydyttää jonkin autoregressiivisen ehdollisen heteroskedastisuuden prosessin, voidaan arvioida tavallisella pienimmän neliösumman menetelmällä , joka tässä tapauksessa antaa myös parhaat lineaariset puolueettomat estimaatit, koska ehdoton satunnaisvirhevarianssi on vakio eikä autokorrelaatiota ole. satunnaisista virheistä. On kuitenkin mahdollista saada tehokkaampia epälineaarisia estimaattoreita maksimitodennäköisyyden menetelmällä . Voidaan esimerkiksi osoittaa, että maksimaalisen todennäköisyyden menetelmän soveltaminen malliin, jossa on ARCH(1)-virhe, vastaa seuraavan funktion minimoimista:

$\sum _{{t=1}}^{n}\ln(a_{0}+a_{1}e_{{t-1}}^{2})+\sum _{{t=1}} ^{n}{\frac {e_{t}^{2}}{a_{0}+a_{1}e_{{t-1}}^{2}}}$

regressiomallin e -residuaalit

Näin ollen GARCH-prosessia koskevan lisäinformaation huomioon ottaminen satunnaisvirheissä mahdollistaa mahdollisesti tarkempien arvioiden saamisen mallin parametreista.

Vielä suurempi vaikutus on kuitenkin regressiomalleja käyttävien välilyhyiden ennusteiden tapauksessa. Tässä tapauksessa GARCH-mallin avulla voit arvioida tarkemmin aikaisempien tietojen ehdollista varianssia ja rakentaa tarkemman aikaväliennusteen.

Tässä suhteessa on tärkeää testata ARCH-prosessia mallivirheissä.

ARCH-testaus

Testissä käytetään pienimmän neliösumman regressiojäännöksiä. Tätä varten muodostetaan residuaalien neliöiden apuregressio menneiden jäännösten neliöille. Sitten F-testillä tai LM-testillä tarkistetaan tämän apuregression merkitys. Jos se tunnistetaan merkittäväksi, ARCH-vaikutus on merkittävä. Muuten sitä voidaan pitää merkityksettömänä.

Muistiinpanot

↑ Eduardo Rossi Yksiulotteiset GARCH-mallit: yleiskatsaus // Kvantiili. nro 8, s. 1–67.