Algebrallisesti suljettu kenttä on kenttä , jossa jokaisella nollasta poikkeavalla polynomilla on vähintään yksi juuri .
Jokaiselle kentälle on olemassa ainutlaatuinen, jopa isomorfia , sen algebrallinen sulkeutuminen , eli sen algebrallinen laajennus , joka on algebrallisesti suljettu.
Erään mahdollisen algebrallisen sulkemisen rakenteen mielivaltaiselle kentälle rakensi Emil Artin .
Olkoon kenttä annettu . Tämän kentän algebrallinen sulkeminen on tarpeen rakentaa.
Määrittele kentän kaikkien redusoitumattomien polynomien joukkona . Jokainen polynomi liittyy muuttujaan . Merkitään kaikkien tällaisten muuttujien joukolla . Muodostamme polynomien renkaan . Voidaan osoittaa, että kaikkien muodon polynomien luoma ideaali ei ole yksittäinen. Sitten voimme siirtyä ideaalin sisältävään maksimaaliseen ideaaliin (tässä käytetään valinnan aksioomaa ) ja saada kenttä . Jos tunnistamme vakiopolynomit pääkentän elementtien kanssa, saamme .
Kenttä voidaan nähdä kenttänä, joka saadaan lisäämällä kenttään yksi juuri jokaisesta redusoitumattomasta polynomista. Kiinnittääksesi loput juuret, sinun on toistettava tämä rakenne. Toista se kentälle ja hanki kenttä . Toistamalla tämän kerran saat kentän . Näin ollen meillä on peltojen torni :
Kaikkien näiden kenttien yhdistäminen antaa kentän . Tämän kentän algebrallinen sulkeutuminen on ilmeinen. [yksi]