Algebrallisesti suljettu kenttä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12. joulukuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Algebrallisesti suljettu kenttä on kenttä , jossa jokaisella nollasta poikkeavalla polynomilla on vähintään yksi juuri . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

Jokaiselle kentälle on olemassa ainutlaatuinen, jopa isomorfia , sen algebrallinen sulkeutuminen , eli sen algebrallinen laajennus , joka on algebrallisesti suljettu.

Ominaisuudet

Algebrallisesti suljetussa kentässä jokaisella n -asteen polynomilla on täsmälleen n (moninkertaisuus) juurta . Toisin sanoen jokaisella redusoitumattomalla polynomilla polynomirenkaassa on aste 1. Katso myös Bézoutin lause . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$
Äärillisiä kenttiä ei voi sulkea algebrallisesti. Todellakin, voidaan tarkastella äärellisen asteen polynomia, jonka juuret ovat kaikki kentän elementtejä. Jos siihen lisätään 1 , tuloksena olevalla polynomilla ei ole juuria.
Reaalilukukentän algebrallinen sulkeminen on kompleksilukujen kenttä . Sen algebrallinen sulkeminen perustuu algebran peruslauseeseen .
Rationaalilukujen kentän algebrallinen sulkeminen on algebrallisten lukujen kenttä .
Aritmeettisten lukujen kenttä on algebrallisesti suljettu.

Rakentaminen

Erään mahdollisen algebrallisen sulkemisen rakenteen mielivaltaiselle kentälle rakensi Emil Artin .

Olkoon kenttä annettu . Tämän kentän algebrallinen sulkeminen on tarpeen rakentaa. $\mathbb {K}$

Määrittele kentän kaikkien redusoitumattomien polynomien joukkona . Jokainen polynomi liittyy muuttujaan . Merkitään kaikkien tällaisten muuttujien joukolla . Muodostamme polynomien renkaan . Voidaan osoittaa, että kaikkien muodon polynomien luoma ideaali ei ole yksittäinen. Sitten voimme siirtyä ideaalin sisältävään maksimaaliseen ideaaliin (tässä käytetään valinnan aksioomaa ) ja saada kenttä . Jos tunnistamme vakiopolynomit pääkentän elementtien kanssa, saamme . $F\subset \mathbb {K} [x]$ $\mathbb {K}$ ${\näyttötyyli x_{f))$ $X$ $X=\{x_{f}|f\in F\}$ $\mathbb {K} [X]$ $minä$ $f(x_{f})$ $minä'$ $minä$ $\mathbb {K_{1}}=\mathbb {K} [X]/I'$ $\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}}$

Kenttä voidaan nähdä kenttänä, joka saadaan lisäämällä kenttään yksi juuri jokaisesta redusoitumattomasta polynomista. Kiinnittääksesi loput juuret, sinun on toistettava tämä rakenne. Toista se kentälle ja hanki kenttä . Toistamalla tämän kerran saat kentän . Näin ollen meillä on peltojen torni : $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K_{2}}$ $n$ $\mathbb {K_{n}}$

\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n)) \subset \mathbb {K_{n } +1}} \subset \ldots

Kaikkien näiden kenttien yhdistäminen antaa kentän . Tämän kentän algebrallinen sulkeutuminen on ilmeinen. [yksi] $\mathbb {K_{\infty ))=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n))$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Pituus S. Algebra. - M.: Mir, 1968.