Asymptoottinen käyrä

Asymptoottinen käyrä (asymptoottinen viiva) on käyrä tasaisella säännöllisellä pinnalla euklidisessa avaruudessa , joka tangentti pinnan asymptoottista suuntaa kussakin pisteessä , ts. suunta, jossa pinnan normaalileikkauksella on nollakaarevuus . Koska normaaleja nollakaarevia leikkeitä ei ole pinnan kaikissa kohdissa, asymptoottiset viivat eivät yleisesti ottaen täytä koko pintaa. Asymptoottinen käyrä määritellään differentiaaliyhtälöllä $\gamma=\gamma(t)$ $F$ $F$

\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\piste\gamma(t),\piste\gamma(t))=0,

missä on pinnan toinen perusmuoto . $\mathrm{I\!I}$ $F$

Kolmen tyyppisiä pintapisteitä

Pisteitä, joissa Gaussin kaarevuus kutsutaan hyperbolisiksi (esimerkki pinnasta, joka koostuu kokonaan hyperbolisista pisteistä, on yksiarkkinen hyperboloidi tai hyperbolinen paraboloidi); pisteitä, joissa Gaussin kaarevuutta kutsutaan elliptisiksi (esimerkki pinnasta, joka koostuu kokonaan elliptisistä pisteistä, on ellipsoidi tai kaksiarkkinen hyperboloidi); Pisteitä, joissa Gaussin kaarevuutta mutta keskikaarevuutta kutsutaan paraboliksi (esimerkki pinnasta, joka koostuu kokonaan parabolisista pisteistä, on sylinteri). Paraboliset pisteet muodostavat pääsääntöisesti käyrän, joka jakaa pinnan elliptisiin ja hyperbolisiin alueisiin. $K<0$ $K>0$ $K = 0$ $K \neq 0$

Elliptisten pisteiden alueella ei ole asymptoottisia viivoja. Hyperbolisten pisteiden alueella on täsmälleen kaksi asymptoottisten viivojen perhettä, jotka muodostavat niin sanotun asymptoottisen verkoston : kunkin perheen yksi viiva kulkee jokaisen hyperbolisen pisteen läpi, ne leikkaavat nollasta poikkeavassa kulmassa. Parabolisissa pisteissä asymptoottisilla viivoilla on pääsääntöisesti kärkityyppinen singulaarisuus ja ne ovat puolikuutioisia paraboleja , jotka sijaitsevat (lukuun ottamatta itse kärkeä) hyperbolisella alueella parabolisen viivan vieressä.

Ominaisuudet

Asymptoottisen käyrän tangenttitaso (jos sellainen on) osuu samaan pisteeseen tangenttitason kanssa . $\gamma$ $F$
( Beltrami-Enneper -lause ) Asymptoottisen käyrän vääntön neliö (missä se on määritelty) on yhtä suuri kuin pinnan Gaussin kaarevuuden moduuli . $F$
Pinnan suora segmentti on aina asymptoottinen käyrä. Erityisesti pinnan suoraviivaiset generaattorit ovat asymptoottisia käyriä. $F$
Pinnoilla, joilla on jatkuva negatiivinen kaarevuus, asymptoottinen verkko on Chebyshev-verkko , ja asymptoottisten käyrien muodostaman nelikulmion pinta-ala on verrannollinen sen sisäkulmien summan ylitykseen (Haczidakisin kaava). $2\pi$
Minimaalisella pinnalla asymptoottinen verkko on ortogonaalinen verkko .
Projektiivisen avaruusmuunnoksen yhteydessä pinnan asymptoottiset käyrät siirtyvät muunnetun pinnan asymptoottisiin käyriin . $\pi$ $F$ $\pi(F)$

Yhtälö funktion kuvaajalle

Olkoon euklidisen avaruuden pinta koordinaatteineen ja metriikkaineen annettu funktion kuvaajana . Sitten koordinaateissa pinnan asymptoottiset suorat on annettu differentiaaliyhtälön avulla.. Esittelemällä merkinnän , se voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Neliön kolmiosaisen diskriminantti vasemmalla (suhteessa muuttujaan ) osuu yhteen Hessenin kanssa funktiosta , joka on otettu vastakkaisella etumerkillä, ja yhtälö määrittelee käyrän tasolle, joka koostuu pinnan parabolisista pisteistä (edellyttäen, että yksi kertoimista tai on eri kuin nolla), joka on myös annetun differentiaaliyhtälön diskriminanttikäyrä , jota ei ole ratkaistu johdannaisen suhteen. Tyypillisessä tapauksessa, lähes kaikissa parabolisissa pisteissä, tällä yhtälöllä on Cibrario-normaalimuoto , ainoat poikkeukset ovat diskreetti diskriminanttikäyrällä sijaitsevat pisteet, joissa yhtälön normaalimuoto on monimutkaisempi. Asymptoottisten viivojen yhtälöllä on vielä monimutkaisempi normaalimuoto pisteissä, joissa kaikki kolme kerrointa , , katoavat samanaikaisesti , nämä ovat ns. kaikilla pinnan normaaliosilla on nollakaarevuus. $x, y, z$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $z=f(x,y)$ $x,y$ $f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0.$ $p=dy/dx$ $f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.$ $\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}$ $s$ $f(x,y)$ $\Delta=0$ $(x,y)$ $f_{{xx}}$ $f_{yy}$ $f_{{xx}}$ $f_{xy}$ $f_{yy}$ $H=K=0$

Esimerkkejä

Kaikki yksiarkkisen hyperboloidin pisteet ovat hyperbolisia. Asymptoottisten viivojen yhtälö on tässä tapauksessa muotoa , jossa . On helppo tarkistaa, että tämän yhtälön yleinen ratkaisu saadaan kaavasta , jossa parametrit ja ovat suhteen alaisia . Siten saamme kaksi perhettä (vastaavat eri merkkejä kaavassa ) yksiarkisen hyperboloidin asymptoottisia viivoja, jotka ovat yhtäpitäviä sen suoraviivaisten generaattorien perheiden kanssa. $x^2+y^2-z^2=1$ $(x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0$ $p=dy/dx$ $y=kirves+b$ $a$ $b$ $b^2-a^2=1$ $\pm$ $b = \pm \sqrt{a^2+1}$

Kartion asymptoottiset linjat ovat myös yhtäpitäviä sen suoraviivaisten generaattoreiden kanssa. Koska kaikki kartion pisteet ovat parabolisia, meillä on täsmälleen yksi perhe asymptoottisia viivoja. $x^2+y^2-z^2=0$

Yhtälön antaman pinnan tapauksessa meillä on . Parabolisten pisteiden viiva ( ) jakaa pinnan elliptisiin ( ) ja hyperbolisiin ( ) alueisiin. Jälkimmäinen sisältää kaksi asymptoottisten viivojen perhettä. Kaikissa parabolisissa pisteissä, paitsi origossa ( ), asymptoottisten viivojen yhtälöllä on Cibrario-normaalimuoto, joten näiden pisteiden läheisyydessä olevat asymptoottiset viivat ovat puolikuutioisten paraabelien muotoisia. Alkuperässä asymptoottisten viivojen verkostolla on monimutkaisempi singulaarisuus, jonka luonne riippuu parametrista , katso artikkeli . $z=y^2 + x^2y + ax^4$ $\Delta = (1-6a)x^2 - y$ $y=(1-6a)x^2$ $y>(1-6a)x^2$ $y<(1-6a)x^2$ $x=y=0$ $a$

Asymptoottiset käyrät toruksessa parametrisesti muodossa: $\left\{ \begin{matrix} x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\ y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\ z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\ \end{matriisi} \oikea. \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),$

ovat kaksi rinnakkaista , jotka erottavat hyperboliset ja elliptiset alueet ja koostuvat kokonaan parabolisista pisteistä, ja äärettömästä määrästä erityismuotoisia käyriä, jotka värähtelevät näiden kahden rinnakkaisuuden välillä. $z=\pmr$

Asymptoottinen käyrä on pseudosfäärin kärkireuna .

Kirjallisuus

Rashevsky P. K. Differentiaaligeometrian kurssi, - Mikä tahansa painos.
Finikov S.P. Differentiaaligeometrian kurssi, - Mikä tahansa painos.
Finikov S.P. Pintojen teoria, mikä tahansa painos.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Differentiaaligeometrian ja topologian kurssi, - Mikä tahansa painos.
Toponogov VA Kaarien ja pintojen differentiaaligeometria. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .