Helium atomi

Heliumatomi on kemiallisen alkuaineen helium atomi . Helium koostuu kahdesta elektronista, jotka on sidottu ytimeen, jossa on kaksi protonia, sekä yksi ( 3 He) tai kaksi ( 4 He) neutronia, joita voimakas voima pitää sisällään . Toisin kuin vety , heliumatomille ei ole löydetty suljetun muodon ratkaisua Schrödingerin yhtälölle . Erilaisia approksimaatioita, kuten Hartree-Fock-menetelmää , voidaan kuitenkin käyttää atomin perustilaenergian ja aaltofunktion arvioimiseen.

Johdanto

Heliumatomin kvanttimekaaninen kuvaus on erityisen kiinnostava, koska se on yksinkertaisin monen elektronin järjestelmä, jota voidaan käyttää kvanttikettumuksen käsitteen ymmärtämiseen . Heliumatomin Hamiltonian katsotaan olevan kolmen kappaleen järjestelmä: kaksi elektronia ja yksi ydin. Kun liike on erotettu pienemmän massaisten elektronien liikkeeksi ja massakeskuksen liikkeeksi, se voidaan kirjoittaa seuraavasti

H({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\sum _{i=1,2}{\Bigg (}-{\ frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla _{r_{i}}^{2}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_ {i))}{\Bigg )}-{\frac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}}

missä on elektronin vähentynyt massa suhteessa massiivisempaan ytimeen, ja ovat sädevektorit ytimestä elektroneihin ja elektronien välinen etäisyys . Heliumin ydinpanos on kaksi. Äärettömän raskaan ytimen approksimaatiossa saamme ja termi katoaa. Atomiyksiköissä Hamiltonin on yksinkertaistettu $\mu ={\frac {mM}{m+M))$ ${\vec {r}}_{1}$ ${\vec {r}}_{2}$ $r_{12}=|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|$ $Z$ $M=\infty$ ${\näyttötyyli \mu=m}$ ${\frac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}$

H({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1 ))^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2}}^{2}-{\frac {Z}{r_{1}}}-{\frac {Z }{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.

Tämä Hamiltonin ei toimi normaalitilassa, vaan kuusiulotteisessa konfiguraatioavaruudessa . Tässä approksimaatiossa ( Paulin approksimaatio ) aaltofunktio on nelikomponenttinen toisen asteen spinori , jossa alaindeksit kuvaavat elektronien spinien projektioita (z-suunta ylös tai alas) jossain koordinaattijärjestelmässä. [1] Sen on noudatettava normaaleja ehtoja $({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})$ $\psi _{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})$ $i,j=\,\uparrow ,\downarrow$

\sum _{ij}\int d{\vec {r}}_{1}d{\vec {r}}_{2}|\psi _{ij}|^{2}=1

Tämä yleistetty spinori on kirjoitettu 2×2-matriisina

{\boldsymbol {\psi }}={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow \uparrow }&\psi _{\uparrow \downarrow }\\\psi _{\downarrow \uparrow }&\ psi _{\downarrow \downarrow }\end{pmatrix}}

ja vastaavasti lineaarisen yhdistelmän muodossa missä tahansa annetussa perustassa neljästä ortogonaalista (2x2 matriisien vektoriavaruudessa) vakiomatriisista , joiden kertoimet ovat antaneet skalaarifunktiot muodossa . Kätevä perusta koostuu yhdestä antisymmetrisestä matriisista (kokonaisliikemäärällä singlettitilaa varten ) ${\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}$ $\phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})$ ${\boldsymbol {\psi }}=\sum _{ik}\phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}} _{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}$ $S=0$

{\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )

ja kolme symmetristä matriisia (kokonaismomentilla , triplettitilalle ) $S=1$

{\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}} ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\uparrow \downarrow +\downarrow \uparrow )

. _

{\boldsymbol {\sigma }}_{1}^{1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}=\;\uparrow \uparrow

{\boldsymbol {\sigma }}_{-1}^{1}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}=\;\downarrow \downarrow .

On helppo osoittaa, että singlettitila on invariantti kaikissa rotaatioissa (skalaari), kun taas tripletti liittyy tavalliseen avaruusvektoriin , jossa on kolme komponenttia $(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$

\sigma _{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

, , .

\sigma _{y}={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

\sigma _{z}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

Koska kaikki edellä olevan (skalaari) Hamiltonin neljän komponentin spin-vuorovaikutukset voidaan jättää huomiotta (esimerkiksi ulkoinen magneettikenttä, relativistiset vaikutukset sekä spin-kiertorata-vuorovaikutus), voidaan neljä Schrödinger-yhtälöä ratkaista itsenäisesti. [2]

Spin tulee ongelmaan Pauli-periaatteen kautta , joka fermioneille (esim. elektroneille) vaatii aaltofunktion antisymmetriaa spinien ja koordinaattien vaihtamisen aikana

{\boldsymbol {\psi }}_{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-{\boldsymbol {\psi }}_{ji}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})

Parahelium vastaa singlettitilaa , jolla on symmetrinen funktio, ja ortoheli on triplettitila , jolla on antisymmetrinen funktio . Jos jätämme huomiotta elektroni-elektroni-vuorovaikutuksen, molemmat spatiaaliset funktiot voidaan kirjoittaa kahden mielivaltaisen (ortogonaalisen ja normalisoidun) yhden elektronin ominaisfunktion lineaarisena yhdistelmänä : tai erikoistapauksessa (molempien elektronien kvanttiluvut ovat samat, paraheliumia varten): . Kokonaisenergia (ominaisarvo ) kaikissa tapauksissa (symmetriasta riippumatta). ${\boldsymbol {\psi }}=\phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\ sigma }}_{0}^{0}$ $\phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\phi _{0}({\vec {r} }_{2},\,{\vec {r}}_{1})$ ${\boldsymbol {\psi }}_{m}=\phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){ \boldsymbol {\sigma }}_{m}^{1},\;m=-1,0,1$ $\phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-\phi _{1}({\vec {r }}_{2},\,{\vec {r}}_{1})$ $\phi _{x},\;x=0,1$ ${\displaystyle \varphi _{a},\varphi _{b))$ $\phi _{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{b} ({\vec {r}}_{2})\pm \varphi _{a}({\vec {r}}_{2})\varphi _{b}({\vec {r}}_{ yksi}))$ ${\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b))$ $\phi _{0}=\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{a}({\vec {r}}_{2})$ $H$ ${\displaystyle E=E_{a}+E_{b))$

Tämä selittää tilan (c ) puuttumisen ortohelille, jolloin (c ) on metastabiilissa tilassa. (Kvanttilukujen tila: pääkvanttiluku , nettospin , kulmakvanttiluku ja kokonaiskulmaliikemäärä on merkitty .) $1^{3}S_{1}$ ${\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}=\varphi _{1s))$ $2^{3}S_{1}$ ${\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{1s},\varphi _{b}=\varphi _{2s))$ $n$ $S$ $L$ $J=|LS|\dots L+S$ $n^{{2S+1}}L_{J}$

Jos otamme huomioon elektroni-elektroni vuorovaikutuksen , niin Schrödingerin yhtälö on erottamaton. Jos kuitenkin jätämme huomiotta kaikki edellä kuvatut tilat (jopa kahdella identtisellä kvanttiluvulla, kuten , ), yleistä aaltofunktiota ei voida kirjoittaa yhden elektronin aaltofunktioiden tulona: - aaltofunktio on kietoutunut . Tässä tapauksessa hiukkasen 1 ei voida sanoa olevan tilassa 1 ja toisen hiukkasen tilassa 2 , eikä mittauksia voida tehdä yhdelle hiukkaselle vaikuttamatta toiseen. ${\displaystyle {\frac {1}{r_{12))))$ $1^{1}S_{0}$ ${\boldsymbol {\psi }}=\varphi _{1s}({\vec {r}}_{1})\varphi _{1s}({\vec {r}}_{2}) {\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}$ $\psi _{ik}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})\neq \chi _{i}({\vec {r }}_{1})\xi _{k}({\vec {r}}_{2})$

Siitä huolimatta melko hyvä teoreettinen kuvaus heliumatomista voidaan saada Hartree-Fockin ja Thomas-Fermin approksimaatioiden puitteissa (katso alla).

Hartree-Fock menetelmä

Hartree-Fock-menetelmää käytetään erilaisissa atomijärjestelmissä. Tämä on kuitenkin vain likimääräinen arvio, ja atomijärjestelmien ratkaisemiseen käytetään tarkempia ja tehokkaampia menetelmiä. Heliumin ja muiden elektronijärjestelmien monikappaleongelma, joissa on pieni määrä elektroneja, voidaan ratkaista melko tarkasti. Esimerkiksi heliumin perustila tunnetaan viiteentoista numeroon asti. Hartree-Fockin teoria olettaa, että elektronit liikkuvat ytimen ja muiden elektronien luomassa potentiaalissa. Tämä Hamiltonin heliumille, jossa on kaksi elektronia, voidaan kirjoittaa kunkin elektronin Hamiltonian summaksi:

H=\sum _{i=1}^{2}h(i)=H_{0}+H^{\prime }

missä häiriötön Hamiltonin on

H_{0}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1}}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2 ))^{2}-{\frac {Z}{r_{1}}}-{\frac {Z}{r_{2}}}

ja raivo:

{\displaystyle H'={\frac {1}{r_{12))))

kuvaa elektroni-elektroni vuorovaikutusta. H 0 on yksinkertaisesti kahden Hamiltonin summa vetyatomille:

H_{0}={\hattu {h}}_{1}+{\hattu {h}}_{2}

missä

{\hat {h}}_{i}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{i}}^{2}-{\frac {Z}{r_{i }}},i=1,2

E n i ja vastaavat ominaisarvot ja normalisoidut ominaisfunktiot. Tällä tavalla $\psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({\vec {r}}_{i})$

{\hat {h}}_{i}\psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({\vec {r_{i}}})=E_{n_{ i}}\psi _{n_{i},l_{i},m_{i}}({\vec {r_{i}}})

missä

E_{n_{i}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {Z^{2}}{n_{i}^{2}}}

Kun elektroni-elektroni hylkiminen jätetään huomiotta, kahden elektronin aaltofunktion spatiaalisen osan Schrödingerin yhtälö pelkistyy häiriintymättömiksi yhtälöiksi

H_{0}\psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=E^{(0)}\psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})

Nämä yhtälöt on irrotettu ja ominaisfunktiot voidaan kirjoittaa erillisiksi vetyaaltofunktioiden tuloiksi:

\psi ^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\psi _{n_{1},l_{1} ,m_{1}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}}_{2} )

Vastaavat energiat (jäljempänä atomiyksikköinä ):

E_{n_{1},n_{2}}^{(0)}=E_{n_{1}}+E_{n_{2}}=-{\frac {Z^{2}}{ 2}}{\Bigg [}{\frac {1}{n_{1}^{2}}}+{\frac {1}{n_{2}^{2}}}{\Bigg ]}

Huomaa, että aaltofunktio

\psi ^{(0)}({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})=\psi _{n_{2},l_{2} ,m_{2}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{2} )

Elektronisten indeksien vaihto vastaa samaa energiaa . Tätä erityistä rappeutumistapausta , joka liittyy elektronisten indeksien korvaamiseen, kutsutaan pörssin degeneraatioksi. Kahden elektronin atomien tarkat spatiaaliset aaltofunktiot ovat symmetrisiä tai antisymmetrisiä koordinaattien ja kahden elektronin permutaatioon nähden . Oikean aaltofunktion tulisi koostua symmetrisistä (+) ja antisymmetrisistä (-) lineaarisista yhdistelmistä: ${\displaystyle E_{n_{1},n_{2}}^{(0)))$ ${\vec {r}}_{1}$ ${\vec {r}}_{2}$

\psi _{\pm }^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {1}{\ sqrt {2}}}[\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{2},l_{ 2},m_{2}}({\vec {r}}_{2})\pm \psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}} _{1})\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{2})]

mikä seuraa Slaterin determinantista .

Kerroin normalisoituu . Saadaksemme tämän aaltofunktion yksittäisen hiukkasen aaltofunktioiden tuotteena, käytämme sitä tosiasiaa, että perustilassa . Sitten se katoaa Paulin periaatteen alkuperäisen muotoilun mukaisesti , jossa kaksi elektronia ei voi olla samassa tilassa. Siten heliumin aaltofunktio voidaan kirjoittaa muodossa ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \psi _{\pm }^{(0)))$ $n_{1}=n_{2}=1,\,l_{1}=l_{2}=0,\,m_{1}=m_{2}=0$ ${\displaystyle \psi _{-}^{(0)))$

\psi _{0}^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\psi _{1}({\ vec {r_{1}}})\psi _{1}({\vec {r_{2}}}})={\frac {Z^{3}}{\pi }}e^{-Z( r_ {1}+r_{2})}

missä ja ovat vetyatomin Hamiltonin aaltofunktiot. [a] Heliumille Z = 2 ja $\psi _{1}$ $\psi _{2}$

E_{0}^{(0)}=E_{n_{1}=1,\,n_{2}=1}^{(0)}=-Z^{2}{\text{ au }}

jossa E = −4 AU. eli joka on noin −108,8 eV, mikä vastaa ionisaatiopotentiaalia V = 2 a. e. (≅54,4 eV). Koearvot E = -2,90 a.u. e. (≅ -79,0 eV) ja V = 0,90 a.u. e. (≅ 24,6 eV). ${\näyttötyyli _{0}^{(0)))$ ${\displaystyle _{P}^{(0)))$ ${\näyttötyyli _{0}}$ ${\näyttötyyli _{p}}$

Saamamme energia on liian alhainen, koska elektronien välinen repulsio on jätetty huomiotta, mikä johtaa energiatason nousuun. Kun Z kasvaa, lähestymistapamme pitäisi antaa parempia tuloksia, koska elektroni-elektroni hylkiminen pienenee.

Tähän asti on käytetty hyvin karkeaa riippumattomien hiukkasten approksimaatiota, jossa elektroni-elektroni hylkiminen on täysin suljettu pois. Alla näkyvän Hamiltonin jakaminen parantaa tulosta:

H={\bar {H_{0))}+{\bar {H'))

missä

{\bar {H_{0}}}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1}}^{2}+V(r_{1})-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2}}^{2}+V(r_{2})

V(r)=-{\frac {ZS}{r}}=-{\frac {Z_{e}}{r}}

V(r) on keskuspotentiaali, joka valitaan siten, että häiriövaikutus on pieni. Kunkin elektronin päävaikutus toisen liikkeeseen on seuloa osittain ydinvarauksen, joten V(r):lle voimme ottaa ${\bar {H'))$

V(r)=-{\frac {ZS}{r}}=-{\frac {Z_{e}}{r}}

missä S on seulontavakio ja Z e on tehollinen varaus. Potentiaali vastaa Coulombin vuorovaikutusta, joten yksittäisten elektronien energiat (a.u.) kirjoitetaan seuraavasti

E_{0}=-(ZS)^{2}=-Z_{e}^{2}

ja vastaava aaltofunktio on annettu kaavalla

\psi _{0}(r_{1}\,r_{2})={\frac {Z_{e}^{3}}{\pi }}e^{-Z_{e}(r_ {1}+r_{2})}

Jos Z e on 1,70, mikä lisää perustilan energiaa, saadaan arvo, joka on yhdenmukainen heliumatomin perustilan energian kokeellisen arvon E 0 = −2,903 au kanssa. Koska Z = 2, tässä tapauksessa seulontavakio S = 0,30. Heliumatomin perustilassa keskimääräisessä seulonta-approksimaatiossa kunkin elektronin suojausvaikutus toisen liikkeeseen vastaa 1/3 elektronin varauksesta. [neljä]

Variational Method

Для большей точности в вычислении энергии удобен вариационный принцип для учёта электрон- элелергип для учёта электрон-элелектрон

\psi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})={\frac {8}{\pi a^{3 }}}e^{-2(r_{1}+r_{2})/a}

\langle H\rangle =8E_{1}+\langle V_{ee}\rangle =8E_{1}+{\Bigg (}{\frac {e^{2)){4\pi \epsilon _ {0}}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {8}{\pi a^{3}}}{\Bigg )}^{2}\int {\frac {e^{- 4(r_{1}+r_{2})/a}}{|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|}}\,d^{3}{ \vec {r}}_{1}\,d^{3}{\vec {r}}_{2}

Integroinnin jälkeen saamme:

\langle H\rangle =8E_{1}+{\frac {5}{4a}}{\Bigg (}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}} }{\Bigg )}=8E_{1}-{\frac {5}{2}}E_{1}=-109+34=-75{\text{ eV}}

Tämä arvo on lähempänä kokeellista arvoa, mutta jos käytetään parempaa koefunktiota, likiarvoa voidaan parantaa. Ihanteellinen koefunktio ottaa huomioon toisen elektronin vaikutuksen. Toisin sanoen jokainen elektroni on negatiivisen varauksen pilvi, joka osittain suojaa ydinvarausta, ja siten elektroni liikkuu tehokkaassa potentiaalissa ydinvarauksella Z alle kaksi. Tämä havainto huomioon ottaen aaltofunktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {Z^{3}}{\pi a^{3}} }e^{-Z(r_{1}+r_{2})/a}

Z:n käyttäminen variaatioparametrina H:n minimoimiseksi. Tämän funktion Hamiltonin saadaan seuraavasti:

\langle H\rangle =2Z^{2}E_{1}+2(Z-2){\Bigg (}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0} }}{\Bigg )}\langle {\frac {1}{r}}\rangle +\langle V_{ee}\rangle

Laskemalla keskiarvot ja V ee , Hamiltonin pelkistetään muotoon: ${\frac {1}{r))$

\langle H\rangle =[-2Z^{2}+{\frac {27}{4}}Z]E_{1}

Minimoimalla keskimääräisen energian Z:n yli, löydämme:

{\frac {d}{dZ}}{\Bigg (}[-2Z^{2}+{\frac {27}{4}}Z]E_{1}{\Bigg )}=0

Z={\frac {27}{16}}\sim 1.69

Tämä osoittaa, että toinen elektroni suojaa osittain ytimen varausta vähentäen sen arvosta 2 arvoon 1,69. Tässä tapauksessa tulos on tarkempi.

{\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {3}{2}}{\Bigg )}^{6}E_{1}=-77,5{\text{ eV} }

Missä E1 edustaa vetyatomin ionisaatioenergiaa.

Voit käyttää seuraavaa kaavaa sovittaaksesi paremmin kokeeseen

-{\frac {49}{17}}\cdot (1+\alpha )=-2.903386486{\text{ au}}=-79.005153{\text{ eV}}

missä on hienorakennevakio . $\alpha$

Monimutkaisempia ja tarkempia variaatiofunktioita käyttämällä heliumatomin perustila voidaan laskea tarkemmin ja se lähestyy kokeellista arvoa -78,95 eV. [5] GWF Drake [6] [7] [8] ja JD Morgan III, Jonathan Baker ja Robert Hill [9] [10] [11] ovat käyttäneet variaatiolähestymistapaa laskeakseen tämän järjestelmän suurella tarkkuudella käyttäen uazisia. Hylleraasin tai Frankowski-Pekerisin ehdottamia toimintoja. On huomattava, että spektroskooppisen datan tarkkuuden lisäämiseksi on otettava huomioon relativismin ja kvanttielektrodynamiikan vaikutukset . [12] [13]

Ionisaatioenergian kokeellinen arvo

Heliumin ensimmäinen ionisaatioenergia: −24,587387936(25) eV. [14] Tämä arvo saatiin kokeellisesti. [15] heliumin sekundaariionisaation teoreettinen arvo: −54.41776311(2) eV. Heliumatomin perustilan kokonaisenergia: −79.005151042(40) eV tai −2.90338583(13) a. e.

Muistiinpanot

↑ Kun n = 1, l = 0 ja m = 0, vetyatomin pallosymmetrinen aaltofunktio on . [3] atomiyksiköissä Bohrin säde on yhtä suuri kuin 1 ja aaltofunktiot ovat muotoa . $\psi _{(}r)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\oikea)^{\frac {3}{2}}\ e^{-{\textstyle {\frac {Zr}{a_{0}}}}}\;$ ${\näyttötyyli {a_{0))}$ $\psi _{(}r)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}Z^{\frac {3}{2}}\ e^{-{\textstyle Zr}} \;$

Muistiinpanot

↑ P. Rennert, H. Schmiedel, C. Weißmantel. "Kleine Enzyklopädie Physik", VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1988, 192-194.
↑ L.D. Landau, E.M. Lifschitz. Lehrbuch der Theoretischen Physik, Bd. III (Quantenmechanik), Akademie-Verlag, Berliini 1971, Cap. IX, s. 218
↑ Vedyn aaltofunktiot . hyperfysiikka . Arkistoitu alkuperäisestä 1. helmikuuta 2014. (määrätön)
↑ BH Bransden ja CJ Joachain's Physics of Atoms and Molecules , 2. painos Pearson Education, Inc.
↑ David I. Griffiths Introduction to Quantum Mechanics Toinen painos vuosi 2005 Pearson Education, Inc.
↑ GWF Drake ja Zong-Chao Van (1994). "Heliumin S-tilojen vaihteluominaisarvot", Chem. Phys. Lett. 229 486-490. [1] (linkki ei saatavilla)
↑ Zong-Chao Yan ja GWF Drake (1995). "Hienorakenteen halkeamien korkean tarkkuuden laskenta heliumissa ja he-kaltaisissa ioneissa", Phys. Rev. Lett. 74 , 4791-4794. [2]
↑ GWF Drake, (1999). "Atomien heliumin korkean tarkkuuden teoria", Phys. Scr. T83 , 83-92. [3]
↑ JD Baker, RN Hill ja JD Morgan III (1989), "High Precision Calculation of Helium Atom Energy Levels", julkaisussa AIP Conference Proceedings 189 , Relativistic, Quantum Electrodynamic and Weak Interaction Effects in Atoms (AIP, New York),123
↑ Jonathan D. Baker, David E. Freund, Robert Nyden Hill ja John D. Morgan III (1990). "1/Z-laajennuksen konvergenssisäde ja analyyttinen käyttäytyminen", Physical Review A 41 , 1247. [4] Arkistoitu alkuperäisestä 14. heinäkuuta 2012.
↑ Scott, T.C.; Luchow, A.; Bressanini, D.; Morgan, J.D. III. Heliumatomin ominaisfunktioiden solmupinnat // Phys . Rev. A : päiväkirja. - 2007. - Voi. 75 , no. 6 . — P. 060101 . - doi : 10.1103/PhysRevA.75.060101 . - .
↑ GWF Drake ja Z.-C. Yan (1992), Phys. Rev. A46,2378-2409 . _ [5] Arkistoitu alkuperäisestä 22. heinäkuuta 2012. .
↑ GWF Drake (2006). Springer Handbook of Atomic, Molecular and Optical Physics, toimittanut GWF Drake (Springer, New York), 199-219. [6] Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ NIST Atomic Spectra Database -ionisaatioenergiatiedot . Gaithersburg, MD: NIST . Haettu 1. helmikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 9. marraskuuta 2017. (määrätön)
↑ DZ Kandula, C. Gohle, TJ Pinkert, W. Ubachs ja KSE Eikema. Extreme Ultraviolet Frequency Comb Metrology // Phys . Rev. Lett. : päiväkirja. - 2010. - Vol. 105 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.105.063001 . - . - arXiv : 1004.5110 .