Loputon työ

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. helmikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Matematiikassa lukusarjalle ääretön tulo [ 1 ] $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots

määritellään osittaisten tuotteiden rajaksi . Tuloa kutsutaan konvergentiksi , kun raja on olemassa ja se on nollasta poikkeava. Muussa tapauksessa tuotetta kutsutaan divergentiksi . Tapausta, jossa raja on nolla, tarkastellaan erikseen, jotta saadaan samanlaiset tulokset kuin äärettömille summille . ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n))$ $n\to\infty$

Jos kaikki luvut ovat positiivisia, voidaan käyttää logaritmitoimintoa. Sitten äärettömän tuotteen konvergenssin tutkimus pelkistetään lukusarjan konvergenssin tutkimukseksi . $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Lähentyminen

Jos tulo konvergoi, niin raja-yhtälön tulee täyttyä . Siksi logaritmi määritellään kaikille paitsi rajalliselle määrälle arvoja, joiden läsnäolo ei vaikuta konvergenssiin. Eliminoimalla tämä äärellinen määrä termejä sekvenssistä, saadaan yhtäläisyys: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=1$ $\ln a_{n}$ $n$ $\{a_{n}\}$

\ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},

jossa äärettömän summan konvergenssi oikealla puolella vastaa äärettömän tulon konvergenssia vasemmalla. Tämä mahdollistaa sen, että äärettömien summien konvergenssikriteeri voidaan muotoilla uudelleen äärettömien tulojen konvergenssikriteeriksi. Tuotteille, joissa mille tahansa , merkitsemme , sitten ja , josta seuraa epäyhtälö: $n$ $a_{n}\geqslant 1$ $p_{n}=a_{n}-1$ $a_{n}=p_{n}+1$ $p_{n}\geqslant 0$

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \ exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

joka osoittaa, että ääretön tulo konvergoi jos ja vain jos ääretön summa konvergoi . ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n))$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n))$

Esimerkkejä

Merkittäviä esimerkkejä äärettömistä tuloista, luvun $\pi$ kaavoista , jotka ovat löytäneet François Viet ja John Wallis :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{ 2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{2}}\cdots

;

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\ cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot { \frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\oikea )

Eulerin identiteetti zeta-funktiolle

\zeta (x)={\frac {1}{1-2^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-x}}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1 -p^{-x}}}

jossa tulo on otettu kaikkiin alkulukuihin . Tämä tuote konvergoi . $\displaystyle s$ $x>1$

Toiminnon esittäminen äärettömänä tuotteena

Monimutkaisessa analyysissä tiedetään, että sini ja kosini voidaan hajottaa polynomien äärettömäksi tuloksi

\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\oikea )

\cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\ oikein)

Nämä laajennukset ovat seurausta yleisestä lauseesta, jonka mukaan mikä tahansa kokonainen funktio , jossa on enintään laskettava määrä nollia ja jossa piste 0 on kertaluvun nolla , voidaan esittää muodon äärettömänä tulona. $f$ $\{0\}\kuppi \{a_{n}\}\to \infty$ $\lambda$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\oikea )^{2}+\pisteet +{\frac {1}{p_{n}}}\vasen({\frac {z}{a_{n}}}\oikea)^{{p_{n}}} \oikea)$ ,

jossa on jokin kokonainen funktio, ja ei-negatiiviset kokonaisluvut valitaan siten, että sarja konvergoi. Kohdassa , kertojaa vastaava eksponentiaalinen luku jätetään pois (sen katsotaan olevan yhtä suuri kuin ). $h$ $p_n$ $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\oikea)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=0$ $n$ $\exp(0)=1$

Muistiinpanot

↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - M .: Nauka, 1970. - T. 2. - S. 350-364.

Linkit

Wolfram Math Worldin äärettömät tuotteet