Sarja (matematiikka)

Sarja , jota kutsutaan myös äärettömäksi summaksi , on yksi matemaattisen analyysin keskeisistä käsitteistä . Yksinkertaisimmassa tapauksessa sarja kirjoitetaan äärettömänä lukujen summana [1] :

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Lyhyt huomautus: (joskus termien numerointi ei ala 1:stä, vaan 0:sta)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}

Tässä on sarja reaali- tai kompleksilukuja ; näitä lukuja kutsutaan sarjan termeiksi . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$

Jos haluat määrittää summan arvon lukusarjalle, harkitse " osittaissummien " sekvenssiä, joka saadaan päättymään äärettömän summan johonkin termiin:

S_{1}=a_{1}

{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2))

{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3))

\cdots

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\pisteet +a_{n))

\cdots

Jos osittaisten summien sekvenssillä on raja (äärellinen tai ääretön), he sanovat, että sarjan summa on sama kuin Samanaikaisesti, jos raja on äärellinen, he sanovat, että sarja konvergoi . Jos rajaa ei ole olemassa tai se on ääretön, sarjan sanotaan hajoavan [1] . $S$ $S.$

Selventämään analyysin keskeistä kysymystä, konvergoiko tietty sarja vai ei, on ehdotettu useita lähentymiskriteerejä .

Numeerisia sarjoja ja niiden yleistyksiä (ks . alla ei-numeerisista sarjoista ) käytetään kaikkialla matemaattisessa analyysissä laskelmissa, eri funktioiden käyttäytymisen analysoinnissa, algebrallisten tai differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa . Funktion laajentamista sarjaan voidaan pitää yleistyksenä vektorin määrittämisestä koordinaateilla , tämä operaatio mahdollistaa monimutkaisen funktion tutkimuksen pelkistämisen perusfunktioiden analysointiin ja helpottaa numeerisia laskelmia [2] . Sarjat ovat välttämätön tutkimusväline paitsi matematiikan, myös fysiikan, tähtitieteen, tietojenkäsittelytieteen, tilastotieteen, taloustieteen ja muiden tieteiden aloilla.

Numerosarja

Esimerkkejä

Yksinkertaisin esimerkki suppenevasta sarjasta on äärettömän geometrisen progression [3] ehtojen summa nimittäjällä : $|q|<1$

a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\dots

Osasumma Tämän lausekkeen raja on äärettömän geometrisen progression summa [1] . Esimerkiksi kun saat sarjan, jonka summa on 2: $S_{n}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q)),$ $a=1,q={\frac {1}{2))$

2=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\pisteet

Desimaali , jolla on ääretön murto-osa, voidaan ajatella sarjan summana [3] ; esimerkiksi luku on seuraavan sarjan summa: $\pi =3{,}1415926\dots$

3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+ {\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\pisteet

Monimutkaisempi esimerkki on sarja käänteisiä neliöitä , joiden summaa Euroopan parhaat matemaatikot eivät ole löytäneet yli 100 vuoteen [4] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Sarja hajoaa, sen summa on ääretön. Harmoninen sarja myös hajoaa : " Grundyn sarja " hajoaa , sen osasummat vaihtelevat välillä 1-0, joten osasummille ei ole rajaa, tässä sarjassa ei ole summaa [5] . ${\näyttötyyli 1+1+1+\pisteet }$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))={\infty }.$ ${\näyttötyyli 1-1+1-1+1-1\pisteet }$

Luokitus

Positiivinen sarja [6] on reaalisarja, jonka kaikki ehdot ovat ei-negatiivisia. Positiivisille sarjoille summa on aina olemassa, mutta se voi olla ääretön [7] .

Vaihtoehtoinen sarja on todellinen sarja, jossa termien merkit vuorottelevat: plus, miinus, plus, miinus jne. Tällaisille sarjoille on olemassa yksinkertainen Leibnizin konvergenssitesti . Yllä olevan harmonisen sarjan vuorotteleva versio , toisin kuin jälkimmäinen, konvergoi [8] :

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)

Absoluuttinen ja ehdollinen konvergenssi

Sanotaan, että reaali- tai kompleksisarja konvergoi absoluuttisesti , jos sen jäsenten moduulien sarja ( absoluuttiset arvot ) konvergoi [8] :

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|

Täysin konvergentti sarja konvergoi myös tämän käsitteen tavanomaisessa merkityksessä. Samanaikaisesti kaikilla sellaisilla sarjoilla on tärkeä syrjäyttämisominaisuus: absoluuttisesti suppenevan sarjan termien millä tahansa permutaatiolla saadaan konvergenttisarja, jolla on sama summa [9] . Erityisesti positiivisille suppeneville sarjoille voit järjestää sarjan ehdot uudelleen millään tavalla, tämä ei vaikuta konvergenssiin ja summaan [10] .

Jos lukusarja suppenee, mutta ei absoluuttisesti, sen sanotaan olevan ehdollisesti konvergentti . Esimerkki:

1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dots

Sarja itsessään suppenee, mutta sen absoluuttisten arvojen sarja ( harmoninen sarja ) hajoaa [8] .

Ehdollisesti konvergenttien sarjojen ominaisuudet [8] .

Jos sarja konvergoi ehdollisesti , niin sekä sen positiivisten ehtojen sarja että negatiivisten ehtojen sarja eroavat.
- Seuraus (absoluuttisen konvergenssin kriteeri): reaalilukujen sarja konvergoi ehdottomasti silloin ja vain, jos sekä sen positiivisten termien sarja että negatiivisten termien sarja konvergoivat.
( Riemannin lause ): Järjestämällä ehdollisesti konvergentin sarjan ehdot uudelleen voidaan saada sarja millä tahansa reaalisummalla.

Toiminnot riveillä

Olkoon suppeneva sarja ja annetaan . Sitten: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Niiden summaa kutsutaan erosarjaksi - sarjaksi $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n}),$ $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n}).$

Jos molemmat sarjat suppenevat ja vastaavasti, niin myös niiden summa ja erotus konvergoivat. Konvergenttien ja divergenttien summa eroaa aina [11] :

S_{1}

S_{2}

\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=S_{1}+S_{2};\quad \sum _{n=1}^{ \infty }(a_{n}-b_{n})=S_{1}-S_{2}

, Jos molemmat sarjat konvergoivat absoluuttisesti, niin myös näiden sarjojen summa ja ero konvergoivat absoluuttisesti [12] .

Heidän Cauchy -tuotteensa on sarja, jossa: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n))$

c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\pisteet +(a_{1}b_ {n}+a_{2}b_{n-1}+\pisteet +a_{n}b_{1})

Jos ainakin yksi alkuperäisistä sarjoista suppenee absoluuttisesti, niin sarjan tulo konvergoi [13] .

Tarvittava kriteeri lukusarjan konvergenssille

Sarja voi lähentyä vain, jos termi (sarjan yhteinen termi) pyrkii nollaan sen numeron kasvaessa [14] : ${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots$ ${\näyttötyyli {a}_{n))$

\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=0.

Tämä on välttämätön merkki sarjojen lähentymisestä , mutta se ei riitä - esimerkiksi harmoniselle sarjalle yhteinen termi pienenee määräämättömästi lukumäärän kasvaessa, sarja kuitenkin hajoaa. Jos sarjan yhteinen termi ei pyri nollaan, sarja varmasti poikkeaa [14] .

Konvergenttisarja

Omaisuus 1. Jos sarja

\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a }_{4}+\ldots

(1.1)

suppenee ja sen summa on , niin sarja $S$

\sum _{n=1}^{\infty }c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3 }+c{a}_{4}+\ldots

(1.2)

jossa on mielivaltainen luku, myös konvergoi ja sen summa on . Jos sarja (1.1) hajoaa ja , niin sarja (1.2) hajoaa. $c$ $cS$ $c\neq 0$

Omaisuus 2 ( assosiaatiolaki ). Konvergenttisarjassa voit mielivaltaisesti yhdistää naapurijäseniä ryhmiksi rikkomatta niiden järjestystä [15] .

Tällä ominaisuudella voidaan todistaa sarjan divergentti: jos määritellyn ryhmittelyn jälkeen saadaan divergentti sarja, niin myös alkuperäinen sarja hajoaa.

Ratkaisemattomat ongelmat

Vielä ei tiedetä, lähentyykö Flint Hills -sarja [16 ] :

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operaattorinimi {cosec} ^{2}(n)}{n^{3))))

Jos on mahdollista todistaa, että tämä sarja konvergoi, niin seurauksena tulee tärkeä tosiasia: luvun irrationaalisuuden mitta on $\pi$ pienempi kuin 2,5.

Tiedetään, että käänteisneliöiden sarjan ja muiden sarjojen summat, joilla on käänteisparillinen potenssi, ilmaistaan luvun potenssien avulla , mutta käänteiskuutioiden summasta (" $\pi ,$ Aperin vakio ") tiedetään vain vähän :

{\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\ frac {1}{4^{3}}}+\pisteet \noin 1{,}2020569

Kukaan ei ole vielä kyennyt yhdistämään tätä arvoa klassisiin vakioihin tai alkeisfunktioihin [17] .

Sarja, jossa on ei-numeerisia jäseniä

Äärettömän sarjan käsite ja sen summa voidaan ottaa käyttöön paitsi luvuille, myös muille matemaattisille objekteille , joille on määritelty yhteenlasku ja läheisyyskäsite, mikä mahdollistaa rajan määrittämisen. Esimerkiksi funktiosarjoja käytetään laajasti analyysissä : tehosarja , Fourier-sarja , Laurent-sarja . Sarjan jäsenet voivat olla myös vektoreita , matriiseja jne.

Yleinen määritelmä

Sarja (tai ääretön summa ) matematiikassa on jonkin topologisen vektoriavaruuden elementtien ( tietyn sarjan jäsenten ) jono , jota tarkastellaan yhdessä sarjan jäsenten osasummien joukon kanssa (osasummat määritellään samassa tavalla kuin numeerisissa sarjoissa). Jos osittaissummien sarjalle on määritelty raja : niin arvoa kutsutaan annetun sarjan summaksi ja itse sarjaa konvergentiksi (muuten divergentiksi ) [18] . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ $S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},$ $S$

Sarjoja voidaan aina lisätä tai vähentää termiltä, ja myös suppenevien sarjojen summa ja erotus konvergoivat. Jos sarjan ehdot on otettu renkaasta tai kentästä , niin sarjat itse muodostavat renkaan summauksen ja Cauchyn tulon suhteen .

Funktionaalinen sarja

Määritelmä ja ominaisuudet

Sarjaa kutsutaan funktionaaliseksi , jos kaikki sen jäsenet ovat jossain joukossa määriteltyjä funktioita :

a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad

lyhyt huomautus:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)

Osasummat ovat tässä tapauksessa myös samassa joukossa määriteltyjä funktioita. Sarjaa kutsutaan konvergentiksi joukossa, jos jollekin kiinteälle luvulle sarja konvergoi [2] : $X$ $x_{0}\in X$

a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+ \ldots

Joukkoa kutsutaan sarjan konvergenssialueeksi . Sarjan summa on tietysti myös funktio $X$ $x.$

Esimerkki on rationaalisen murtoluvun sarjalaajennus:

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Tämä sarja suppenee välissä . $(-1;\;1)$

Toiminnallisten sarjojen päätyypeistä:

tehosarja (erityisesti Taylor-sarja );
trigonometrinen sarja ; erityisesti Fourier-sarja ;
Laurentin rivit .

Yllä määritellyn "pistekohtaisen" konvergenssin lisäksi eri tiloissa voidaan käyttää muitakin läheisyysnormeja , joista osasummarajan olemassaolo riippuu. Voidaan esimerkiksi määritellä "Tšebyševin normi" [19] .

Tasainen konvergenssi

Yleisesti ottaen summan ominaisuudet voivat poiketa sarjan ehtojen ominaisuuksista – esimerkiksi jatkuvien funktioiden sarjan summa ei välttämättä ole jatkuva [20] .

Joukkoon konvergoivan funktionaalisen sarjan sanotaan suppenevan tasaisesti (tässä joukossa) [21] , jos sarjan osasummien sekvenssi konvergoi tasaisesti . $X$ $X$

On useita merkkejä, jotka mahdollistavat sarjan yhtenäisen konvergenssin todentamisen [21] :

Sarjan tasaisen konvergenssin käsitteen tärkeyttä osoittavat seuraavat lauseet (kaikkien funktioiden oletetaan olevan todellisia).

Jossain pisteessä jatkuvien funktioiden sarjan summa on itse jatkuva siinä pisteessä, edellyttäen, että funktionaalinen sarja konvergoi pisteessä tasaisesti. Erityisesti segmentillä jatkuvien todellisten funktioiden tasaisesti konvergenttien sarjan summa on jatkuva myös tällä segmentillä [22] . $x_{0}$ $x_{0}$ ${\näyttötyyli [a,b],}$
Jos funktiot ovat jatkuvasti differentioitavissa intervalleilla ja molemmilla sarjoilla: $f_{n}(x)$ $[a,b]$

f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\pisteet

{\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{ dx}}+\pisteet

suppenevat , ja derivaattojen sarja konvergoi tasaisesti, silloin sarjan summalla on derivaatta, ja sarja voidaan erottaa termeiltä [23] :

[a,b]

{\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots )={\frac {df_{1} (x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\pisteet

Jos funktiot ovat jatkuvia intervalleilla ja sarja konvergoi tasaisesti funktioon, niin sarja voidaan integroida termi kerrallaan [24] : $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\pisteet$ $[a,b]$ $F(x),$

\int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{f_{n }}(x)dx

Tasainen konvergenssiehto takaa, että oikeanpuoleiset sarjat suppenevat.

Jos funktiot ovat Riemannin integroitavissa segmentissä ja sarja konvergoi tasaisesti funktioon, niin sarjan summa on myös Riemannin integroitavissa [24] . $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\pisteet$ $[a,b]$ $F(x),$

Esimerkki epätasaisesti suppenevasta potenssisarjasta on geometrinen progressio . Intervallissa se konvergoi funktioon, mutta ei tasaisesti (mitä osoittaa summan ääretön hyppy lähestyessä 1:tä) [25] . ${\näyttötyyli 1+x+x^{2}+x^{3}+\pisteet }$ ${\näyttötyyli [0,1)}$ ${\frac {1}{1-x)),$

Matriisisarja

Kiinteän järjestyksen numeeristen neliömatriisien renkaassa tarkoitamme matriisin naapurustoa matriisijoukkoa , jonka kaikki komponentit eroavat vähemmän kuinkomponenteistavastaavista on vastaavan sekvenssin raja $n$ $\varepsilon$ $A$ $A$ $\varepsilon.$ $L$ $A_{1},A_{2},A_{3}\dots$ ${\displaystyle L_{ik))$ $A_{ik}.$

Nyt on mahdollista määritellä yleisillä säännöillä numeeristen matriisien sarjat, sarjan konvergenssin käsite (mukaan lukien absoluuttinen konvergenssi) ja suppenevan sarjan summa. Toisin sanoen järjestysmatriisien sarja konvergoi, jos sen komponenttien sarjat konvergoivat, ja summa on matriisi, joka sisältää näiden sarjojen vastaavat rajat [26] . $n$ $n^{2}$

Matriisien potenssisarja on muotoa [26] :

a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+a_{3}X^{3}+\pisteet ,

missä ovat annetut numeeriset kertoimet, on identiteettimatriisi , on tuntemattomien matriisi. Tämä sarja vastaa numeeristen sarjojen järjestelmää. Sen konvergenssin arvioimiseksi muodostamme tavanomaisen kompleksilukujen potenssisarjan: $a_{0},a_{1},\dots$ $minä$ $X$ $n^{2}$

a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\pisteet

Olkoon tämän sarjan konvergenssisäde Sitten seuraavat lauseet ovat tosia [26] : $R.$

Matriisin potenssisarja konvergoi ehdottomasti kaikille nollamatriisin läheisyydessä sijaitseville matriiseille , joissa $\varepsilon$ $\varepsilon =R/n.$
Jos matriisin potenssisarja konvergoi alueella, jossa on positiivisten komponenttien matriisi ja on tuntemattomien modulien matriisi , niin se konvergoi ehdottomasti tällä alueella. $|X|<P,$ $P$ $|X|$

Esimerkki potenssisarjasta matriiseista , katso Matriisieksponentti . Sarjojen avulla voidaan määritellä vakiofunktioita neliömatriiseille (esim. sini ).

Muunnelmia ja yleistyksiä

Sarjan käsitteen yleistys on käsite kaksoissarjasta , jonka jäseniä ei numeroida yhdellä, vaan kahdella indeksillä [27] .

Yleistys sarjan summan käsitteelle on sarjan summausfunktion käsite , jonka valinta tekee divergentin (klassisessa merkityksessä) sarjan summan käsitteen hyväksyttäväksi. Tällaisesta yleistyksestä on ehdotettu monia muunnelmia: Poisson-Abel -konvergenssi , Borel , Cesaro , Euler , Lambert ja muut [28] .

Historia

Muinainen aika

Muinaiset matemaatikot hylkäsivät Pythagoraan ideologian mukaisesti kaikki todellisuudessa äärettömät käsitteet, mukaan lukien äärettömät sarjat. Sarjakonseptilla on kuitenkin ollut joitain rajoitettuja sovelluksia. Esimerkiksi Arkhimedes paraabelin segmentin alueen laskemiseksi löysi itse asiassa äärettömän geometrisen progression summan [29] :

1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+ \cdots ={4 \over 3}

Van der Waerden kirjoittaa tästä: "Arkhimedes ei puhu äärettömästi pienenevän geometrisen progression summasta, hän ei vielä tunne ilmaisua" äärettömän sarjan summa", mutta hän omistaa täydellisesti tämän käsitteen olemuksen." Useissa Arkhimedesen ratkaisemissa ongelmissa pinta-alan tai tilavuuden laskemiseksi hän käyttää nykyaikaisessa terminologiassa ylä- ja alaintegraalisummia , joissa on rajoittamaton määrä termejä. Rajan käsitteen puuttumisen vuoksi tuloksen perustelemiseen käytettiin raskasta tyhjennysmenetelmää [29] .

Kerala School

Intialaiset matemaatikot , joita Pythagoraan rajoitukset eivät sido, kehittivät merkittävästi sarjateoriaa ja sovelsivat sitä menestyksekkäästi. Keralan tähtitieteen ja matematiikan koulu (Etelä-Intia) saavutti suurimman menestyksen 1400-1500-luvuilla . Tähtitieteellisiä laskelmia varten keralalaiset pystyivät ensimmäistä kertaa historiassa löytämään trigonometristen ja muiden funktioiden laajentumisen äärettömiksi sarjoiksi:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Heillä ei kuitenkaan ollut yleistä teoriaa tällaisista laajennuksista; näiden kaavojen saamiseksi ympyrän kaari korjattiin [30] [31] . Euroopassa samankaltaisen arktangentin sarjan julkaisi ensimmäisen kerran James Gregory vuonna 1671 ja sinistä ja kosinisarjan Isaac Newton vuonna 1666.

Arkkitangentin sarjasta Keralas sai hyvän likiarvon numerolle $\pi$ : $3{,}141592653.$

Euroopassa Keralan koulun saavutukset jäivät tuntemattomiksi pitkään ja löydettiin uudelleen itsenäisesti.

1600-luku

Noin 1600-luvulle asti ääretön sarja esiintyi harvoin eurooppalaisten matemaatikoiden kirjoituksissa. Mainitsemisen arvoinen on 1300-luvun englantilaisen matemaatikon Richard Swainsheadin teos , joka tiivisti sarjan [32] :

{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\ frac {4}{2^{4}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...=2.

1600-luvulla äärettömät sarjat ovat jo yleisen edun mukaisia, ja niitä aletaan käyttää monien käytännön ongelmien ratkaisemisessa - likimääräiset laskelmat , interpolointi , logaritmien teoria jne.

Vuonna 1647 Grégoire de Saint-Vincent löysi logaritmin ja hyperbelin alla olevan alueen välisen yhteyden (katso kuva). Vuonna 1650 italialainen matemaatikko Pietro Mengoli julkaisi geometristen näkökohtien perusteella tutkielmassa " Uudet aritmeettiset kvadratuurit " laajennuksen äärettömäksi sarjaksi [33] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots

Mengoli tutki myös muita sarjoja ja osoitti, että harmoniset sarjat poikkeavat toisistaan; Mengoli osoitti myös, että käänteinen neliösarja konvergoi, vaikka hän ei löytänyt sen summaa [33] .

Vuonna 1668 Lontoossa asunut saksalainen matemaatikko Nicholas Mercator (Kaufmann) käsitteli tutkielmassa " Logaritmotechnia " ensimmäistä kertaa laajentamista sarjaksi, jossa ei ole lukuja, vaan funktioita, mikä loi pohjan potenssisarjojen teorialle. [33] :

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots

Matemaattisen analyysin luojat Isaac Newton ja Gottfried Wilhelm Leibniz käyttivät universaalina työkaluna funktioiden ja numeeristen laskelmien tutkimiseen . 1600-luvun puolivälissä Newton ja Gregory löysivät binomiaalilaajennuksen mille tahansa, ei vain kokonaislukueksponentille (julkaistiin ensimmäisen kerran Wallisin Algebrassa , 1685): $\alpha$

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...

Sarja konvergoi klo Tämän kaavan avulla Newton pystyi ensimmäistä kertaa laskemaan ellipsin kaaren sarjana (nykyaikaisessa terminologiassa hän laski elliptisen integraalin ) [34] . Newton osoitti myös, kuinka sarjoja käytetään ratkaisemaan yhtälöitä, mukaan lukien ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt , ja tutkimaan integraaleja, joita ei ilmaista alkeisfunktioina [35] . $|z|\leqslant 1.$

1600-luvun loppuun mennessä tunnettiin laajennukset kaikkien perustoimintojen sarjoiksi . Leibniz ja Gregory löysivät (1674) Euroopan ensimmäisen luvun laajennuksen ( $\pi$ Leibniz -sarja ):

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+ {\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots

Vuosisadan vaihteessa (1689-1704) Leibnizin oppilas Jacob Bernoulli julkaisi ensimmäisen viiden osaisen monografian otsikolla Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ( Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ). Hän osoitti sarjojen käytön monenlaisten ongelmien ratkaisemiseen.

XVIII-XIX vuosisatoja

Vuonna 1715 Brooke Taylor julkaisi perustavanlaatuisen Taylor-sarjan (jotka olivat kuitenkin Gregoryn ja Newtonin tuttuja).

Leonhard Euler teki valtavan panoksen sarjateoriaan . Hän löysi ensimmäisenä käänteisneliöiden sarjan summan , kehitti menetelmiä sarjojen lähentymisen parantamiseksi, aloitti trigonometristen sarjojen tutkimuksen , ehdotti divergentteihin sarjoihin sopivan sarjan yleistetyn summan käsitettä. Itse " analyyttisen funktion " käsite liittyi mahdollisuuteen esittää se potenssisarjan muodossa.

1800-luvulla Cauchy ja Weierstrass rakensivat tarkan perustan analyysille ja erityisesti tiukkaan sarjateorialle. Tärkeä yhtenäisen konvergenssin käsite otettiin käyttöön ja muotoiltiin erilaisia lähentymiskriteerejä.

Trigonometristen sarjojen teoria kehittyi nopeasti . Daniil Bernoulli ilmaisi myös uskomuksen, että mikä tahansa (jatkuva) funktio tietyllä aikavälillä voidaan esittää trigonometrisellä sarjalla [36] . Keskustelu tästä aiheesta jatkui vuoteen 1807, jolloin Fourier julkaisi teorian mielivaltaisten palakohtaisten analyyttisten funktioiden esittämisestä trigonometrisilla sarjoilla (lopullinen versio on hänen teoksessaan Analytical Theory of Heat, 1822) [37] . Laajentaakseen funktiota Fourier- sarjassa hän antoi integraalikaavat kertoimien laskemiseen [37] . Fourier'n esitys ei ollut tiukka nykyisessä mielessä, mutta sisälsi jo tutkimuksen useimpien hänen saamiensa sarjojen lähentymisestä . $f(x)$ $f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})$

Samaan aikaan monimutkaisen analyysin sarjoja , mukaan lukien Laurent-sarjat , kehitettiin ja käytettiin laajalti 1800-luvulla . Sarjojen käyttö luonnontieteissä alkoi - taivaanmekaniikassa ( kolmen kappaleen ongelman ratkaisemiseksi ), optiikassa , lämmönjohtavuusteoriassa , vuosisadan lopulla - sähkömagnetismin teoriassa .

1900-luvulla sarjan käsite laajennettiin laajaan luokkaan matemaattisia objekteja , ei välttämättä numeerisia.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Fikhtengolts, 1966 , s. 257-258.
↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 1068-1070.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 258-259.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 52, 178.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 32-33, 52-53.
↑ Vygodsky, 1977 , s. 540.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 50-71.
↑ 1 2 3 4 Vorobjov, 1979 , s. 72-85.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 315.
↑ Vilenkin et ai., 1982 , s. 55.
↑ Vilenkin et ai., 1982 , s. viisitoista.
↑ Vilenkin et ai., 1982 , s. 67, esim. 56.
↑ Rudin, Walter. Matemaattisen analyysin periaatteet . - McGraw-Hill, 1976. - s . 74 .
↑ 1 2 Vorobjov, 1979 , s. 38-39.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 40-41.
↑ Flint Hills -sarja . Haettu 11. toukokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 11. toukokuuta 2019. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Apéryn vakio Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 1063.
↑ Vilenkin et ai., 1982 , s. 80-82.
↑ Vilenkin et ai., 1982 , s. 86, esim. 70.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 428-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 430-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 438-439.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 436-438.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 424.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V. I. Korkeamman matematiikan kurssi. - 10. painos - Pietari. : BHV-Petersburg, 2010. - T. 3, osa 2. - S. 369-374. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
↑ Vorobjov, 1979 , s. 233-258.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 281-306.
↑ 1 2 Van der Waerden . Heräävä tiede. Muinaisen Egyptin, Babylonin ja Kreikan matematiikka. - M .: Nauka, 1959. - S. 302-303, 309-310. — 456 s.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 202-203.
↑ Paplauskas A. B. Äärettömän sarjan esinewtonilainen kehityskausi. Osa I // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka, 1973. - Numero. XVIII . - S. 104-131 .
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 275.
↑ 1 2 3 Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 158-166.
↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 231.
↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 246-247.
↑ Paplauskas A. B. Trigonometrinen sarja. Eulerista Lebesgueen. - M .: Nauka, 1966. - S. 26-27. — 277 s.
↑ 1 2 Trigonometrinen sarja // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 5.

Kirjallisuus

Vilenkin N. Ya. , Tsukerman V. V., Dobrokhotova M. A., Safonov A. N. Rows. - M . : Koulutus, 1982. - 160 s.
Vorobjov N. N. Sarjojen teoria. - 4. painos - M .: Nauka, 1979. - 408 s.
Vygodsky M. Ya. Korkeamman matematiikan käsikirja. - 12. painos - M. : Nauka, 1977. - 872 s.
Zorich V.A. III luku. Raja. § 1. Sekvenssiraja// Matemaattinen analyysi, osa I. -M.: Nauka, 1981. - P. 104-114. — 544 s.
Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
1600-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
Pismenny D.T. Osa 2 // Luentomuistiinpanot korkeammasta matematiikasta. - 6. painos - M . : Iris-press, 2008.
Sarja // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 1063-1070.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, kolme osaa. - 6. painos - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 680 s.

Linkit

Saveljeva R. Yu. Korkeampi matematiikka. Rivi teoria .

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Iso venäläinen
Brockhaus ja Efron
maailman ympäri
Pieni Brockhaus ja Efron

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX526931 BNF : 11933261z GND : 4049197-3 J9U : 987007531747905171 LCCN : sh85120237 NDL : 00567344 NKC : ph128240

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi

Sarjojen lähentymisen merkkejä
Kaikille riveille	Tarpeellinen kunto Cauchyn kriteeri	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Merkkipositiivisille sarjoille	Pääkriteeri Vertailumerkki Kummerin merkki Gaussin merkki Cauchyn radikaali merkki Integroitu ominaisuus D'Alembertin merkki voiman merkki logaritminen merkki Raaben merkki Bertrandin merkki Jametin merkki Schlömilchin merkki Ermakovin merkki Lobatševskin merkki teleskooppinen merkki Sapogovin merkki
Vuorotteleville sarjoille	Leibnizin merkki
Lomakkeen riveille $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelin merkki Dedekindin merkki Dubois-Reymond merkki Dirichlet-merkki
Toiminnallisiin sarjoihin	Weierstrass-kyltti
Fourier -sarjaan	Dini merkki Vallée Poussinin merkki Jordanin merkki Jung merkki Salem merkki Lebesguen merkki Lebesgue-Gergen merkki Martsinkevitšin merkki