Beta-toiminto

Matematiikassa beetafunktio ( -funktio , Eulerin beetafunktio tai ensimmäisen tyyppinen Euler - integraali ) on seuraava kahden muuttujan erikoisfunktio : $\mathrm{B}$

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

määritelty osoitteessa , . $\operatorname {Re} x>0$ $\operatorname {Re} y>0$

Beetafunktiota tutki Euler , Legendre[ milloin? ] , ja nimen antoi hänelle Jacques Binet .

Ominaisuudet

Beetafunktio on symmetrinen muuttujien permutaatioon nähden, ts.

\mathrm {B} (x,y)=\operaattorinimi {\mathrm {B} } (y,x).

Beta-funktio voidaan ilmaista muilla funktioilla:

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y))),

missä on gammafunktio ; $\gamma (x)$

\mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operaattorinimi {Re} x>0,\ \operaattorinimi {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y }}}\,dt,\quad \operaattorinnimi {Re} x>0,\ \operaattorinnimi {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {( y)_{n+1}}{n!(x+n)}},

missä on laskeva faktoriaali yhtä suuri kuin . $(x)_{n}$ $x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)$

Aivan kuten kokonaislukujen gammafunktio on tekijän yleistys , beetafunktio on binomikertoimien yleistys hieman muokatuilla parametreilla:

{\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1))).

Beta-funktio täyttää kaksiulotteisen eroyhtälön :

\mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.

Johdannaiset

Beetafunktion osittaiset derivaatat ovat seuraavat:

{\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x) }{\Gamma (x)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\oikea)=\mathrm {B} (x,y){\iso (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},

{\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y) }{\Gamma (y)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\oikea)=\mathrm {B} (x,y){\iso (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},

missä on digammafunktio . $\psi(x)$

Epätäydellinen beta-ominaisuus

Epätäydellinen beetafunktio on beetafunktion yleistys, joka korvaa intervalliintegraalin integraalilla, jolla on muuttuva yläraja: $[0, 1]$

\mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt.

Kohdassa , epätäydellinen beetafunktio on sama kuin täydellinen. $x=1$

Normalisoitu epätäydellinen beetafunktio määritellään täydellisillä ja epätäydellisillä beetafunktioilla:

I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b))).

Ominaisuudet $I(x)$

I_{0}(a,b)=0,

I_{1}(a,b)=1,

I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a),

I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b )}}.

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Kuznetsov D. S. Erikoistoiminnot (1962) - 249 s.

Katso myös