Biduga

Biduga on tasainen tasokäyrä, joka koostuu kahdesta ympyräkaaresta, joka on pienempi kuin täysi ympyrä. Yksi kaarista voi olla suora jana. Biarkkeja ehdotettiin [1] käyrien geometriseen mallinnukseen (konstruktioon, approksimaatioon ), joissa on tietyt rajapisteet ja tangentit. Biarkkien luokassa tällä ongelmalla on koko perhe ratkaisuja, ja se vaatii lisäehtoja tiettyjen käyrien löytämiseksi. Näitä voivat olla yhden kaaren kaarevuuden tai pyörimisen asettaminen, käyrän kiinteä pituus [2] , vaatimus minimoida kaarevuushyppy risteyksessä jne.

Bi-kaarella kaarevuuden riippuvuus kaaren pituudesta on monotoninen (koska se koostuu kahdesta vakioosasta), joten bid-kaari on yksinkertaisin spiraali [3] . $k(s)$

Esimerkkejä bidugeista

Kuvassa Kuvassa 1 on kuusi hintaa . Pisteet ja ovat käyrän alku- ja loppupisteet, (liitos) on kahden kaaren tasaisen konjugoinnin piste. $AJB$ $A$ $B$ $J$

Esimerkit 1-4 havainnollistavat lyhyitä biarkkeja: ne eivät leikkaa sointeen komplementtia äärettömään viivaan, vaikka ne voivat leikata itse soinnun (biarkki 1). Yleensä nämä käyrät ovat approksimaatiokohteita.

Esimerkit 5 ja 6 havainnollistavat pitkiä biarkkeja: ne leikkaavat sointeen komplementin, eli ne kiertyvät yhden päätepisteen ympäri.

Käyrillä 1, 2 ja 6 piste on käännepiste: siinä kaarevuus muuttaa etumerkkiä (-:sta + käyrille 1, 2 ja +:ksi - käyrälle 6). $J$

Käyrät sijoitetaan pituuskoordinaattijärjestelmään , jossa alku- ja loppupisteiden koordinaatit ovat yhtä suuret . $\overrightarrow {AB}$ $\;2c=|AB|$ $A=(-c,0),\;\;B=(c,0)$

Tangenttien suunnatut jyrkkyydet pisteissä ja , mitattuna suhteessa jänteen suuntaan , on merkitty ja . Joten bidugi 1:lle kuvassa. 1 ja bidugeille 2-6 - . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\alpha$ $\beeta$ $\;\alpha >0,\;\beta >0$ $\;\alpha >0,\;\beta <0$

Kuvaus bidug-perheestä

Rajatangenttivektorit käyriin 2-6 kuvioissa 2-6. 1 ovat samat: Nämä käyrät ovat yhden parametrin kaksikaariperheen jäseniä, joiden päissä on yhteiset tangentit. Koko perhe on esitetty kuvan 2 alemmassa fragmentissa. $\alpha =100^{\circ },\quad \beta =-30^{\circ }.$

Lisäksi artikkelin materiaaleihin perustuen on annettu bi-kaariperheen pääominaisuudet , joissa on yhteiset tangentit päissä [4] . Perheparametri on merkitty . Biarcin nimeäminen muodossa tarkoittaa vakioiden kiinnittämistä, eli . $s$ ${\mathcal {B}}(p)$ ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$

Kuviot 2, 3, 4 esittävät tällaisia perheitä eri pareille $\{\alpha ,\beta \}.$

Kulmien ja kaarevien suhteet

Kulmien ja katsotaan olevan määritelty alueella : , . Bidugin rakentaminen on mahdollista $\alpha$ $\beeta$ $[-\pi ;\,\pi ]$ $-\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi$ $-\pi \leqslant \beta \leqslant \pi$

\qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .\qquad (1)

Otetaan käyttöön merkintä

\omega ={\frac {\alpha +\beta }{2)),\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2))

Epäyhtälöt (1) tarkoittavat, että . $\;\sin \omega \not =0$

Ensimmäisen kaaren kaarevuus ja toisen kaaren kaarevuus ilmaistaan perheparametrin funktioina seuraavilla kaavoilla: $k_{1}$ ${\näyttötyyli (AJ)}$ $k_{2}$ ${\näyttötyyli (JB)}$

k_{1}(p)={\frac {1}{c}}\left(-\sin \alpha -{\frac {\sin \omega }{p}}\right),\quad k_ {2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right).

Päästää

$\theta _{1}$ ja - kaaren kierto ja pituus : ; $L_{1}$ $AJ$ ${\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1))$
$\theta _{2}$ ja - kaaren kierto ja pituus : . $L_{2}$ $JB$ ${\displaystyle \theta _{2}=k_{2}L_{2))$

Tasa-arvo on reilua

\theta _{1}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }+p^{-1}{\mathrm {e} ^{ -\mathrm {i} \omega }}\oikea),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }+p\ ,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega }\right).

Konjugaatiopisteiden lokus

Kahden kaaren risteyspisteet sijaitsevat ympyrässä $J$

X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1)),\quad Y_{J}( p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1)),\quad -\infty \leqslant p\leqslant \infty .\qquad (2)

Tämä ympyrä jättää pisteen kulmassa ja kulkee pisteen kautta Kun (eli kun ) on suora (kuva 3). Perheen biarkit leikkaavat tämän ympyrän vakiokulmassa . $A$ $\gamma$ $b.$ $\gamma =0$ $\alpha =\beta$ $AB$ $-\omega$

Bi-kaaren tangentin vektori konjugaatiopisteessä on , Jossa $||\cos \tau _{{}_{J)),\,\sin \tau _{{}_{J}}||$

\tau _{{}_{J}}(p)={-2}\operaattorinimi {arctg} {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\ frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.

Kaksikaari, jolla on pienin kaarevuushyppy konjugaatiopisteessä, toteutuu, kun piste on y-akselilla $\min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,$ $p=\pm 1;$ $J$ $(X_{J}=0).$

Degeneroituneet bidugit

Biarkkiperheessä voidaan erottaa seuraavat rappeutuneet biarkit .

Bi-kaari : kun bi-kaaren konjugaatiopiste pyrkii pisteeseen , osa katoaa muuttuen äärettömäksi kaarevuusliikkeeksi . Biarkki degeneroituu ympyräkaareksi, joka perustuu jänteeseen ja jolla on yhteinen tangentti päätepisteessä perheen biarkkien kanssa. ${\mathcal {B}}(0)$ $p\to 0$ $J(p)$ $AJB$ $A$ $AJ$ $AB$
Biduga : pyrkimys vetää puoleensa , osa katoaa. Biarkki degeneroituu ympyräkaareksi, joka perustuu sointeeseen ja jolla on yhteinen tangentti lähtöpisteessä perheen biarkien kanssa. ${\mathcal {B}}(\infty )$ $p\to \infty$ $J(p)\to B$ $JB$ $AB$
Biduga , missä ${\mathcal {B}}(p^{\ast })$ $\qquad p^{\ast }=\left\{{\begin{array}{lll}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha )),\quad &{\text{ if))\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (-\infty ,\;{\text{at))\;|\alpha |=\pi ),\\-{\dfrac {\ sin \beta }{\sin \omega )),\quad &{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (\;0,\;\;\;{\text {at}}\;|\beta |=\pi ),\end{array}}\right.$ on epäjatkuva bi -kaari, joka kulkee tason äärettömän kaukaisen pisteen läpi. Aina , ja epäyhtälöt (1) sulkevat pois samanaikaisen tasa-arvon . Kuvissa 2, 3 epäjatkuvat bidugit on esitetty punaisella katkoviivalla. $p^{\ast }\leqslant 0$ $|\alpha |=|\beta |=\pi$

Kun otetaan huomioon nämä kolme rappeutunutta biarkia , ainoa biarkki kulkee minkä tahansa tason pisteen läpi , jonka navat ovat $A$ $B$ ${\mathcal {B}}(p)$ puhjenneet . Nimittäin biarc kulkee parametrin pisteen läpi $(x,y)$

\qquad p(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}-{\dfrac {[(x+c)^{2}+y^{2}]\sin \ omega }{(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \alpha -2cy\cos \alpha }},\quad &{\text{if}}\quad \omega \ ,C(x,y)\leqslant 0,\\-{\dfrac {(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \beta +2cy\cos \beta }{[ (xc)^{2}+y^{2}]\sin \omega }},\quad &{\text{if}}\quad \omega \,C(x,y)\geqslant 0,\end{ array}}\right.

missä . $\;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \gamma -2cy\cos \gamma$

Perherakenne

Biarkkien perheessä erottelemme parametrin arvosta riippuen seuraavat ei-degeneroituneiden biarkkien alaryhmät: ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$ $p,$

{\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B } ))_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B))_{2}^{ \ ,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal { B))_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B))_{2}^{\,-}(p)\end{array))

(kohteessa [4] , ominaisuudessa 2, alaperheet ja nimetään vastaavasti pääalaperheeksi ja täydentäväksi alaperheeksi ). ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\mathcal {B}}^{\,-}$

Kuvissa 2, 3, 4 alaperheisiin , ja ne on esitetty ruskeana, sinisenä ja vihreänä. $\color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}$ $\color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ $\color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$

Alaperheen bidugit ovat lyhyitä. Niiden kaarevuus joko kasvaa (jos ) tai pienenee (jos ): ${\mathcal {B}}^{\,+}$ $\omega >0$ $\omega <0$

$\operaattorinnimi {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operaattorin nimi {sgn} \omega =\operaattorin nimi {sgn}(\alpha +\beta )$ ( V.Vogtin lause lyhyille spiraaleille ).

Ne sijaitsevat linssin sisällä , alueella, jota rajoittavat rappeutuneet biarkit ja (linssin alue on varjostettu kuvissa). Linssin kulmaleveys (merkitty) on . GMT (2) on linssin puolittaja . ${\mathcal {B}}(0)$ ${\mathcal {B}}(\infty )$ $\alpha +\beta =2\omega$

Alaperheen biarkeilla on päinvastainen (suhteessa ) kaarevuuden monotonisuuden luonne. Jos ja , tämän alaperheen bidugit ovat pitkiä. Epäjatkuva bidug erottaa alaperheiden bidugit toisistaan . ${\mathcal {B}}^{\,-}$ ${\mathcal {B}}^{\,+}$
$|\alpha |\not =\pi$ $|\beta |\not =\pi$ $\color {red}{\mathcal {B}}(p^{\ast })$ ${\mathcal {B}}_{{\color {blue}1},{\color {green}2}}^{\,-}$

Alaperhe on tyhjä, jos ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ $p^{\ast }=0$ $(|\beta |=\pi ).$

Alaperhe on tyhjä, jos ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ $p^{\ast }=-\infty$ $(|\alpha |=\pi ).$

Rajakulmien uudelleenmäärittely kumulatiivisessa mielessä . Luonnollisen biarc-yhtälön integrointi antaa jatkuvan (palakohtaisesti lineaarisen) funktion - käyrän tangentin kaltevuuskulman. Tällä määritelmällä jatkuva , sen arvot voivat mennä pidemmälle ja arvot päissä voivat poiketa arvosta . Määritellään yhdessä muodon säteen rajakulmien kumulatiiviset versiot ; kulman korjaus tehdään, jos bi-kaari pyörii pisteen ympäri (yli sointeen oikean komplementin äärettömään viivaan): $\tau(s)$ $\pm \pi$ $\alpha ,\beta$ $\pm 2\pi .$ $\alpha ,\beta$ ${\widetilde {\alpha )),{\widetilde {\beta ))$ $\tau(s).$ $\alpha$ $A,$ $\{x<-c,\,y=0\}$ $\beeta$ $B$

alaperheessä : ; ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta$
alaperheessä : ; ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha -2\pi \operaattorinimi {sgn} \omega ,\;{\widetilde {\beta }}=\beta$
alaperheessä : . ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta -2\pi \operaattorinimi {sgn} \omega$

Sitten bi-kaaren täysi kierros on yhtä suuri kuin ${\mathcal {B}}(p)$

\theta _{1}(p)+\theta _{2}(p)={\widetilde {\beta }}-{\widetilde {\alpha )),

ja kaarevuuden kasvu/pieneneminen vastaa yhtäläisyyttä

\operaattorinnimi {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operaattorin nimi {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).

Joten biarkeille, joiden kaarevuus kasvaa , meillä on: ${\displaystyle k_{2}>k_{1))$

{\widetilde {\alpha }}>-\pi ,\quad {\widetilde {\beta }}>-\pi ,\quad 0<{\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}<2\pi .

Linkit

↑ Bolton, KM Biarc curves // Tietokoneavusteinen suunnittelu. - 1975. - Voi. 7 . - s. 89-92 . - doi : 10.1016/0010-4485(75)90086-X .
↑ Sabitov I.Kh. , Slovesnov A.V. Tasokäyrien approksimointi ympyräkaareilla // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics . - 2010. - T. 50 , nro 8 . - S. 1347-1356 .
↑ Kurnosenko A.I. Tasospiraalikäyrien yleiset ominaisuudet // Notes of Scientific Seminars POMI . - 2009. - T. 353 . - S. 93-115 . — ISSN 0373-2703 . [yksi]
↑ 1 2 Kurnosenko, AI Biarcs and bilens (englanti) // Computer Aided Geometric Design. - 2013. - Vol. 30 , ei. 3 . - s. 310-330 . - doi : 10.1016/j.cagd.2012.12.002 . [2]

Kirjallisuus

Nutbourne, A.W.; Martin, R. R. Differentiaaligeometriaa käyrän ja pinnan suunnittelussa. Vol.1: Foundations (englanniksi) . - Ellis Horwood, 1988. - ISBN 013211822X .

Katso myös

Vogtin lause