Bijektio

Bijektio on kartoitus , joka on sekä surjektiivinen että injektiivinen . Bijektiivisessä kuvauksessa yhden joukon jokainen elementti vastaa täsmälleen yhtä toisen joukon elementtiä, ja määritellään käänteinen kuvaus, jolla on sama ominaisuus. Siksi bijektiivista kartoitusta kutsutaan myös yksi-yhteen-mappaukseksi (vastaavuus).

Bijektiivista kuvausta, joka on homomorfismi , kutsutaan isomorfiseksi vastaavuudeksi .

Jos kahden joukon välille voidaan muodostaa yksi-yhteen-vastaavuus (bijektio), niin tällaisia joukkoja kutsutaan ekvivalenteiksi . Joukkoteorian kannalta yhtä suuret joukot ovat erottamattomia.

Äärillisen joukon yksi-yhteen-kuvausta itseensä kutsutaan tämän joukon elementtien permutaatioksi (tai substituutioksi).

Muodollisesti funktiota kutsutaan bijektioksi (ja merkitään ), jos se: $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $f\colon X\leftrightarrow Y$

kartoittaa joukon eri elementit joukon eri elementteihin ( injektio ): $X$ $Y$ $\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Nuoli oikealle f(x_1) \ne f(x_2)$ .
millä tahansa elementillä on esikuva ( surjektiivisuus ): $Y$ $\kaikki y\in Y,\;\olemassa x\X\;f(x)=y$ .

Esimerkkejä:

Joukon identiteettikartoitus on bijektiivinen. $\mathrm {id} \colon X\to X$ $X$
$f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ ovat bijektiivisiä funktioita itsestään; yleensä mikä tahansa yhden muuttujan pariton asteinen monomi on bijektio itsestään. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
$f(x)=e^{x}$ on bijektiivinen funktio välillä - . $\mathbb {R}$ $\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )$
$f(x)=\sin x$ ei ole bijektiivinen funktio, jos oletetaan, että se on määritelty kaikessa . $\mathbb {R}$
Täysin monotoninen ja jatkuva funktio on bijektio segmentistä segmenttiin . $f(x)$ $[a,b]$ ${\näyttötyyli [f(a),f(b)]}$

Funktio on bijektiivinen silloin ja vain, jos on olemassa käänteisfunktio , joka: $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $f^{{-1}}\kaksoispiste Y\-X$

\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x

\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.

Jos funktiot ja ovat bijektiivisia, niin funktioiden koostumus on myös bijektiivinen, tässä tapauksessa eli bijektioiden koostumus on bijektio. Päinvastainen ei pidä paikkaansa yleisessä tapauksessa: jos se on bijektiivinen, voimme vain sanoa, että se on injektiivinen, mutta surjektiivinen. $f$ $g$ $g\circ f$ $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}$ $g\circ f$ $f$ $g$

Kirjallisuus

Vereshchagin N. K., Shen A. Osa 1. Joukkoteorian alku // Luentoja matemaattisesta logiikasta ja algoritmien teoriasta. — 2. painos, korjattu. - M .: MTSNMO , 2002. - 128 s.
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matemaattinen logiikka: Oppikirja. - 3. painos, stereotypia .. - Pietari. : Lan, 2004. - 336 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen Iso venäläinen Britannica (verkossa)