Aaltonumero

aaltonumero
$\k$
Ulottuvuus	L -1
Yksiköt
SI	m −1
GHS	cm -1
Huomautuksia
skalaari

Aaltoluku on 2 π radiaanin suhde aallonpituuteen:

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda )),

- kulmataajuuden spatiaalinen analogia [1] .

Aaltoluku liittyy toiseen suureen, jota kutsutaan spatiaaliseksi taajuudeksi - avaruuden värähtelyjaksojen lukumäärään pituusyksikköä kohti [2] [3] . Spektroskopiassa spatiaalista taajuutta kutsutaan aaltoluvuksi ja se mitataan yleensä käänteis senttimetreinä (cm −1 ).

Tavallinen merkintätapa [4] : . $k$

Määritelmä : aaltoluku k on aallon φ vaiheen kasvunopeus spatiaalista koordinaattia pitkin [5] :

k\equiv {\frac {d\varphi }{dx)).

Yksiulotteisessa tapauksessa aaltonumerolle annetaan yleensä miinusmerkki , jos aalto etenee negatiiviseen suuntaan (akselia vasten). Moniulotteisessa tämä on yleensä synonyymi aaltovektorin tai sen komponenttien itseisarvolle (useita aaltolukuja koordinaattiakselien lukumäärän mukaan), se voi olla myös aaltovektorin projektio johonkin tiettyyn valittuun suuntaan.

Koska useimmissa tapauksissa aaltoluvulla on järkeä vain, kun sitä sovelletaan monokromaattiseen aaltoon (tiukasti yksiväriseen tai ainakin lähes monokromaattiseen), määritelmän derivaatta voidaan (näissä yleisimmissä tapauksissa) korvata äärellisellä erolausekkeella:

k\equiv {\frac {\Delta \varphi }{\Delta x)).

Tämän perusteella voit saada erilaisia enemmän tai vähemmän sopivia formulaatioita [6] :

Aaltoluku on aallon vaiheen ero (radiaaneina) samalla hetkellä tilapisteissä yksikköpituuden (yksi metri) etäisyydellä.
Aaltoluku on aallon avaruudellisten jaksojen (kuhojen) lukumäärä 2 π metriä kohti.
Aaltoluku on yhtä suuri kuin aallon radiaanien lukumäärä 1 metrin segmentillä.

Spektroskopiassa aaltolukua kutsutaan usein yksinkertaisesti aallonpituuden käänteiseksi (1/λ), joka yleensä mitataan käänteis senttimetreinä (cm −1 ). Tämä määritelmä eroaa tavallisesta tekijän 2 π puuttumisen vuoksi .

Mittayksikkö on rad · m −1 , fyysinen mitta m −1 ( CGS -järjestelmässä : cm −1 ).

Käytetään fysiikassa , matematiikassa [7] ( Fourier-muunnos ) ja sovelluksissa, kuten kuvankäsittelyssä .

Perussuhteet

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_({\varphi }}}}={\frac {\omega }{v_{{\ varphi }}}},

missä:

λ on aallonpituus ,

\nu

(kreikkalainen kirjain "nu") - taajuus ,

v

φ onaallon vaihenopeus , ω on kulmataajuus .

Monokromaattiselle liikkuvalle aallolle voidaan kirjoittaa:

\varphi =kx-\omega t

- vaihetta varten;

u(x,t)=const\cdot {\mathrm {cos}}(kx-\omega t+\varphi _{0})

- itse aallolle;

tai

u(x,t)=const\cdot e^{{i(kx-\omega t)}}

— monimutkaiselle aallolle; tähän voi piiloutua ,

\varphi_{0}

konst

monokromaattiselle seisovalle aallolle:

u(x,t)=const\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0})) .

Muistiinpanot

Aaltoluku on tarkasti määritelty monokromaattiselle aallolle. Aaltoluku viittaa toisen tyyppisiin aaltoihin spektrin käsitteen kautta (eli Fourier-muunnosten kautta), eli ei-monokromaattinen aalto sisältää yleensä monokromaattisia komponentteja, joilla on eri aaltoluvut eri suhteissa; Lähes monokromaattiset aallot voidaan kuitenkin likimäärin kuvata aalloksi, joilla on tietty aaltoluku (niiden spektri keskittyy pääasiassa lähelle yhtä aaltoluvun arvoa).

Joskus esimerkiksi kvasigeometrisessa (quasi-klassisessa) approksimaatiossa aaltolukua (aaltovektoria) voidaan pitää hitaasti muuttuvana avaruudessa, eli aalto ei ole yhtä yksivärinen, vaan kvasi-monokromaattinen. Tässä tapauksessa on tietysti parempi käyttää aaltoluvun (aaltovektorin) määritelmää derivaatalla kuin äärellisillä eroilla.

Itse asiassa ainoa fyysisesti merkityksellinen tapaus, jossa aaltoluku (aaltovektori) voi muuttua x :n kanssa , jopa suhteellisen nopeasti, on polun integraaliformalismi . Tässä tapauksessa aaltoa kuvaavassa teoriassa on hyvin erikoisen muotoisia aaltoja:

u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)},

jolle mainittu on varsin oikeaa ja merkityksellistä.

Aaltoluku kvanttifysiikassa

Kvanttifysiikassa se liittyy liikemääräkomponenttiin tietyssä suunnassa:

p_{x}=\hbar k_{x},

missä

p x on liikemäärän komponentti x -suunnassa (yksiulotteisessa järjestelmässä kokonaisliikemäärä), k x on aaltoluku (aaltovektorin komponentti ) x - suunnassa (yksiulotteisessa järjestelmässä se on yksinkertaisesti aaltoluku), ħ on pelkistetty Planck-vakio ( Dirac-vakio ).

Koska Planckin vakio on universaali, voimme yksinkertaisesti tehdä ħ = 1 valitsemalla yksikköjärjestelmän.

p_{x}=k_{x},

eli kvanttifysiikassa liikemääräkomponentin ja aaltoluvun käsitteet ovat olennaisesti samat . Tätä voidaan pitää yhtenä kvanttimekaniikan perusperiaatteista.

Sama voidaan sanoa kokonaisliikemäärästä ja aaltoluvusta ilmoittamatta aaltovektorin itseisarvon suuntaa :

p = \hbar k,

ja yksiköissä ħ = 1:

p=k

Tietyssä tapauksessa tyhjiössä olevalle valolle (ja periaatteessa kaikille muille massattomille kentille; suunnilleen ultrarelativistisille hiukkasille) voidaan kirjoittaa myös:

k={\frac {E}{\hbar c)),

missä

E - energia , ħ on pelkistetty Planck-vakio ( Dirac-vakio ), c on valon nopeus tyhjiössä.

Aaltoluku sähködynamiikassa

Kirjoitetaan tasosähkömagneettisen aallon yhtälö:

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}$

$\Delta \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}$

Koordinaattimuodossa:

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$ (yksi)

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

Ratkaisu näihin yhtälöihin on:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$\omega$ - aaltotaajuus

$k$ - aaltonumero

$c$ on valon nopeus tyhjiössä

Korvaa yhtälö (2) osaksi (1) :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

$k={\frac {\omega }{c}}$ [kahdeksan]

Siten aaltoluku on värähtelyjen lukumäärä metriä kohti.

Katso myös

aaltovektori

Muistiinpanot

↑ Ympyrätaajuus mitataan radiaaneina sekunnissa, aaltoluku mitataan radiaaneina per metri
↑ Nämä ovat lähes täydellisiä synonyymejä, jotka eroavat jonkin verran vain perinteisistä käyttötottumuksista eri alueilla, joten termiä aaltoluku käytetään pääasiassa fysiikassa (mutta termi spatial Frequency ), matematiikassa ja erilaisissa sovelluksissa (kuten kuvankäsittelyssä) yleensä termiä spatiaalinen taajuus ja jopa pelkkä taajuus käytetään vastaavasta käsitteestä . Lisäksi huomautamme, että termille spatiaalinen taajuus ( taajuus ) sallitaan usein moniulotteinen ymmärrys eli sitä käytetään myös käytännöllisenä synonyymina termille aaltovektori , kun taas termille aaltoluku tällainen käyttö on käytännössä poissuljettua ilmeisistä syistä. syyt. Aaltovektorin komponentteja voidaan kuitenkin kutsua aaltoluvuiksi koordinaattiakseleita pitkin.
↑ Fyysinen tietosanakirja. 5 osaa / Ch. toim. A. M. Prokhorov. Ed. Kreivi D. M. Alekseev, A. M. Baldin. - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja + Suuri venäläinen tietosanakirja. – 1998.
↑ Muita käytetään usein, yleensä nimenomaisesti ilmaistuna.
↑ Yksiulotteisessa tapauksessa tilakoordinaatin valinta on yksiselitteinen (peiliheijastukseen asti), moniulotteisessa tapauksessa oletusarvoisesti x -koordinaatti valitaan siten, että se osuu yhteen suurimman vaiheen kasvunopeuden suunnan kanssa. , eli kohtisuorassa vaiherintamaan nähden; tässä tapauksessa aaltoluku on aaltovektorin itseisarvo . Lopuksi, joskus suunta x on annettu eksplisiittisesti eikä se välttämättä ole sama kuin juuri mainittu; silloin yleensä puhutaan aaltoluvusta x-suunnassa ja osoitetaan tämä nimenomaisesti merkinnällä: . $k_{x}$
↑ Mukaan lukien artikkelin alussa oleva sanamuoto
↑ Matematiikassa (ja monissa sovelluksissa) - pääasiassa terminologisessa muodossa, tilataajuudella tai jopa vain taajuudella .
↑ I.V. Saveljev "Yleisen fysiikan kurssi" Osan II kappale "Taso sähkömagneettinen aalto"