Piirretty-piirretty nelikulmio

Piirretty-piirretty nelikulmio on kupera nelikulmio , jossa on sekä piirretty ympyrä että rajattu ympyrä . Määritelmästä seuraa, että sisäänkirjoitetuilla-piirretyillä nelikulmioilla on kaikki sekä rajattujen nelikulmioiden että piirrettyjen nelikulmioiden ominaisuudet . Muut nimet näille nelikulmioille ovat sointutangentin nelikulmio [1] ja kaksikeskinen nelikulmio . Niitä kutsutaan myös kahden ympyrän nelikulmioiksi [2] .

Jos kaksi ympyrää, toinen toisensa sisällä, ovat piirretty ympyrä ja jonkin nelikulmion rajattu ympyrä, niin mikä tahansa rajatun ympyrän piste on jonkin (mahdollisesti erilaisen) piirretyn nelikulmion kärki, jolla on samat piirretyt ja rajatut ympyrät [3] . Tämä on seurausta Poncelet'n porismista , jonka ranskalainen matemaatikko Jean-Victor Poncelet (1788–1867) todisti.

Erikoistilaisuudet

Esimerkkejä piirretyistä nelikulmioista ovat neliöt , suorakulmaiset hartiat ja tasakylkiset ympäripiirretyt puolisuunnikkaat .

Kuvaus

Kupera nelikulmio ABCD , jonka sivut ovat a , b , c , d , on kaksikeskinen silloin ja vain, jos vastakkaiset sivut täyttävät Pitot-lauseen rajatuille nelikulmioille ja piirrettyjen nelikulmioiden ominaisuuden, että vastakkaiset kulmat laskevat yhteen 180 astetta, ts.

{\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases))

Kolme muuta kuvausta koskevat pisteitä, joissa rajatun nelikulmion piirretty ympyrä koskettaa sivuja. Jos sisäympyrä tangentti sivuja AB , BC , CD ja DA pisteissä W , X , Y ja Z , niin myös rajattu nelikulmio ABCD rajataan, jos ja vain jos jokin seuraavista kolmesta ehdosta täyttyy [4] :

Jakso WY on kohtisuorassa XZ :aan nähden
${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

Ensimmäinen näistä kolmesta ehdosta tarkoittaa, että kosketinneliikulmio WXYZ on ortodiagonaalinen nelikulmio .

Jos E , F , G , H ovat WX , XY , YZ , ZW keskipisteet , niin myös rajattu nelikulmio ABCD on rajattu silloin ja vain jos nelikulmio EFGH on suorakulmio [4] .

Toisen kuvauksen mukaan, jos I on piirretyn nelikulmion piirretty ympyrän keskipiste, jonka vastakkaisten sivujen jatkeet leikkaavat kohdissa J ja K , niin nelikulmio on rajattu silloin ja vain jos JIK on suora kulma [4] .

Toinen välttämätön ja riittävä ehto on, että rajattu nelikulmio ABCD on rajattu silloin ja vain, jos sen Gauss -viiva on kohtisuorassa sen kosketusnelikon WXYZ Gaussin suoraa vastaan . (Nelikulmion Gaussin viiva määräytyy sen lävistäjien keskipisteiden mukaan.) [4]

Rakentaminen

Kaksikeskisen nelikulmion rakentamiseen on olemassa yksinkertainen menetelmä:

Rakentaminen aloitetaan piirretyllä ympyrällä C r , jonka keskipiste on I ja säde r , sitten piirretään kaksi toisiinsa nähden kohtisuoraa jännettä WY ja XZ sisäänkirjoitettuun ympyrään C r . Sointeiden päihin piirretään piirretyn ympyrän tangentit a , b , c ja d . Ne leikkaavat pisteissä A, B, C ja D , jotka ovat piirretyn nelikulmion kärjet [5] . Piirrä ympyrä piirtämällä kaksi keskisuoraa p 1 ja p 2 piirretyn nelikulmion a ja b sivuille . Ne leikkaavat rajatun ympyrän C R keskipisteessä etäisyydellä x piirretyn ympyrän C r keskustasta I.

Tämän konstruktion pätevyys seuraa siitä tosiasiasta, että rajatussa nelikulmiossa ABCD kosketinneliolla WXYZ on kohtisuorat lävistäjät silloin ja vain, jos myös rajattu nelikulmio on piirretty .

Alue

Kaavat neljällä suurella

Piirretyn nelikulmion pinta- ala K voidaan ilmaista nelikulmion neljällä ulottuvuudella useilla tavoilla. Jos a , b , c ja d ovat sivuja, pinta-ala saadaan kaavalla [3] [6] [7] [8] [9]

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.

Tämä on Brahmaguptan kaavan erikoistapaus . Kaava voidaan saada myös suoraan rajatun nelikulmion alueen trigonometrisesta kaavasta . Huomaa, että käänteinen ei päde – joillakin nelikulmioilla, jotka eivät ole kaksikeskisiä, on myös pinta-ala [10] . Esimerkki tällaisesta nelikulmiosta on suorakulmio (eri sivuilla, ei neliö). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$

Pinta-ala voidaan ilmaista segmenteinä kärjestä kosketuspisteeseen (lyhyyden vuoksi kutsumme näitä pituuksia tangentin pituuksiksi) e , f , g , h [11]

K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).

Kaava piirretyn nelikulmion ABCD pinta-alalle piirretyn ympyrän I keskipisteen kanssa [7]

K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Jos sisäänpiirretyllä nelikulmiolla on tangenttijänteet k , l ja diagonaalit p , q , niin sillä on pinta-ala [12]

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Jos k , l ovat tangenttipainteita ja m , n nelisivuisia bimediaaneja , niin pinta-ala voidaan laskea kaavalla [7] .

K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

Kaavaa ei voi käyttää, jos nelikulmio on oikea hartialihas , koska tässä tapauksessa nimittäjä on nolla.

Jos M ja N ovat lävistäjien keskipisteet ja E ja F ovat sivujen jatkeen leikkauspisteet, niin piirretyn nelikulmion pinta-ala saadaan

K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}

missä I on piirretyn ympyrän keskipiste [7] .

Kaavat kolmen suuren suhteen

Piirretyn nelikulmion pinta-ala voidaan ilmaista kahdella vastakkaisella sivulla ja lävistäjien välisellä kulmalla θ kaavan [7] mukaisesti.

K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.

Kahden vierekkäisen kulman ja piirretyn ympyrän säteen r suhteen pinta-ala saadaan kaavalla [7]

K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).

Pinta-ala annetaan rajatun ympyrän säteenä R ja piirretyn ympyrän säteenä r :

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})\sin \theta

missä θ on mikä tahansa diagonaalien välinen kulma [13] .

Jos M ja N ovat diagonaalien keskipisteet ja E ja F ovat vastakkaisten sivujen jatkeiden leikkauspisteitä, pinta-ala voidaan ilmaista kaavalla

K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}

missä Q on piirretyn ympyrän keskipisteestä lähtevän suoran EF kohtisuoran kanta [7] .

Epätasa-arvo

Jos r ja R ovat piirretyn ympyrän säde ja vastaavasti rajatun ympyrän säde, niin alue K täyttää kaksois-epäyhtälön [14] .

\displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.

Saamme tasa-arvon vain, jos nelikulmio on neliö .

Toinen alueen epätasa-arvo olisi [15] :s.39,#1203

{\displaystyle K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

missä r ja R ovat piirretyn ympyrän säde ja vastaavasti rajatun ympyrän säde.

Samanlainen epäyhtälö, joka antaa paremman ylärajan alueelle kuin edellinen [13]

K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})

ja tasa-arvo saavutetaan, jos ja vain, jos nelikulmio on oikea hartialihas .

Myös sivuilla a, b, c, d ja puolikehällä s :

2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

[15] :s.39,#1203

6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2))};

[15] :s.39,#1203

4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).

[15] :s.39,#1203

Kulmakaavat

Jos a , b , c ja d ovat piirretyn nelikulmion ABCD sivujen AB , BC , CD ja DA pituudet , niin sen kärkikulmat voidaan laskea tangentin [7] avulla :

\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{ 2}},

\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {D}{ 2}}.

Samaa merkintää käyttämällä seuraavat sinien ja kosinien kaavat täyttyvät [16] :

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},

\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.

Diagonaalien välinen kulma θ voidaan laskea kaavasta [8] .

\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

Piirretyn ympyrän säde ja rajatun ympyrän säde

Piirretyn nelikulmion piirretyn ympyrän r säde määritetään sivuilla a , b , c , d kaavan [3] mukaisesti.

\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.

Ympyrän R säde on Paramesvaran kaavan erikoistapaus [3]

\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.

Piirretyn ympyrän säde voidaan ilmaista myös peräkkäisinä tangentin pituuksina e , f , g , h kaavan [17] mukaisesti .

\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.

Nämä kaksi kaavaa ovat itse asiassa välttämättömiä ja riittäviä ehtoja, jotta rajattu nelikulmio , jonka ympyräsäde on r , voidaan piirtää .

Piirretyn nelikulmion neljä sivua a , b , c , d ovat ratkaisuja neljännen asteen yhtälöön

y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})y^{ 2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0

missä s on puolikehä ja r ja R ovat piirretyn ympyrän säde ja vastaavasti rajatun ympyrän säde [18] .

Jos on piirretty-piirretty nelikulmio, jonka ympyrän säde on r ja jonka tangentin pituudet ovat yhtä suuria kuin e , f , g , h , niin on olemassa piirretty-piirretty nelikulmio, jonka ympyrän säde on r v ja jonka tangentin pituudet ovat , missä v voi olla mikä tahansa reaaliluku [19] . ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v))$

Ympyräpiirretyllä nelikulmiolla on suurempi ympyräsäde kuin millään muulla rajatulla nelikulmiolla, jolla on samat sivunpituudet samassa sarjassa [20] .

Epätasa-arvo

Ympyrän R säde ja piirretyn ympyrän säde r täyttävät epäyhtälön

R\geqslant {\sqrt {2}}r

jonka L. Fejes Toth todisti vuonna 1948 [21] . Epäyhtälöstä tulee tasa-arvo vain, jos kaksi ympyrää ovat samankeskisiä (keskipisteet ovat samat). Tässä tapauksessa nelikulmio on neliö . Epäyhtälö voidaan todistaa usealla eri tavalla, yksi tapa on käyttää kaksois-epäyhtälöä yllä olevalle alueelle.

Edellisen epätasa-arvon yleistys on [2] [22] .

{\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos { \frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos { \frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1

jossa epätasa-arvo muuttuu tasa-arvoksi silloin ja vain, jos nelikulmio on neliö [23] .

Piirretyn nelikulmion puolikehä s täyttää [24]

{\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2))}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+ r^{2}}}+r

missä r ja R ovat piirretyn ympyrän säde ja vastaavasti rajatun ympyrän säde.

Lisäksi [15] :s.39,#1203

{\displaystyle 2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2))})^{2))

abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).

[15] :s.62,#1599

Etäisyys piirretyn ympyrän keskipisteen ja rajatun ympyrän keskipisteen välillä

Fuss-lause

Fussin teoreema antaa suhteen sisäympyrän säteen r , rajatun ympyrän säteen R ja ympyrän keskipisteen I ja rajatun ympyrän keskipisteen O välisen etäisyyden x välillä mille tahansa kaksikeskiselle nelikulmiolle. Yhteys saadaan kaavalla [1] [9] [25] .

{\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}},

Tai vastaavasti

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

Kaavan johti Nikolai Ivanovich Fuss (1755–1826) vuonna 1792. Ratkaisemalla x :n saamme

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

Fussin teoreema sisäänkirjoitetuille-piirretyille nelikulmioille, joka on analoginen Eulerin kolmioiden lauseen kanssa , sanoo, että jos nelikulmio on kaksikeskinen, siihen liittyvät kaksi ympyrää liittyvät yllä olevan kaavan mukaan. Itse asiassa pätee myös päinvastoin - jos annetaan kaksi ympyrää (toinen toisen sisällä), joiden säteet ovat R ja r ja niiden keskipisteiden välinen etäisyys x täyttää Fussin lauseen ehdon, yhteen ympyröistä on kirjoitettu kupera nelikulmio , ja toinen ympyrä kirjoitetaan nelikulmioon [26 ] (ja sitten Poncelet-lauseen mukaan tällaisia nelikulmioita on äärettömän monta).

Jos käytämme sitä, että Fussin lauseen lausekkeessa saadaan jo mainittu epäyhtälö eri tavalla.Epäyhtälön yleistys on [27] $x^{2}\geqslant 0$ $R\geqslant {\sqrt {2}}r.$

2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.

Identiteetti Karlitz

Toinen kaava piirretyn ympyrän ja rajatun ympyrän keskipisteiden väliselle etäisyydelle x johtuu amerikkalaiselta matemaatikolta Leonard Karlitzilta (1907–1999). Kaava sanoo, että [28] .

\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu

missä r ja R ovat piirretyn ympyrän säde ja vastaavasti rajatun ympyrän säde , ja

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)))}={\sqrt {\ frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

missä a , b , c , d ovat piirretyn nelikulmion sivut.

Tangenttien pituuksien ja sivujen epäyhtälöt

Tangentin pituuksille e , f , g , h seuraavat epäyhtälöt pätevät [29] :

{\displaystyle 4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r ^{2})

missä r on piirretyn ympyrän säde, R on rajatun ympyrän säde ja x on näiden ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys. Sivut a , b , c , d täyttävät epäyhtälöt [27]

{\displaystyle 8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).

Muut piirretyn ympyrän keskipisteen ominaisuudet

Piirretyn ympyrän keskusta , piirretyn ympyrän keskusta ja piirretyn nelikulmion lävistäjien leikkauspiste ovat kollineaariset . [kolmekymmentä]

Ympyrän I keskipisteen ja kaksikeskisen nelikulmion ABCD kärkien välisille neljälle etäisyydelle on olemassa seuraava yhtälö : [31]

{\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\ frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

missä r on piirretyn ympyrän säde.

Jos piste P on piirretyn nelikulmion ABCD lävistäjien leikkauspiste piirretyn ympyrän I keskipisteen kanssa , niin [32]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.

Piirretyn ympyrän säteelle r ja rajatun ympyrän säteelle R on epäyhtälö piirretyssä nelikulmiossa ABCD [33]

{\displaystyle 4r^{2}\leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI\leqslant 2R^{2))

missä I on piirretyn ympyrän keskipiste.

Diagonaalien ominaisuudet

Piirretyn nelikulmion lävistäjien pituudet voidaan ilmaista sivujen tai tangentin pituuksina . Nämä kaavat pätevät sisäänkirjoitetuille nelikulmioille ja vastaavasti rajatuille nelikulmioille .

Piirretyssä nelikulmiossa, jonka diagonaalit p ja q , identiteetti [34] on tosi :

\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1

missä r ja R ovat piirretyn ympyrän säde ja vastaavasti rajatun ympyrän säde . Tämä identiteetti voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon [13]

r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}

tai ratkaisemalla se toisen asteen yhtälönä diagonaalien tulon suhteen, saamme

pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\oikea).

Piirretyssä nelikulmiossa diagonaalien p , q tulolle on epäyhtälö [14]

{\displaystyle \displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^{2))

missä a , b , c , d ovat sivuja. Epätasa-arvon todisti Murray S. Klumkin vuonna 1967.

Katso myös

Piirretty-rajoitettu monikulmio
Rajoittamaton nelikulmio

Muistiinpanot

↑ 1 2 Dörrie, 1965 , s. 188-193.
↑ 12. kesäkuuta 2008 , s. 119-121.
↑ 1 2 3 4 Eric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld , [1] Arkistoitu 23. tammikuuta 2019 Wayback Machinessa , Käytetty 13.8.2011.
↑ 1 2 3 4 Josefsson, 2010 , s. 165-173.
↑ Alsina, Nelsen, 2011 , s. 125–126.
↑ Josefsson, 2010 , s. 129.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Josefsson, 2011 , s. 155-164.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , s. 28, 30.
↑ 12 Yiu , 1998 , s. 158-164.
↑ Herra, 2012 , s. 345-347.
↑ Josefsson, 2010 , s. 128.
↑ Josefsson, 2010a , s. 129.
↑ 1 2 3 Josefsson, 2012 , s. 237-241.
↑ 1 2 Alsina, Nelsen, 2009 , s. 64–66.
↑ 1 2 3 4 5 6 Epäyhtälöt ehdotettu julkaisussa Crux Mathematicorum , 2007. [2] Arkistoitu 27. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Josefsson, 2012 , s. 79–82.
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , s. 41.
↑ Pop, 2009 , s. 754.
↑ Radic, 2005 , s. 9-10.
↑ Hess, 2014 , s. 392-393.
↑ Radic, 2005 .
↑ Shattuck, 2018 , s. 141.
↑ Josefsson, 2012 , s. 81.
↑ Radic, 2005 , s. 13.
↑ Salazar, 2006 , s. 306-307.
↑ Byerly, 1909 , s. 123-128.
↑ 1 2 Radic, 2005 , s. 5.
↑ Calin, 2010 , s. 153-158.
↑ Radic, 2005 , s. 3.
↑ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [3] Arkistoitu 26. huhtikuuta 2004 Wayback Machinessa , 2004.
↑ Juan Carlos Salazar, Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral , 2003, [4] .
↑ Crux Mathematicorum 34 (2008) nro 4, s. 242.
↑ Viesti osoitteessa Art of Problem Solving , 2009
↑ Yiu, 1998 , s. 158-164.

Kirjallisuus

Heinrich Dorrie. 100 suurta perusmatematiikan ongelmaa: niiden historia ja ratkaisut. - New York: Dover, 1965. - S. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
Eric W. Weisstein. Poncelet Transverse // MathWorld - Wolfram-verkkoresurssi,.
Martin Josephson. Kaksikeskisten nelikulmioiden luonnehdinta // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 . — S. 165–173 .
Martin Josephson. Tangentiaalisen nelikulmion tangentin pituuksia ja tangenttijänteitä koskevat laskelmat // Forum Geometricorum. – 2010a. - T. 10 . — S. 119–130 .
Martin Josephson. Kaksikeskisen nelikulmion alue // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . — S. 155–164 .
Martin Josephson. Uusi todiste Yunin epätasa-arvosta kaksikeskisille nelikulmioille // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — s. 79–82 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Matematiikan kuvakkeet. Kahdenkymmenen keskeisen kuvan tutkiminen. - Mathematical Association of America, 2011. - S. 125-126. - ISBN 978-0-88385-352-8 .
Nick Lord. Nelisivut pinta-alakaavalla // Mathematical Gazette. - 2012. - heinäkuu ( v. 96 ). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$
Martin Josephson. Kaksikeskisen nelikulmion suurin pinta-ala // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — S. 237–241 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Kun vähemmän on enemmän: perusepätasa-arvojen visualisointi . - Mathematical Association of America, 2009. - S. 64-66 . — ISBN 978-0-88385-342-9 .
Durell CV, Robson A. Edistynyt trigonometria. – Dover, 2003.
Radic M., Kaliman Z., Kadum V. Edellytys, että tangentiaalinen nelikulmio on myös sointu. - Mathematical Communications, 2007. - V. 12. - S. 33-52.
Ovidiu T. Pop. Identiteetit ja epätasa-arvot nelikulmassa // Octogon Mathematical Magazine. - 2009. - lokakuu ( osa 17 , nro 2 ) . - S. 754-763 .
Mirko Radic. Tietyt epäyhtälöt kaksikeskisten nelikulmioiden, kuusikulmioiden ja kahdeksankulmioiden suhteen // Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. - 2005. - T. 6 , no. 1 .
Zhang Yun. Eulerin epätasa-arvo uudelleen // Matemaattinen spektri. - 2008. - Toukokuu ( osa 40 , nro 3 ). - S. 119-121 .
Mark Shattuck. Geometrinen epäyhtälö syklisille nelikulmioille // Forum Geometricorum. - 2018. - T. 18 . - S. 141-154 .
Paul Yiu. Euklidinen geometria . - 1998. - S. 158-164.
Juan Carlos Salazar. Fussin lause // Mathematical Gazette. - 2006. - heinäkuu ( osa 90 ). — S. 306–307 .
Byerly W.E. The In-and-Circumscribed Quadrilateral // The Annals of Mathematics. - 1909. - T. 10 . — S. 123–128 . - doi : 10.2307/1967103 .
Ovidiu Calin. Euklidinen ja ei-euklidinen geometria metrinen lähestymistapa . - 2. painos .. - Wiley Custom Publishing, 2010. - S. 153-158.
Albrecht Hess. Ympyrällä, joka sisältää tangentiaalisen nelikulmion keskipisteet // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 . — S. 389–396 .