Kirjattu ympyrä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Ympyrää kutsutaan kulmaan piirretyksi , jos se on kulman sisällä ja koskettaa sen sivuja. Kulmaan piirretyn ympyrän keskipiste on kulman puolittajalla .

Ympyrää kutsutaan sisäänkirjoitetuksi kuperaan monikulmioon , jos se on annetun monikulmion sisällä ja koskettaa sen kaikkia sivuja.

Monikulmiossa

Jos ympyrä voidaan kirjoittaa tiettyyn kuperaan monikulmioon, niin tietyn monikulmion kaikkien sisäkulmien puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on piirretyn ympyrän keskipiste.

Monikulmioon piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin sen pinta-alan suhde sen puoliperimetriin : $S$ $s$

r={\frac {S}{p}}

Kolmiossa

Kirjoitetun ympyrän ominaisuudet:

Jokaiseen kolmioon voidaan kirjoittaa ympyrä, ja vain yksi.
Piirretyn ympyrän keskipiste on yhtä kaukana kaikista sivuista ja on kolmion puolittajien leikkauspiste. $minä$
Kolmioon piirretyn ympyrän säde on: $r$

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))};

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

missä ovat kolmion sivut, ovat vastaavien sivujen korkeudet [1] ; $a,b,c$ $h_{a},h_{b},h_{c}$

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {{\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}}}

missä on kolmion pinta-ala ja sen puolikehä.

S

s

r={\frac {pa}{\operaattorinimi {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operaattorinimi {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operaattorinimi {ctg} (\gamma /2)}}

, on kolmion puolikehä ( Cotangent -lause ).

s

Jos on kanta tasakylkisen kolmion , Sitten ympyrä tangentti sivuilla kulman pisteissä ja kulkee keskellä kolmion piirretty ympyrä . $AB$ $\kolmio ABC$ $\kulma ACB$ $A$ $B$ $\kolmio ABC$
Eulerin lause : , jossa on kolmion ympärille piirretyn ympyrän säde, on siihen piirretyn ympyrän säde, on rajatun ympyrän keskipiste, on piirretyn ympyrän keskipiste . $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$ $R$ $r$ $O$ $minä$
Jos linja kulkee pisteen I rinnakkain puolella leikkaa sivut ja pisteissä ja , Sitten . $AB$ $eKr$ $CA$ $A_{1}$ $B_1$ $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$
Jos kolmioon piirretyn ympyrän ja sen sivujen kosketuspisteet on yhdistetty segmenteillä, saadaan kolmio, jolla on ominaisuudet: $T$ $T_{1}$
- T :n puolittajat ovat kohtisuorassa T 1 :n puolittajia
- Olkoon T 2 ortokolmio T 1 . Sitten sen sivut ovat yhdensuuntaiset alkuperäisen kolmion T sivujen kanssa.
- Olkoon T 3 T 1 : n keskimmäinen kolmio . Tällöin T:n puolittajat ovat T 3 :n korkeuksia .
- Olkoon T 4 arvon T 3 ortokolmio , jolloin T:n puolittajat ovat T 4 :n puolittajia .
Suorakulmaiseen kolmioon, jossa on jalat a , b ja hypotenuusa c , piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin . ${\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}$
Etäisyys kolmion kärjestä C pisteeseen, jossa piirretty ympyrä koskettaa sivua, on . $d={\frac {a+bc}{2}}=pc$
Etäisyys kärjestä C piirretyn ympyrän keskipisteeseen on , missä on piirretyn ympyrän säde ja γ on kärjen C kulma . $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2))))}$ $r$
Etäisyys kärjestä C piirretyn ympyrän keskipisteeseen voidaan selvittää myös käyttämällä kaavoja ja $l_{c}={\sqrt {(pc)^{2}+r^{2))}$ $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr))$
Kolmipistelause tai kolmiulotteinen lause : Jos D on kulman A puolittajan leikkauspiste kolmion ABC ympyrän kanssa , I ja J ovat sivun BC piirretyn ja ulkoisen tangentin keskipisteet , niin . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Verrierin lemma [2] [3] : anna ympyrän koskettaa kolmion sivuja , ja kaari rajatun ympyrän . Tällöin ympyrän tangenttipisteet, joissa on kolmion piirretyn ympyrän sivut ja keskipiste, ovat samalla suoralla. $V$ $AB$ $AC$ $eKr$ $ABC$ $V$ $ABC$

Feuerbachin lause . Yhdeksän pisteen ympyrä koskettaa kaikkia kolmea ulkorajaa sekä piirrettyä ympyrää . Eulerin ympyrän jaympyrän välistä kosketuspistettä kutsutaan Feuerbachin pisteeksi .

Piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden välinen suhde

Eulerin kaava : Jos - piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden keskusten välinen etäisyys ja niiden säteet ovat yhtä suuret ja vastaavasti, niin . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$
Säteiden suhteen ja tulon kaavat:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[neljä]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2} }=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

missä on kolmion puolikehä ja sen pinta-ala. $s$ $S$

Kolmion sivuille kohotetut kohtisuorat ulkopiirien kosketuspisteissä leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämä piste on symmetrinen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa suhteessa rajatun ympyrän keskipisteeseen [5] .

Kolmiolle voidaan rakentaa puolipiirretty ympyrä tai Varièren ympyrä. Se on ympyrä, joka tangentti kolmion kahta sivua ja sen sisäistä ympyrää. Janat, jotka yhdistävät kolmion kärjet ja vastaavat Verrierin ympyrän kosketuspisteet rajatun ympyrän kanssa, leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämä piste toimii homoteetin keskipisteenä, jonka positiivinen kerroin ottaa rajatun ympyrän piirrettyyn .
Piirretyn ympyrän keskipiste on janolla, joka yhdistää kolmion sivujen ja puolipiirretyn ympyrän kosketuspisteet.

Piirretyn ympyrän keskipisteen ja kolmion korkeuksien keskipisteiden välinen suhde

Rigbyn lause . Jos piirretään teräväkulmaisen kolmion jollekin sivulle korkeus ja sitä koskettava ulkokehä toisella puolella , niin jälkimmäisen kosketuspiste tämän sivun kanssa, mainitun korkeuden keskipiste ja myös keskipiste ovat yhdellä suora viiva. [6] .
Rigbyn lauseesta seuraa , että 3 segmenttiä, jotka yhdistävät kolmion kunkin kolmen korkeuden keskipisteen korkeuden kanssa samalle puolelle piirretyn ulkokehän kosketuspisteeseen, leikkaavat keskipisteessä .

Nelikulmassa

Kuvatun nelikulmion , jos sillä ei ole itseleikkauksia ("yksinkertainen"), on oltava kupera .
Joillakin (mutta ei kaikilla) nelikulmioilla on piirretty ympyrä. Niitä kutsutaan rajatuiksi nelikulmioiksi . Näiden nelikulmioiden ominaisuuksista tärkeintä on, että vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret. Tätä väitettä kutsutaan Pitot-lauseeksi .
Toisin sanoen ympyrä voidaan kirjoittaa kuperaan nelikulmioon ABCD, jos ja vain jos sen vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret: . $AB+CD=BC+AD$

Missä tahansa rajatussa nelikulmiossa diagonaalien kaksi keskipistettä ja piirretyn ympyrän keskipiste ovat samalla suoralla ( Newtonin lause ). Sen päällä on segmentin keskiosa, jonka päät ovat nelikulmion vastakkaisten sivujen jatkojen leikkauspisteissä (jos ne eivät ole yhdensuuntaisia). Tätä linjaa kutsutaan Newtonin viivaksi . Kuvassa se on vihreä, lävistäjät ovat punaisia, myös segmentti, jonka päät ovat nelikulmion vastakkaisten sivujen jatkojen leikkauspisteissä, on myös punainen.
Nelikulman ympärille rajatun ympyrän keskipiste on kolmion korkeuksien leikkauspiste diagonaalien ja vastakkaisten sivujen leikkauspisteiden kärkien kanssa ( Brocardin lause ).

Pallomaisessa kolmiossa

Pallomaisen kolmion piirretty ympyrä on ympyrä, joka tangentti sen kaikkia sivuja.

Pallomaiseen kolmioon piirretyn ympyrän säteen [7] tangentti on [8] :73-74

{\displaystyle \operaattorinnimi {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(pa)\sin(pb)\sin(pc)}{\sin p))))

Pallomaiseen kolmioon piirretty ympyrä kuuluu palloon. Pallon keskustasta piirretyn ympyrän keskipisteen kautta vedetty säde leikkaa pallon kulman puolittajien (pallon suurympyröiden kaaret, jotka jakavat kulmat puoliksi) leikkauspisteessä pallomaisen kolmion [8] :20-21 .

Yleistykset

Piirretty pallo on pallo, joka koskettaa monitahoisen kaikkia kasvoja .
Steiner-ellipsi on kolmioon piirretty ellipsi.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Altshiller-Court, 1925 , s. 79.
↑ Efremov D. Kolmion uusi geometria . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 s.
↑ Efremov D. Kolmion uusi geometria. Ed. 2. Sarja: Physical and Mathematical Heritage (painoksen uusintapainos). . - Moskova: Lenand, 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Kolmion säteen ja ympäryssäteen suhteesta", Mathematical Gazette 87, maaliskuu 2003, 119-120.
↑ Myakishev A. G. Kolmion geometrian elementit. Sarja: "Kirjasto" Matemaattinen koulutus ". M.: MTsNMO, 2002. s. 11, kohta 5
↑ Ross Honsberger . Jaksot yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa . Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 . s. 30, kuva 34, §3. Epätodennäköinen kollineaarisuus.
↑ Tässä mitataan ympyrän säde palloa pitkin, eli se on pallon säteen leikkauspisteen yhdistävän suurympyrän kaaren astemitta, joka on vedetty pallon keskipisteestä pallon keskustan läpi. ympyrä, jossa on pallo ja ympyrän kosketuspiste kolmion sivun kanssa.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Pallotrigonometria. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.

Kirjallisuus

Valinnainen matematiikan kurssi. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaja. - M . : Koulutus , 1991. - S. 89. - 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0 .
Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. painos), New York: Barnes & Noble