Täysin irrotettu tila

Topologiassa ja siihen liittyvissä matematiikan aloissa täysin irrallinen avaruus ( perinnöllisesti irrotettu , hajallaan ) on topologinen avaruus , jolla ei ole ei-triviaaleja yhdistettyjä osajoukkoja. Missä tahansa topologisessa avaruudessa tyhjä joukko ja yksipistejoukot yhdistetään. Täysin irrotetussa tilassa nämä ovat ainoat yhdistetyt osajoukot.

Tärkeä esimerkki täysin irrotetusta tilasta on Cantor-sarja . Toinen esimerkki, jolla on keskeinen rooli algebrallisessa lukuteoriassa , on p -adic- lukukenttä . ${\mathbb {Q}}_{p}$

Määritelmä

Topologisen avaruuden X sanotaan olevan täysin irti , jos vain yhden pisteen joukot ovat yhteydessä X :n komponentteihin.

Esimerkkejä

Diskreetti tila
Joukko rationaalisia lukuja
Monet irrationaaliset luvut
P -adic-lukujen joukko .
- Yleisemmin profiniittiryhmät ovat täysin erillisiä
Kantorin setti
Baer-avaruus (joukkoteoria)
Suora Sorgenfrey
Nollaulotteinen Hausdorffin avaruus
Nollaulotteinen T 1 -avaruus
Erittäin irrallinen Hausdorffin tila
Kiviavaruus
Knaster-Kuratowskin tuuletin on esimerkki yhdistetystä tilasta, joka katkeaa kokonaan, kun vain yksi piste poistetaan.

Ominaisuudet

Täysin irrotettujen tilojen alitilat , tuotteet ja sivutuotteet ovat täysin irrotettuja.
Täysin irrotetut tilat ovat T 1 - välilyöntejä , jos pisteet ovat suljettuja .
Jatkuvassa kartoituksessa täysin irrallisen tilan kuva ei yleisesti ottaen välttämättä ole täysin irti.
Paikallisesti kompakti Hausdorff-avaruus on nollaulotteinen, jos ja vain jos se on täysin irti.
Mikä tahansa täysin erillinen kompakti metriavaruus on homeomorfinen diskreettien avaruuksien laskettavan tulon osajoukolle .

Irrotetun tilan rakentaminen

Antaa olla mielivaltainen topologinen avaruus. Olkoon jos ja vain jos (jossa tarkoittaa suurinta yhdistettyä osajoukkoa, joka sisältää ). Ilmeisesti relaatio on ekvivalenssirelaatio , joten vastaava osamääräavaruus voidaan rakentaa Topologia on on luonnollisesti indusoitunut topologiasta on , eli avoimet osajoukot ovat juuri niitä ekvivalenssiluokkien joukkoja, joiden käänteiskuva tekijäkartoituksen alla on avoin in Pienellä vaivalla voidaan näyttää, mikä on melko epäjohdonmukaista. Meillä on myös seuraava universaali ominaisuus : jos on jatkuva kartoitus täysin irralliseen tilaan, niin se on yksilöllisesti esitettävissä muodossa, jossa kartoitus on jatkuva ja se on tekijöiden kartoitus. $X$ $x\sim y$ $y\in {\mathrm {conn}}(x)$ ${\mathrm {conn}}(x)$ $x$ $\sim$ $X/{\sim }.$ $X/{\sim }$ $x,$ $X/{\sim }$ $x.$ $X/{\sim }$ $f:X\rightarrow Y$ $f={\breve {f}}\circ m,$ ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ $m$

Katso myös

Linkit

Täysin irrallinen avaruus - Encyclopedia of Mathematics , ISBN 1402006098 .