Harmoninen toiminto

Harmoninen funktio on reaalifunktio , joka on määritelty ja kahdesti jatkuvasti differentioituva euklidisessa avaruudessa (tai sen avoimessa osajoukossa), joka täyttää Laplacen yhtälön : $U$ $D$

\DeltaU=0,\

missä on Laplace-operaattori , eli toisten derivaattojen summa suhteessa kaikkiin suorakulmaisiin suorakulmaisiin koordinaatteihin x i ( n = dim D on avaruuden ulottuvuus ). $\Delta =\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$

Esimerkiksi harmoninen funktio on sähköstaattinen potentiaali pisteissä, joissa ei ole varausta .

Ominaisuudet

Maksimiperiaate

Funktio U, joka on harmoninen alueella , saavuttaa maksiminsa ja miniminsä vain rajalla . Siten harmonisella funktiolla ei voi olla paikallista ääripäätä sisäpisteessä , paitsi funktion vakion triviaalitapauksessa. Funktio voi kuitenkin olla määrittelemätön rajalla, joten se on oikeampaa sanoa $D$ $\osittainen D$ $D$ $\forall m\in D\inf _{{Q\in D}}U(Q)<U(m)<\sup _{{Q\in D}}U(Q)$

Liouvillen lause

Yli- tai alapuolella määritelty harmoninen funktio on vakio . $\mathbb {R} ^{n}$

Keskimääräinen ominaisuus

Jos funktio on harmoninen jossain pisteessä keskitetyssä pallossa , sen arvo pisteessä on yhtä suuri kuin sen keskiarvo tämän pallon rajalla tai pallon yli: $u$ $B(x_{0})$ $x_{0}$ $x_{0}$

u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\partial B)))\int \limits _({\partial B))udS={\frac {1}{\mu (B) }}\int \limits _{{B}}udV

missä on pallon tilavuus ja sen rajan pinta-ala. $\mu (B)$ $B(x_{0})$ $\mu (\osittainen B)$

Sitä vastoin mikä tahansa jatkuva funktio, jolla on keskiarvo kaikille tietyllä alueella sijaitseville palloille, on harmoninen tällä alueella.

Erilaistuvuus

Toimialueessa harmoninen funktio on siinä äärettömästi differentioituva .

Harnackin epätasa-arvo

Jos funktio , joka on harmoninen k-ulotteisessa pallossa , jonka säde on jossain kohdassa keskitetty , ei ole negatiivinen tässä pallossa, seuraavat epäyhtälöt pätevät sen arvoille tarkasteltavan pallon sisällä olevissa kohdissa: , jossa [1 ] . $U(M)=U(x_{1},...x_{k})$ $Q_{r}$ $R$ $M_{0}$ $M$ ${{R^{{k-2}}}{{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}}U(M_{0})}\leq {U(M) )}\leq {R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1}}}}U(M_{0})}$ $r=\rho (M_{0},M)<R$

Harnackin lause

Antaa olla positiivisia harmonisia toimintoja jossain verkkotunnuksessa . Jos sarja suppenee ainakin yhdessä pisteessä alueella , niin se suppenee tasaisesti sisällä . $v_{n}(z)$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$ $D$

Harmoniset funktiot kompleksitasolla

Kompleksisella tasolla harmoniset funktiot liittyvät läheisesti holomorfisiin funktioihin . Erityisesti seuraava väite pätee: mielivaltaiselle verkkotunnukselle , jos tämä on holomorfinen funktio , niin se on harmoninen funktio yli . $h:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ $D$ $\mathbb {C}$ $f$ $D$ $h=\operaattorinimi {Re} (f)$ $D$

Myös päinvastainen väite pätee. Jos on harmoninen funktio yksinkertaisesti yhdistetyn verkkotunnuksen yli , niin yksilölliselle, jopa vakiolle, holomorfiselle funktion yli . $h$ $D$ $h=\operaattorinimi {Re} (f)$ $D$ $f$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ A.F. Timan, V.N. Trofimov Johdatus harmonisten funktioiden teoriaan. Moskova: Nauka, 1968

Kirjallisuus

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. - M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1991. - 448 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Monimutkaisen muuttujan funktioteorian menetelmät. - M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1973. - 749 s.
Privalov II Johdatus kompleksisen muuttujan funktioiden teoriaan. - M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1984. - 432 s.
Sidorov Yu. V. , Fedoryuk M. V. , Shabunin M. I. Luennot kompleksisen muuttujan funktioiden teoriasta. - M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1989. - 480 s.
Titchmarsh E. Toimintojen teoria. - M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1980. - 463 s.
Fuchs B. A. , Shabat B. V. Kompleksisen muuttujan funktiot ja jotkin niiden sovellukset. - M.: Nauka, 1964. - 388 s.
Hayman W. , Kennedy P. Subharmoniset toiminnot. - M.: Mir, 1980. - 304 s.
Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. 2 osassa. - M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1976. - 720 s.