Harmoniset värähtelyt

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4.4.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Harmoniset värähtelyt ovat värähtelyjä , joissa fysikaalinen suure muuttuu ajan kuluessa harmonisen ( sinimuotoisen , kosini) lain mukaan.

Matemaattinen kuvaus

Harmonisen värähtelyn yhtälöllä on muoto

x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0})

tai

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})

missä

x - värähtelyarvon poikkeama nykyisellä hetkellä t jakson keskiarvosta (esimerkiksi kinematiikassa - siirtymä, värähtelypisteen poikkeama tasapainoasennosta);
A on värähtelyamplitudi, ts. vaihtelevan arvon maksimipoikkeama jakson keskiarvosta, ulottuvuus A on sama kuin mitta x ;
ω ( radiaania / s , astetta / s) - syklinen taajuus, joka näyttää kuinka monta radiaania (astetta) värähtelyvaihe muuttuu 1 sekunnissa;
$(\omega t+\varphi _{0})=\varphi$ (radiaani, aste) - värähtelyn täysi vaihe (lyhennetty vaiheeksi, ei pidä sekoittaa alkuvaiheeseen);
$\varphi_{0}$ (radiaani, aste) on värähtelyn alkuvaihe, joka määrittää värähtelyn kokonaisvaiheen arvon (ja itse arvon x ) hetkellä t = 0.

Harmonisia värähtelyjä kuvaavalla differentiaaliyhtälöllä on muoto

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0.

Mikä tahansa tämän differentiaaliyhtälön ei-triviaali [1] ratkaisu on harmoninen värähtely syklisellä taajuudella $\omega.$

Esimerkkejä

Kun piste liikkuu tasaisesti ympyrää pitkin, harmoninen värähtely tekee tämän pisteen projektion (ortogonaalin) mille tahansa samassa tasossa olevalle suoralle [2] . Värähtelyt, jotka ovat lähellä harmonisia, syntyvät painovoiman vaikutuksesta pienellä painolla, joka on ripustettu ohuelle pitkälle langalle - matemaattiseen heiluriin - pienillä amplitudeilla [3] . Harmoniset värähtelyt elastisen voiman vaikutuksesta saadaan aikaan painolla, joka on kiinnitetty kahden jousen väliin vaakasuoraan ohjaimeen [4] . Harmoniset ovat pystysuoraan ripustetun painon vääntövärähtelyjä , jotka pyörivät ylös elastisen voiman vaikutuksesta, samat värähtelyt suorittaa mekaanisen kellon tasapainotanko [5] .

Yleensä aineellinen piste suorittaa harmonisia värähtelyjä, jos ne syntyvät värähtelypisteen tasapainoasennosta siirtymiseen verrannollisen ja tätä siirtymää vastakkaiseen suuntaan kohdistuvan voiman iskun seurauksena.

Esimerkkejä harmonisista värähtelyistä ei ole vain mekaniikassa - esimerkiksi LC-piirissä ilman dissipatiivisia häviöitä kapasitanssin , jännitteen ja virran varaukset piirissä tapahtuvat ajan myötä harmonisen lain mukaan.

Värähtelytyypit

Vapaat värähtelyt tapahtuvat järjestelmän sisäisten voimien vaikutuksesta sen jälkeen kun järjestelmä on poistettu tasapainosta. Jotta vapaat värähtelyt olisivat harmonisia, on välttämätöntä, että värähtelyjärjestelmä on lineaarinen (kuvataan lineaarisilla liikeyhtälöillä), eikä siinä ole energiahäviötä (ei-nollahäviössä järjestelmässä esiintyy virityksen jälkeen vaimennettuja värähtelyjä ).
Pakotetut värähtelyt suoritetaan ulkoisen jaksollisen voiman vaikutuksesta. Jotta pakotetut värähtelyt olisivat harmonisia, riittää, että värähtelyjärjestelmä on lineaarinen (kuvataan lineaarisilla liikeyhtälöillä) ja ulkoinen voima (isku) muuttuu ajan myötä harmonisena värähtelynä (eli että tämän voiman aikariippuvuus , vuorostaan olla sinimuotoinen ).

Sovellus

Harmoniset värähtelyt erottuvat kaikista muista värähtelytyypeistä seuraavista syistä:

Hyvin usein [6] pieniä värähtelyjä, sekä vapaita että pakotettuja , joita esiintyy todellisissa järjestelmissä, voidaan pitää harmonisen värähtelyn muodossa tai hyvin lähellä sitä.
Kuten Fourier perusti vuonna 1822 , laaja jaksollisten funktioiden luokka voidaan laajentaa trigonometristen komponenttien summaksi - Fourier-sarjassa . Toisin sanoen mikä tahansa jaksollinen värähtely voidaan esittää harmonisten värähtelyjen summana vastaavilla amplitudeilla, taajuuksilla ja alkuvaiheilla. Tämän summan termien joukossa on alimmalla taajuudella oleva harmoninen värähtely, jota kutsutaan perustaajuudeksi, ja tämä värähtely itsessään on ensimmäinen harmoninen tai perusääni, kun taas kaikkien muiden termien, harmonisten värähtelyjen, taajuudet ovat moninkertaisia perustaajuuden, ja näitä värähtelyjä kutsutaan korkeammiksi harmonisiksi tai yliaaltoiksi - ensimmäiseksi, toiseksi jne. [7]
Laajan järjestelmien luokassa vaste harmoniseen vaikutukseen on harmoninen värähtely (lineaarisuusominaisuus), kun taas vaikutuksen ja vasteen välinen suhde on järjestelmän vakaa ominaisuus. Edellinen ominaisuus huomioon ottaen tämä mahdollistaa mielivaltaisen muotoisten värähtelyjen kulkua järjestelmien läpi.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Eli ei ole sama kuin nolla.
↑ Landsberg, 2003 , s. 17.
↑ Landsberg, 2003 , s. 2.25.
↑ Landsberg, 2003 , s. 27-29.
↑ Landsberg, 2003 , s. 29-30.
↑ Tässä oletettu ehto on, että järjestelmän ominaisuuksien on oltava ajallisesti vakioita (mikä todellisuudessa on melko usein totta, ainakin suunnilleen).
↑ Landsberg, 2003 , s. 43.

Kirjallisuus

Fysiikan perusoppikirja / Toim. G.S. Landsberg . - 13. painos - M. : FIZMATLIT , 2003. - T. 3. Värähtelyt ja aallot. Optiikka. Atomi- ja ydinfysiikka.
Khaikin S. E. Mekaniikan fyysiset perusteet. - M. , 1963.
A. M. Afonin. Mekaniikan fyysiset perusteet. - Toim. MSTU im. Bauman, 2006.
Gorelik G.S. Värähtelyt ja aallot. Johdatus akustiikkaan, radiofysiikkaan ja optiikkaan. - M .: Fizmatlit, 1959. - 572 s.