Geometrinen algebra

Geometrinen algebra on algebran historiallinen rakennelma, joka on esitetty Eukleideen " Prinsiippien " toisessa kirjassa (3. vuosisadalla eKr.), jossa operaatiot määriteltiin suoraan geometrisille suureille ja lauseet todistettiin geometrisilla rakenteilla. Toisin sanoen muinaisten matemaatikoiden algebra ei vain kasvanut geometrian ongelmista, vaan se rakennettiin kokonaan geometriselle pohjalle [1] .

Esimerkiksi numeeristen arvojen tulo määritettiin [2] suorakulmioksi , jonka sivut ja .

Esimerkkejä

Pythagoraan lauseen väite voidaan tulkita algebrallisena yhtälönä tai jaloille rakennettujen neliöiden ja hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-alojen yhtäläiseksi . Toinen tapa on esimerkki geometrisesta algebran lähestymistavasta.

Muinaiset matemaatikot edustivat jakautumislakia suorakulmion pinta-alan tasa-arvona kahden suorakulmion pinta-alojen summana, joka saatiin leikkaamalla alkuperäinen yhden sivun suuntaisesti (katso kuva) .

Historia

IV vuosisadalla eKr. e. Pythagoralaiset havaitsivat, että neliön lävistäjä on epäsuhtainen sen sivun kanssa, eli niiden suhdetta ( ) ei voida ilmaista luonnollisena lukuna tai murtolukuna . Muinaiset matemaatikot eivät kuitenkaan tunnistaneet muita numeerisia kohteita, paitsi luonnollisia lukuja, he eivät pitäneet murto-osaa lukuna, vaan suhdelukuna ( osuus ) [3] .

Hän onnistui löytämään tien ulos 4. vuosisadalla eKr. e. Eudoxus of Cnidus - hän esitteli numeroiden ohella geometristen suureiden (pituudet, pinta-alat, tilavuudet) käsitteen. Homogeenisille suureille määriteltiin numeeristen operaatioiden kaltaisia ​​aritmeettisia operaatioita . Eudoxuksen teoriaa esitti Eukleides Principian viidennessä kirjassa , ja sitä käytettiin Euroopassa 1600-luvulle asti. Euklides joutui todistamaan uudelleen lukulauseet suureille erikseen, ja suureiden aritmetiikka oli paljon huonompi kuin numeerinen aritmetiikka, jo pelkästään siksi, että se koski vain homogeenisia suureita [4] [5] .

Kritiikki

Nykyaikana kävi selväksi, että numeerisen algebran rakentaminen geometrian perusteella oli virhe. Esimerkiksi geometrian näkökulmasta lausekkeilla ja ei ollut edes geometristä tulkintaa ( tulosarvon fyysistä ulottuvuutta ei määritelty) ja siksi niillä ei ollut järkeä; sama koskee negatiivisia lukuja [6] .

Alkaen Descartesin geometriasta (1637), eurooppalaiset matemaatikot valitsivat toisen polun - he loivat analyyttisen geometrian , joka sen sijaan, että pelkistäisi algebran geometriaksi, pelkistäisi geometrian algebraksi, ja tämä polku osoittautui paljon hedelmällisemmäksi. Tämän mahdollistamiseksi Descartes laajensi luvun käsitettä - se absorboi kaikki reaaliluvut , mukaan lukien irrationaalit , ja on abstrakti , eli erotettu geometriasta [7] . Erillinen geometrisen suuren käsite tulee silloin tarpeettomaksi. Geometrian algebraointi mahdollisti myös geometristen tehtävien yhteisten piirteiden löytämisen, jotka näyttivät olevan täysin riippumattomia [8] .

Jotkut historioitsijat ovat kyseenalaistaneet geometrisen algebran olemassaolon. Esimerkiksi Shabtai Unguru uskoi, että koska matematiikan historiaa eivät kirjoittaneet historioitsijat, vaan matemaatikot, he lähtivät rekonstruktioissaan siitä tosiasiasta, että matematiikka on oleellisesti muuttumatonta, ja siksi he käyttivät historiaa esittäessään vapaasti modernin matematiikan ideoita ja termejä.

Muistiinpanot

  1. ↑ Nikiforovski, Freiman, 1976 , s. 5.
  2. ↑ Zeiten, 1932 , s. 42-43.
  3. ↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 72-74.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Arvo // Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977. - T. 1.
  5. ↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Luennot matematiikan historiasta antiikin Kreikassa // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nro 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka, 1938 , s. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF René Descartesin tieteellinen työ. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .

Kirjallisuus