Zaremban hypoteesi

Zaremban olettamus on lukuteorian väite redusoitumattomien murtolukujen esittämisestä jatkuvilla murtoluvuilla : on olemassa absoluuttinen vakio , jolla on seuraava ominaisuus: mikä tahansa on olemassa sellainen, että laajennusta varten [1] : $\lambda$ $q\geqslant 2$ $a<q$ $(a, q) = 1$

{\displaystyle {\frac {a}{q}}=[a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]={\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac { 1}{a_{2}+{\frac {1}{\pisteet +{\frac {1}{a_{s)))))))))))))))

seuraavat epätasa-arvot pätevät:

a_{i}\leqslant \Lambda ,\ i=1,\dots ,s

Vahvin muotoilu sisältää arvon mielivaltaiselle ja arvon riittävälle suurelle . [2] . $\Lambda =5$ $q$ $\Lambda =3$ $q$

Hypoteesin esitti Stanisław Zaremba Jr. ( puol . Stanisław Krystyn Zaremba ) vuonna 1972. Hänen tutkimuksensa tärkein läpimurto tulee Burgainin ja Kontorovichin ( saksa: Alex Kontorovich ) vuodelta 2014 julkaistusta artikkelista, jossa arvelun heikko versio on todistettu lähes kaikille numeroille. Myöhemmin heidän tulokset ovat parantuneet monta kertaa.

Motivaatio

Historiallisesti arvelu syntyi optimaalisen numeerisen integroinnin menetelmän etsimisen yhteydessä Monte Carlon menetelmän hengessä . Zaremba arvioi epätäydellisten osamäärän rajoituksen avulla hilan ominaisuuden , joka kuvaa sen pisteiden minimietäisyyttä koordinaattien keskipisteestä [3] . Myös monet neuvostomatemaatikot pohtivat tätä olettamusta numeerisen integraation yhteydessä, mutta sitä ei esitetty missään painetussa muodossa [4] .

Itse ongelman ilmaisu liittyy diofantiiniapproksimaatioihin . Mielivaltaisen reaaliluvun lähentämiseksi murtoluvulla kanoninen laadun mitta on luku , jolle (mitä suurempi , sitä parempi likiarvo). Tiedetään, että rationaalit ovat parhaiten approksimoituja niiden konvergenttien avulla, joille estimaatti tunnetaan . Koska , silloin kun on ehdoton estimaatti, edellinen arvio ei voi olla parempi kuin . Samanlainen (vakioarvoon asti) estimaatti on myös helppo saada alhaalta, joten Zaremban olettamus on juuri väite redusoitumattomien huonosti approksimoitavien murtolukujen olemassaolosta millä tahansa nimittäjällä. [5] $\alpha$ ${\frac {p}{q))$ $c$ ${\displaystyle {\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p}{q))}{\Bigg \vert }={\frac {1}{cq^{2))))$ $c$ $\alpha$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{q_{n}q_ {n+1}}}$ ${\displaystyle q_{n+1}<(a_{n}+1)q_{n))$ $a_{n}\leqslant \Lambda$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{(\Lambda +1 )q_{n}^{2}}}$

Yleistykset

"Aakkoset" epätäydellisistä osamääräistä

Usein pohditaan yleisempää kysymystä [6] : kuinka ominaisuudet (nimittäjien joukot , joille on olemassa redusoitumattomia murtolukuja ehdolla kaikille ) riippuvat aakkosesta (erällinen luonnollisten lukujen joukko)? Erityisesti, kenelle sarja sisältää lähes kaikki tai kaikki riittävän suuret ? ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ $a_{i}\in {\mathcal {A}}$ $i=1,\dots ,s$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$

Hensleyn arvelu

Hensley pohti vuonna 1996 epätäydellisten osamäärien rajoitusten yhteyttä vastaavien murtolukujen Hausdorffin ulottuvuuteen ja esitti hypoteesin, joka myöhemmin kumottiin [7] :

Joukko sisältää kaikki riittävän suuret luvut silloin ja vain jos ( on joukko murtolukuja väliltä , jonka kaikki osaosamäärät ovat aakkosissa , on Hausdorffin ulottuvuus. ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>{\frac {1}{2}}$ ${\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}$ $(0;1)$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}$

Vastaesimerkki [8] on rakennettu aakkoselle : tiedetään, että , mutta samalla . ${\mathcal {A}}=\{2,4,6,8,10\}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})\noin 0{,}517$ $4k+3\not \in {\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$

Bourgain ja Kontorovich ehdottivat heikompaa muotoa tälle olettamukselle, joka sisältää nimittäjiä lisärajoituksin. Samalla he osoittivat sen tiheysversion vahvemmalle rajoitukselle kuin [9] . $d$ ${\frac {1}{2))$

Hausdorffin ulottuvuuden laskenta

Kysymystä Hausdorff-ulottuvuuden laskemisesta muotoisille aakkostoille pohdittiin diofantinisten approksimaatioiden teoriassa kauan ennen Zaremban arvelua, ja se on ilmeisesti peräisin vuoden 1928 työstä [10] . Artikkelissa, jossa arvelu ehdotettiin, Hensley kuvasi yleisen algoritmin polynomisella ajoajalla, joka perustuu seuraavaan tulokseen [11] : tietylle aakkoselle arvo voidaan laskea tarkasti vain muutamalla operaatiolla. ${\mathcal {A}}=\{1,\dots ,N\}$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$ $2^{{-N}}$ $O(N^{7})$

Oletuksena on, että tällaisten mittojen arvojoukko on kaikkialla tiheä. Tietokonelaskelmista tiedetään, että sen vierekkäisten elementtien välinen etäisyys ei ole ainakaan pienempi [12] . $\{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}):|{\mathcal {A}}|\leqslant \infty \}$ ${\frac {1}{50}}$

Peräkkäisten numeroiden aakkosille Hensley sai arvion:

\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots ,N\}})=1-{\frac {6}{\pi ^{2}N}} -{\frac {72\log N}{\pi ^{4}N^{2}}}+O\left({\frac {1}{N^{2}}}\oikea)

Erityisesti on todettu, että:

\lim \limits _{N\to \infty }{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots ,N\}})}=1

Tätä tosiasiaa käytettiin olennaisesti Bourgainin ja Kontorovichin keskeisen tuloksen todistuksessa [13] .

Kampanjat

Heikko tarkat tulokset

Niederreiter osoitti oletuksen potenssien kaksi ja potenssien kolmen osalta ja potenssien viisi osalta [14] . $\Lambda =3$ $\Lambda =4$

Rukavishnikova, kehittäessään yksinkertaisen Korobovin tuloksen, osoitti olemassaolon mille tahansa murtoluvulle ehdolla , jossa on Euler-funktio [15] . $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ $a_{i}<\varphi (q)\log q,\ i=1,\dots ,s$ $\varphi (q)$

Tiheystulokset

Vahvin ja yleisin on Bourgainin ja Kontorovichin tulos:

|{\mathcal {D}}_{\{1,\dots ,50\}}\cap [1;N]|=Ei(N)

eli että Zaremban oletus parametrin kanssa on totta lähes kaikille luvuille. Heidän tuloksensa ei koskenut vain tätä aakkosta, vaan myös mitä tahansa muuta ehdolla [16] . Myöhemmin niiden tulosta parannettiin ja lopputermillä , jossa on vakio [17] . $\Lambda =50$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0{,}98397$ $\Lambda =5$ ${\displaystyle N^{-c))$ $c>0$

Heikommille rajoituksille samalla menetelmällä voidaan osoittaa, että joukolla on positiivinen tiheys. Erityisesti lisäparannuksista tiedetään, että tämä on totta, kun , mukaan lukien [18] . ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0,25({\sqrt {17}}-1)\noin 0,7807...$ ${\mathcal {A}}=\{1,2,3,4\}$

Rajoja Hausdorffin ulottuvuudella

Hensley osoitti, että jos , niin . Myöhemmin Bourgain ja Kontorovich paransivat tätä epätasa-arvoa arvoon . [19] Yksittäisille arvoalueille saatiin myöhemmin vahvempia arvioita . Erityisesti tiedetään, että ja että kohdassa , eksponentti pyrkii yksikköön [20] . $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})=\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}\cap [1;N]|\gg N^{\delta }$ $\delta +{\frac {(2\delta -1)(1-\delta )}{5-\delta }}-o(1)$ $\delta$ $\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\{1,2,3,5\}}\cap [1;N]|\gg N^{0.99}$ $\delta \to {\frac {{\sqrt {40}}-4}{3}}\noin 0,7748...$

Murtolukujen kokonaismäärä yhdessä tai toisessa aakkostossa, joiden nimittäjä on enintään , vakioon asti, on [21] . $N$ ${\displaystyle N^{2\delta ))$

Modulaarinen versio

Hensley havaitsi, että Zaremba-hypoteesin täyttävien murtolukujen nimittäjät ovat jakautuneet tasaisesti (ottaen huomioon moninkertaisuuden) modulo . [22] Tämä tarkoittaa erityisesti tällaisten murto-osien olemassaoloa, joiden nimittäjä on nolla (ja mikä tahansa muu arvo) modulo yhteen tai toiseen.

Hensleyn (1994) tuloksen seuraus: millä tahansa on olemassa funktio , joka on sellainen, että mille tahansa :lle on olemassa redusoitumaton murtoluku , jonka epätäydelliset osamäärät ovat rajana . $\Lambda \geq 2$ $q=q_{\Lambda }(n)\equiv 0{\pmod {n))$ $n$ ${\frac {a}{q))$ $\lambda$

Tässä tapauksessa tämä väite vastaisi Zaremban olettamusta. Myöhemmin alkulukujen osalta saatiin arviot kasvunopeudesta ääritapauksissa: $q_{\Lambda }(n)=n$ $n$ $q_{\Lambda }(n)$

joillekin vakioille on totta, että [23] ; $c$ $q_{2}(n)=O(n^{c})$

jokaiselle on olemassa riittävän suuri sellainen, että [24] . $\varepsilon >0$ $\lambda$ $q_{\Lambda }(n)=O(n^{1+\varepsilon })$

Tutkimusmenetelmät

Nykyaikaiset menetelmät, jotka juontavat juurensa Bourgainin ja Kontorovichin kirjoitukseen, tarkastelevat Zaremba-oletusta 2x2- matriisien kielellä ja tutkivat matriisiryhmien vastaavia ominaisuuksia . Konvergenttien suhteesta johtuen laajennus voidaan kirjoittaa matriisien tulona: ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$

{\begin{pmatrix}*&a\\*&q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\ 1&a_{2}\end{pmatrix}}\dots {\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{s}\end{pmatrix}}\

jossa ensimmäisen matriisin tähdet sulkevat numerot, joiden arvo ei ole olennainen.

Tämän ohjaamana tutkimme muodon matriisien muodostamaa ryhmää :

{\begin{pmatrix}0&1\\1&a\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}0&1\\1&a'\end{pmatrix)),\ a,a'\in {\mathcal {A} }

matriisien läsnäolosta siinä, että yksi tai toinen arvo on oikeassa alakulmassa. Tällaisten arvojen jakautumisen analysoimiseksi käytetään trigonometrisiä summia , nimittäin Fourier-kertoimien erikoisanalogeja [25] .

Tällaisten työkalujen käyttö sekä varsinainen työ tulojoukkojen kanssa ( jossa joukon elementit ovat matriiseja) antavat ongelmalle aritmeettis-kombinatorisen luonteen.

Muistiinpanot

↑ Jatkuvien murtolukujen yleisen teorian mukaan tällainen laajennus on ainutlaatuinen.
↑ Borosh, Niederreiter, 1983 , s. 69
↑ Niederreiter, 1978 , s. 988-989, katso myös "hyvien hilapisteiden" käsitteen kuvaus sivulla s. 986
↑ Kan, Frolenkov, 2014 , s. 88
↑ Korobov, 1963 , s. 25, lemma 5
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , jakso 1
↑ Hensley, 1996 , s. 16, hypoteesi 3
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , katso olettamus 1.3 ja sen jälkeinen kommentti
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , Oletus 1.7, Lause 1.8
↑ Katso toinen kappale julkaisussa Good, 1941
↑ Hensley, 1996 , s. 44, lause 3
↑ Jenkinson, 2004 , katso osa 4 yleiskuvaa laskennallisista tuloksista ja osa 5 arvojen tiheysjakaumasta. $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , huomautus 1.11
↑ Niederreiter, 1986 .
↑ Moshchevitin, 2012 , s. 23, kohta 5.1
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , huomautus 1.20
↑ Magee, Oi, talvi, 2019 , s. 92.
↑ Kahn, 2017 .
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , huomautus 1.15, lause 1.23
↑ Kahn, 2020 , katso ibid, jos haluat yleiskatsauksen muiden arvojen tuloksista $\delta$
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , huomautus 1.13
↑ Hensley, 1994 , s. 54, seuraus 3.
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 , lause 2
↑ Shkredov, 2020 , lause 5
↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 , s. 142-144

Kirjallisuus

I.J. Hyvä. Jatkuvien murto-osien murtoulotteinen teoria // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1941. - Voi. 37 , iss. 3 . — s. 199–228 .
N. M. Korobov. Lukuteoreettiset menetelmät likimääräisessä analyysissä. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 224 s.
H. Niederreiter. Quasi-Monte Carlo -menetelmät ja näennäissatunnaiset luvut (englanniksi) // Bull. amer. Matematiikka. Soc.. - 1978. - Voi. 84 , iss. 6 . — s. 957–1041 .
I. Borosh & H. Niederreiter. Optimaaliset kertoimet pseudosatunnaislukujen generointiin lineaarisella kongruenssimenetelmällä // BIT Numerical Mathematics. - 1983. - Voi. 23 . — s. 65–74 .
H. Niederreiter. Dyadiset murtoluvut pienillä osittaisosamäärällä // Monatshefte für Mathematik. - 1986. - Voi. 101 . — s. 309–315 .
D. Hensley. Murtolukujen jakautumismodi , joissa on rajoitettu osaosamäärä $n$ // Pacific Journal of Mathematics. - 1994. - Voi. 166 , iss. 1 . — s. 43–54 .
D. Hensley. Polynomiaikaalgoritmi jatkuvien murtokanttorijoukkojen Hausdorffin ulottuvuudelle // Journal of Number Theory. - 1996. - Voi. 58 , iss. 1 . - s. 9-45 .
Oi Jenkinson. Rajoitetun tyyppisten murtolukujoukkojen Hausdorffin mittojen tiheydestä: Texan-oletus // Stochastics and Dynamics. - 2004. - Voi. 4 , iss. 1 . — s. 63–76 .
NG Moshchevitin. Joistakin avoimista ongelmista diofantinisessa approksimaatiossa . - 2012. - arXiv : 1202.4539v5 .
J. Bourgain, A. Kontorovich. Zaremba's conjecture // Annals of Mathematics. - 2014. - Vol. 180 . - s. 137-196 . - arXiv : 1107.3776v2 .
I. D. Kan, D. A. Frolenkov. Burgain-Kontorovich-lauseen vahvistaminen // Izvestija RAN. - 2014. - T. 78 , no. 2 . — s. 87–144 . (Venäjän kieli)
I.D. Kan. Bourgain–Kontorovichin lauseen vahvistuminen. V // Steklovin matemaattisen instituutin julkaisut. - 2017. - T. 296 . — s. 133–139 . (Venäjän kieli)
M. Magee, H. Oh, D. Winter. Schottky-puoliryhmien yhtenäinen kongruenssilaskenta $SL_{2}({\mathbb {Z} })$ // Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) . - 2019. - Vol. 2019 , iss. 753 . — s. 89–135 . - arXiv : 1601.03705 .
NG Moshchevitin, ID Shkredov. Zaremban arvelun modulaarisessa muodossa . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .
I.D. Kan. Yhden Bourgain-Kontorovichin lauseen vahvistaminen // Far Eastern Mathematical Journal. - 2020. - Osa 20 , no. 2 . — S. 164–190 . (Venäjän kieli)
ID Shkredov. Kasvu Chevalley-ryhmissä suhteessa parabolisiin alaryhmiin ja joihinkin sovelluksiin . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .