Hila (geometria)

Hila on joukko euklidisia avaruusvektoreita , jotka muodostavat yhteenlaskemalla erillisen ryhmän . $\mathbb {R} ^{n}$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Lineaarisesti riippumatonta vektorijärjestelmää, joka muodostaa hilan, kutsutaan sen kantaksi . Kaksi vektorijoukkoa generoivat saman dimensioisen hilan, jos ja vain jos matriisit ja , jotka koostuvat näiden joukkojen vektorien koordinaattien sarakevektoreista, on yhdistetty oikealla kertomalla unimodulaarisella matriisilla : , . Siksi on mahdollista liittää -ulotteisessa avaruudessa maksimitason hilat koseteihin [1] . $n$ $B_1$ $B_{2}$ $B_{1}=B_{2}U$ $U\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $n$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Hilan determinantti on matriisin determinantti, joka koostuu sen muodostavien vektoreiden koordinaateista. Se on yhtä suuri kuin sen perusalueen tilavuus , joka on suuntaissärmiö , ja sitä kutsutaan myös hilan covolumeksi.

Euklidisen avaruuden hilateoriassa vektorin normia ei yleensä kutsuta vektorin pituudeksi, vaan sen neliöiksi . $v$ $\|v\|^{2}$

Ruudukkoa kutsutaan: $\Gamma \osajoukko \mathbb{R} ^{n}$

Kokonaisluku , jos minkä tahansa kahden vektorin skalaaritulo on kokonaisluku:

\forall u,v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb{Z } .

Vaikka minkä tahansa sen vektorin normi on parillinen:

\forall v\in \Gamma \quad \langle v,v\rangle \in 2\mathbb {Z} .

Unimodulaarinen , jos sen perustason suuntaissärmiön tilavuus on 1.

Hilan nollasta poikkeavaa vektoria kutsutaan primitiiviksi , jos se ei ole kollineaarinen tämän hilan minkään lyhyemmän nollasta poikkeavan vektorin kanssa.

Hilan primitiivistä vektoria heijastuksen suhteen, jota pitkin hila on invariantti, kutsutaan hilan juureksi . Hilajuurten joukko muodostaa juurijärjestelmän . Jokainen juuriensa muodostama hila on samanlainen kuin normien 1 tai 2 vektorien generoima hila. Tällaista hilaa kutsutaan juurihilaksi [2] .

Hilan duaali hilaan on hila, jota merkitään tai ja joka määritellään $\Gamma$ $\Gamma ^{*}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\vee ))$

\Gamma ^{*}=\{u\mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb {Z} \}.

Hilaa kutsutaan itseduaaliksi , jos se osuu yhteen sen duaalin kanssa itselleen.

Alahila on hilan aliryhmä.

Voidaan määritellä objekti, joka on analoginen hilan kanssa affiinissa avaruudessa - affiininen hila; on pisteen kiertorata affiinisessa avaruudessa hilavektorien siirtymien vaikutuksesta.

Fysiikassa symmetrioidensa mukaan luokiteltuja kolmiulotteisen avaruuden hiloja kutsutaan Bravais -hiloiksi , kaksoishila on käänteinen hila , perussuuntaissärmiö on (primitiivinen) yksikkösolu .

Hilan Cayley-graafia kutsutaan myös (äärettömäksi) hilaksi .

Ominaisuudet

Jos hila on kokonaisluku, niin . $\Gamma$ $\Gamma \subset \Gamma ^{*}$
Hilan ja sen duaalin kovoluutit tuotteessa antavat 1.
Kokonainen unimodulaarinen hila on automaattisesti duaali.
Itsekaksoishilatkin ovat olemassa vain kahdeksalla jaollisissa ulottuvuuksissa.
Hilan isometriaryhmä on aina äärellinen.

Esimerkkejä

Kokonaislukuhila , erityisesti neliöhila
Kuusikulmainen ristikko
Säleikkö E8
Lich Grid

Isometria- ja samankaltaisuusluokat

Hilat, kuten muutkin geometriset kohteet, katsotaan usein sulkevan euklidisen avaruuden liikkeisiin (isometreihin itsessään) saakka – kiertoihin origon ympäri ja heijastuksiin sen läpi kulkevien tasojen suhteen. Tällainen muunnos vaikuttaa matriisiin, joka muodostuu hilan kannan koordinaateista, kertomalla vasemmalla ortogonaalisella matriisilla . Siksi hilan isometrialuokat - hilan ekvivalenssiluokat suhteessa isometrioihin - voidaan liittää käännettävien matriisien ryhmän kaksipuolisiin vierekkäisyysluokkiin : [3] . $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Myös joissakin ongelmissa hiloja pidetään samankaltaisuuteen asti ; tällaiset muunnokset vaikuttavat matriisiin kertomalla elementeillä (nollasta poikkeavien reaalilukujen joukot). Hilan samankaltaisuusluokat vastaavat vierekkäisyysluokkia [3] . $\mathbb {R} ^{*}$ $\mathbb {R} ^{*}\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm { GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Bilineaariset ja toisen asteen muodot

Hilan läheisesti liittyvä, " lukuteoreettinen " määritelmä on abstrakti vapaa Abelin ryhmä , jolla on äärellinen arvo (eli isomorfinen ), jossa on positiivinen ja määrätty symmetrinen bilineaarinen muoto ; bilineaarisen muodon sijasta voidaan määrittää neliömuoto . Jotta tämä määritelmä vastaisi yllä annettua hilan "geometristä" määritelmää (tarkemmin sanottuna niiden isometrialuokkia), on tarkasteltava neliömuotoja tiettyyn ekvivalenssisuhteeseen asti. $\mathbb{Z } ^{n}$

Jos hila ja sen kanta on annettu, niin vastaavan neliömuodon matriisi on tämän kantan Gram -matriisi . Positiivinen määrätty neliömuoto funktionaalisena on voidaan antaa muodossa , (silloin neliömuodon matriisi on ), eikä se muutu, jos vektoriin tehdään ortogonaalinen muunnos, joten positiiviset määrätyt neliömuodot ovat yhdestä toiseen. - yksi kirjeenvaihto cosettien kanssa . Jos tarkastellaan ekvivalentteja muotoja, joiden matriisit ja on yhdistetty unimodulaarisen matriisin kautta muodolla , niin neliömuotojen ekvivalenssiluokat osoittautuvat yksi-yhteen vastaaviksi kosettien – ja siten hilan isometrialuokkien kanssa [3] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle v\mapsto \|Av\|^{2))$ $A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q=A^{\mathrm {T} }A$ $Av$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q_1$ $Q_{2}$ $U$ $U^{\mathrm {T} }Q_{1}U=Q_{2}$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Monimutkaisella tasolla

Kaksiulotteisessa tapauksessa ympäröivä euklidinen avaruus voidaan tunnistaa kompleksitasolla ja hilavektorit kompleksiluvuilla. Jos hilan positiivisesti orientoitunut kanta esitetään kompleksilukuparilla , niin samankaltaisuusmuunnolla voidaan siirtyä hilaan , jossa on kanta , jonka jälkeen kantan muutos hilassa orientaation säilymisen kanssa vastaa ylemmän puolitason lineaarinen murto -osamuunnos - modulaarisen ryhmän elementti . $(\omega _{1},\omega _{2})$ $(1,\omega _{2}/\omega _{1})$

Sovellukset

Hiloihin liittyy erilaisia geometrisia ongelmia, kuten tasaisten pallojen tiivis pakkaaminen . Myös virheenkorjaavan koodauksen koodit perustuvat ritiloihin . Hilakalauksen taustalla on monia hilateorian ongelmia .

Yleistykset

Jos yhdistämme vapaaseen Abelin ryhmään bilineaarisen muodon, joka ei ole positiivinen definiitti, niin tuloksena on hila pseudoeuklidisessa avaruudessa .
Hilassa, jonka enimmäisarvo on in, on äärellisen tilavuuden perusalue . Lie-ryhmien ja joidenkin muiden alueiden teoriassa ryhmän hila on diskreetti aliryhmä, jonka ryhmän osamääräavaruuden tilavuus on äärellinen, mikä yleistää tämän ominaisuuden. $\mathbb {R} ^{n}$ $G$ $G$
Yleisemmästä algebrallisesta näkökulmasta hila on vapaa moduuli , joka on upotettu vektoriavaruuteen :n sisältämän numerokentän päälle . Tätä käsitettä voidaan yleistää tarkastelemalla mielivaltaista äärellisesti generoitua vääntövapaata moduulia integraalirenkaan yli , joka on upotettu vektoriavaruuteen osamäärän [4] kenttään . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R$ $R$

Muistiinpanot

↑ Martinet, 2003 , s. 3.
↑ Martinet, 2003 , s. 131-135.
↑ 1 2 3 Martinet, 2003 , s. 20-22.
↑ Reiner , I. Maksimitilaukset . - Oxford University Press , 2003. - Voi. 28. - s. 44. - (London Mathematical Society Monographs. New Series). — ISBN 0-19-852673-3 .

Kirjallisuus

J. Conway, N. Sloan. Pallien, ristikoiden ja ryhmien pakkaukset. - M.: Mir, 1990.
Jacques Martinet. Täydellinen hila euklidisissa tiloissa. - Springer, 2003. - Erratum . - ISBN 978-3-642-07921-4 . - doi : 10.1007/978-3-662-05167-2 .