Jatkuva murto-osa

Jatkuva murtoluku (tai jatkuva murtoluku ) on muodon äärellinen tai ääretön matemaattinen lauseke

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1 }{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots )))))),

missä on kokonaisluku , ja kaikki loput ovat luonnollisia lukuja (positiivisia kokonaislukuja) [1] . Tässä tapauksessa lukuja kutsutaan epätäydellisiksi osamääräiksi tai jatketun murtoluvun alkioihin [2] . $a_{0}$ $a_n$ $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Mikä tahansa reaaliluku voidaan esittää jatkuvana murtolukuna (äärellisenä tai äärettömänä). Luku esitetään äärellisenä jatkuvana murtolukuna silloin ja vain, jos se on rationaalinen .

Jatkuvien murtolukujen pääasiallinen (mutta ei suinkaan ainoa) tarkoitus on, että niiden avulla voit löytää hyviä likimääräisiä reaalilukuja tavallisten murtolukujen muodossa. Jatkuvia murtolukuja käytetään laajalti lukuteoriassa ja laskennallisessa matematiikassa , ja niiden yleistykset ovat osoittautuneet erittäin hyödyllisiksi laskennassa ja muilla matematiikan aloilla. Niitä käytetään myös fysiikassa, taivaanmekaniikassa , tekniikassa ja muilla soveltavilla aloilla.

Jatketaan murto-osan laajennusta

Mikä tahansa reaaliluku voidaan esittää (ääreisellä tai äärettömällä, jaksollisella tai ei-jaksollisella) jatkuvalla murtoluvulla , jossa $x$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

a_{0}=\lfloor x\rfloor ,\quad x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}} -a_{1},

\pisteet

a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n- 1}}}-a_{n},

\pisteet

jossa tarkoittaa luvun kokonaislukuosaa . $\lfloor x\rfloor$ $x$

Rationaalisen luvun osalta tämä laajennus päättyy, kun se saavuttaa nollan joidenkin . Tässä tapauksessa sitä edustaa äärellinen jatkuva murto-osa . Tehokas algoritmi yhteisen murtoluvun muuntamiseksi jatkuvaksi murtoluvuksi on Euklidesin algoritmi . Rationaaliluvun jatketun murto-osan esitys on epäselvä: jos tässä annettu algoritmi tuottaa jatketun murto -osan , niin jatkuva murto-osa vastaa samaa lukua. $x$ $x_{n}$ $n$ $x$ $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}-1,1]$

Irrationaalisille kaikki suuret ovat nollia poikkeavia ja laajennusprosessia voidaan jatkaa loputtomiin. Tässä tapauksessa sitä edustaa ääretön jatkuva murto-osa . Jos sarja koostuu äärettömästi toistuvasta samojen lukujen joukosta (jakso), niin jatkuvaa murto-osaa kutsutaan jaksolliseksi. Lukua edustaa ääretön jaksollinen jatkuva murto-osa, jos ja vain, jos se on neliöllinen irrationaalisuus , toisin sanoen irrationaalinen juuri neliöyhtälästä , jossa on kokonaislukukertoimia. $x$ $x_{n}$ $x$ $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

Sopivat murtoluvut

Jatketulle murtoluvulle sopivaa n:nnettä (n:nnettä) murto -osaa kutsutaan äärelliseksi jatkuvaksi murtoluvuksi , jonka arvo on jokin rationaalinen luku . Sopivat parilliset murtoluvut muodostavat kasvavan sekvenssin, jonka raja on . Samoin parittomat konvergentit muodostavat laskevan sekvenssin, jonka raja on myös yhtä suuri kuin . Näin ollen jatkuvan murto-osan arvo on aina naapurikonvergenttien arvojen välissä. $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $p_{n}/q_{n}$ $x$ $x$

Eulerin johdetut rekursiiviset kaavat konvergenttien osoittajien ja nimittäjien laskemiseen:

p_{{-1}}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{{n-1}}+p_{{n-2}} ;

q_{{-1}}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{{n-1}}+q_{{n-2}}.

Siten suuret ja ovat polynomeja , joita kutsutaan jatkujoiksi : $p_n$ $q_{n}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n))$

p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}),

q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).

Konvergenttien osoittajien ja nimittäjien sekvenssit kasvavat jyrkästi. $\{p_{n}\}$ $\{q_{n}\}$

Naapurikonvergenttien osoittajat ja nimittäjät liittyvät relaatioon

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.

(yksi)

Sopivat murtoluvut, kuten tästä suhteesta voidaan nähdä, ovat aina redusoitumattomia . Kirjoitetaan relaatio uudelleen muotoon

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}={\frac {(-1) ^{{n-1}}}{q_{{n-1}}q_{n}}}.

Tästä seuraa [3]

\left|x-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}\right|<{\frac {1}{q_{{n-1}}q_{ n}}}<{\frac {1}{q_{{n-1}}^{2}}}.

Reaalilukujen likiarvo rationaalisilla luvuilla

Jatkuvien murtolukujen avulla voit löytää tehokkaasti reaalilukujen hyviä rationaalisia approksimaatioita. Nimittäin jos reaaliluku laajennetaan jatkuvaksi murtoluvuksi, niin sen konvergentit tyydyttävät epätasa-arvon $x$

\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.

Seuraukset [4] :

Sopiva murtoluku on paras likimäärä alkuperäisestä luvusta kaikista murtoluvuista, joiden nimittäjä ei ylitä $p_{n}/q_{n}$ $q_{n}.$
Minkä tahansa irrationaalisen luvun irrationaalisuuden mitta on vähintään 2.

Esimerkkejä

Laajenna luku jatkuvaksi murtoluvuksi ja lasketaan sen konvergentit: $\pi =3{,}14159265\dots$

3,\ {\frac {22}{7)),\ {\frac {333}{106)),\ {\frac {355}{113)),\ {\frac {103993}{33102 }},\ \pisteet

Toinen konvergentti on hyvin tunnettu Arkhimedeen approksimaatio. Neljäs sopiva fraktio saatiin ensimmäisen kerran muinaisessa Kiinassa . $22/7$ $355/113$

Kultaisen leikkauksen ominaisuudet

Seuraava on kultaisen leikkauksen jaottelu :

\Phi =[1;1,1,1,\pisteet ].

Mielenkiintoinen tulos, joka seuraa siitä tosiasiasta, että jatkuva murto-lauseke for ei käytä lukuja suurempia kuin 1, on, että se on yksi "huonosti" approksimaatioluvuista . Tarkemmin sanottuna Hurwitzin lause [5] sanoo, että mikä tahansa reaaliluku voidaan approksimoida murtoluvulla siten, että $\Phi$ $\Phi$ $r$ $m/n$

\left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.

Vaikka käytännöllisesti katsoen kaikilla reaaliluvuilla on äärettömän monta likiarvoa , jotka ovat paljon pienempiä kuin tämä yläraja, likiarvot (eli luvut 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 jne.) rajassa ovat saavuttaa tämä raja [6] , pitäen etäisyyden lähes tarkalleen pisteestä , jolloin ei koskaan saada niin hyviä approksimaatioita kuin esimerkiksi 355/113 arvolle π. Voidaan osoittaa, että millä tahansa muodon reaaliluvulla on tämä ominaisuus , jossa ja ovat kokonaislukuja, ja ; ja myös, että kaikki muut reaaliluvut voidaan approksimoida paljon paremmin. $r$ $m/n$ $r$ $\Phi$ $1/(n^{2}{\sqrt {5)))$ $\Phi$ ${\näyttötyyli (a+b\Phi )/(c+d\Phi )}$ $a,b,c$ $d$ $ad-bc=\pm 1$

Ominaisuudet ja esimerkit

Mikä tahansa rationaalinen luku voidaan esittää äärellisenä jatkuvana murtolukuna kahdella tavalla, esimerkiksi: $9/4=[2;3,1]=[2;4].$
Lagrangen lause : Luku esitetään äärettömänä jaksollisena jatkuvana murtolukuna silloin ja vain, jos se on irrationaalinen ratkaisu toisen asteen yhtälölle, jossa on kokonaislukukertoimia.

Esimerkiksi:

{\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\pisteet ],

{\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\pisteet ],

kultainen leikkaus

\Phi =[1;1,1,1,\pisteet ].

Gauss-Kuzmin-lause : lähes kaikkien (paitsi nollamittajoukon) reaalilukujen osalta niitä vastaavien jatkuvien murtolukujen alkioiden jakauma noudattaa Gauss-Kuzmin-tilastoa ; Erityisesti kaikilla elementeillä on geometrinen keskiarvo , ja se on yhtä suuri kuin Khinchinin vakio .
Marshall Hallin lause . Jos lukualaajennettaessa jatkuvaksi murtoluvuksi toisesta alkiosta alkaen ei ole suuria lukuja, niin he sanovat, että lukukuuluu luokkaan. Mikä tahansa reaaliluku voidaan esittää kahden luokan luvun summana ja kahden luokantulona [7] Lisäksi osoitettiin, että mikä tahansa reaaliluku voidaan esittää kolmen luokan luvun summanaja luokan neljän luvun summa. Tämän lauseen vaadittujen termien määrää ei voida pienentää - joidenkin lukujen esittämiseen tällä tavalla, vähemmän termejä ei riitä [8] [9] . $x$ $n$ $x$ $F(n)$ $F(4)$ $F(4).$ $F(3)$ $F(2)$

Avoimet numerot

On yritetty löytää malleja kuutioirrationaalisuuden jatkuvassa murto-osan laajennuksessa [10] , samoin kuin muissa algebrallisissa numeroissa, joiden aste on suurempi kuin 2, ja transsendentaalisten lukujen [11] . Joillekin transsendentaalisille luvuille löytyy yksinkertainen malli. Esimerkiksi luonnollisen logaritmin kanta voidaan esittää muodossa [12]

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ] ,

ja 1 radiaanin kulman tangentti on muodossa [13]

\operaattorin nimi {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ].

Yksinkertaisen kuvion numero ei näy [14] : $\pi$

\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\pisteet ]

Yleistetylle jatkuvalle murtoluvulle (katso Muunnelmat ja yleistykset alla ) voidaan kuitenkin jäljittää selkeä kuvio.

Ei tiedetä , onko epätäydellisiä lukujen osittaisia laajennuksia, kuten tai [11] [15] , rajoitettu ylhäältä . ${\sqrt[ {3}]{2}}$ $\pi$

Jatkuvien jakeiden sovellukset

Kalenteriteoria

Aurinkokalenteria kehitettäessä on löydettävä rationaalinen likiarvo vuoden päivien lukumäärälle , joka on 365,2421988 ... Lasketaan sopivat murto-osat tämän luvun murto-osalle:

\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots

Ensimmäinen murto-osa tarkoittaa, että joka 4. vuosi sinun on lisättävä ylimääräinen päivä; tämä periaate muodosti Julianuksen kalenterin perustan . Tässä tapauksessa 1 päivän virhe kertyy 128 vuoden aikana. Toista arvoa (7/29) ei koskaan käytetty, koska se eroaa vähän seuraavasta, joka on paljon tarkempi. Kolmannen murto-osan (8/33), eli 8 karkausvuotta 33 vuoden ajanjaksolla, ehdotti Omar Khayyam 1000-luvulla ja loi perustan persialaiselle kalenterille , jossa vuorokausivirhe kerääntyy 4500 vuoden ajalle. ( gregoriaanisella kielellä - yli 3280 vuotta). Saksalainen tähtitieteilijä Johann von Medler (1864) mainosti erittäin tarkkaa versiota neljännellä murto-osalla (31/128, virhe per päivä kertyy vain 100 000 vuodeksi [16] ) , mutta hän ei herättänyt suurta kiinnostusta.

Musiikin teoria

Musiikkiteoriassa yhtenäistä temperamenttijärjestelmää rakennettaessa vaaditaan, että oktaaviväli jaetaan yhtä suuriin osiin, ja samalla tällaisten osien intervallin tulee olla mahdollisimman lähellä viidettä intervallia . Nämä vaatimukset johtavat ongelmaan löytää rationaalinen approksimaatio arvolle . Kolmas sopiva fraktio antaa tasatemperatun pentatonisen asteikon . Neljäs konvergentti johtaa oktaavin klassiseen jakoon 12 yhtä suureen puolisäveleen [17] . ${\näyttötyyli 2:1}$ $n$ $m$ $3:2$ $\log _{2}1{,}5\noin 0{,}585$ $3/5$ $7/12$

Ensimmäisen asteen vertailujen ratkaiseminen

Harkitse vertailua : , missä tunnetaan, ja voimme olettaa, että se on koprime kanssa . Pitää löytää . $ax\equiv b{\pmod m}$ $a, \ b$ $a$ $m$ $x$

Laajennetaan se jatkuvaksi murto-osaksi. Se on lopullinen ja viimeinen sopiva murto . Korvaa kaavaan (1): ${\frac {m}{a))$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$

mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.

Tästä seuraa:

ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m)),

tai

\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m)).

Johtopäätös: Jäännösluokka on ratkaisu alkuperäiseen vertailuun. $x\equiv (-1)^{n}p_{{n-1}}b{\pmod m}$

Muut sovellukset

Todiste numeroiden irrationaalisuudesta. Esimerkiksi jatkettujen murtolukujen avulla todistettiin Riemannin zeta-funktion ( Aperin vakio ) arvon irrationaalisuus. $\zeta (3)$
Pellin yhtälön [18] ratkaisu kokonaislukuina : ja muut Diofantiini-analyysin yhtälöt $\;x^{2}-ny^{2}=1\;$
Tunnetun transsendentaaliluvun määritelmä (katso Liouvillen lause )
Faktorisointialgoritmit SQUFOF ja CFRAC . _
Ortogonaalisten polynomien karakterisointi
Stabiilien polynomien karakterisointi

Muunnelmia ja yleistyksiä

Useat lähteet antavat yleisen määritelmän jatkuvalle murtoluvulle sallien osoittajien käyttämisen linkeissään 1:n lisäksi myös muita kokonaislukuja (joissakin lähteissä monimutkaisetkin ovat sallittuja ) [1] :

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\ cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.

Tämä yleistys lisää teorian joustavuutta, mutta siinä on kaksi haittapuolta: reaaliluvun laajentaminen jatkuvaksi murtoluvuksi muuttuu epäselväksi ja lisäksi konvergenttien rajan olemassaolo ei ole enää taattua - raja voi olla ääretön tai jopa poissa.

Yleistetyille jatkuville murtoluvuille Euler-kaavat ovat muotoa [19] :

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};

q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.

Jossa

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}.

Erikoistapaus, jossa kaikkea kutsutaan Hirzebruchin jatkeeksi [ 20] . $b_{n}=-1$

Yllä sanottiin, että luvun laajentaminen klassiseksi jatkuvaksi murtoluvuksi ei sisällä näkyvää kuviota. Yleistetylle jatkuvalle murto- osalle Braunkerin kaava [21] tapahtuu : $\pi$

{\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+ {\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}} }}}

Toinen yleistyksen suunta on jatkuvien murtolukujen laitteiston rakentaminen ja soveltaminen ei luvuille, vaan polynomeille - käytetään tosiasiaa, että polynomien jaollisuus sen ominaisuuksissa on lähellä kokonaislukujen jaollisuutta [22] . Mikä tahansa polynomi tai murto-rationaalinen funktio voidaan laajentaa jatkuvaksi murtoluvuksi [23] :

{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+ \ldots }}}}}}.

Esimerkki: hanki funktion hajotus : ${\displaystyle f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2))))$

f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x)))))))

Voit luoda vastaavuuden jatkuvien murtolukujen ja kulmien välille tasossa olevissa hilassa . Tässä suhteessa on olemassa useita muunnelmia "moniulotteisista jatkuvista fraktioista" [24] .

Historiallinen tausta

Muinaiset matemaatikot pystyivät esittämään suhteettoman suurien suhteita peräkkäisten sopivien suhdelukujen ketjun muodossa saaden tämän ketjun käyttämällä Euklidin algoritmia . Ilmeisesti tällä tavalla Arkhimedes sai likiarvon - tämä on 12. sopiva murto-osa tai kolmasosa 4. sopivasta murto-osasta . ${\sqrt {3}}\noin {\frac {1351}{780}}$ $\sqrt{3}$ ${\sqrt {27}}$

Intialainen matemaatikko Aryabhata käytti 500-luvulla samanlaista "jalostusmenetelmää" määrittämättömien ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen. Saman tekniikan avulla on luultavasti saatu luvun hyvin tunnettu approksimaatio (355/113). 1500 -luvulla Rafael Bombelli loi neliöjuuret käyttämällä jatkuvia murtolukuja (katso hänen algoritminsa ). $\pi$

Pietro Antonio Cataldi loi modernin jatkuvan jakeen teorian alun vuonna 1613 . Hän pani merkille niiden pääominaisuuden (sijainti sopivien murtolukujen välillä) ja otti käyttöön nykyaikaista merkintää muistuttavan nimityksen. Myöhemmin hänen teoriaansa laajensi John Vallis , joka ehdotti termiä "jatkuva murto" . Vastaava termi " jatkuva laukaus " ilmestyi 1700-luvun lopulla.

Näitä murtolukuja käytettiin ensisijaisesti reaalilukujen rationaaliseen approksimaatioon; esimerkiksi Christian Huygens käytti niitä suunnitellakseen vaihteet planetaarioonsa . Huygens tiesi jo, että konvergentit ovat aina redusoitumattomia ja että ne edustavat parasta rationaalista approksimaatiota alkuperäiseen numeroon.

1700-luvulla jatkuvien murtolukujen teorian täydensivät yleisesti Leonhard Euler ja Joseph Louis Lagrange .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Jatkuu murto -osa // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5.
↑ Arnold, 2000 , s. 12.
↑ Vinogradov, 1952 , s. kahdeksantoista.
↑ Vinogradov, 1952 , s. 22, 2 kohta.
↑ Hardy, G.H.; Wright, EM Lause 193 // Johdatus lukuteoriaan . — Viides. – Oxford, 1979.
↑ Davenport, 1965 , s. 93-95.
↑ M. Hall, Jatkuvien murtolukujen summasta ja tulosta, Annals of Math. 48 (1947) 966-993.
↑ B. Diviš, Jatkuvien murto-osien summista, Acta Arith. 22 (1973) 157-173.
↑ TW Cusick ja R.A. Lee, Jatkuvien jakeiden joukkojen summat, Proc. amer. Matematiikka. soc. 30 (1971) 241-246.
↑ Calculations in Algebra and Number Theory, 1976 , H. M. Stark. Selitys joistakin Brillhartin löytämistä eksoottisista jatkuvista fraktioista, s. 155-156.
↑ 1 2 P. Shiu. Jatkuvien murtolukujen laskenta ilman syöttöarvoja . – 1995.
↑ OEIS - sekvenssi A003417 : jatkuva e .
↑ OEIS - sekvenssi A093178 : jatkuva fraktion laajennus . $\operaattorinimi{tg}\,1$
↑ OEIS - sekvenssi A001203 : jatkuva fraktion laajennus . $\pi$
↑ OEIS - sekvenssi A002945 : fraktion jatkaminen . ${\sqrt[ {3}]{2}}$
↑ Itse asiassa Maan pyörimisen asteittaisen hidastumisen ja vastaavasti vuoden päivien määrän asteittaisen vähenemisen vuoksi tällaiseen kalenteriin olisi kertynyt todellista yhden päivän virhettä 4000 vuoden jälkeen.
↑ Shilov G. E. Yksinkertainen gamma. Musiikkivaakalaite . — Suosittuja matematiikan luentoja . - M .: Fizmatgiz , 1963. - S. 14-15. – 20 s.
↑ Bugaenko V. O. Pellin yhtälöt _ _ _
↑ Laskennallisen matematiikan perusteet, 1963 , s. 57.
↑ E. Yu. Smirnov. Friisit ja jatkuvat fraktiot . MCNMO (17. maaliskuuta 2020). Haettu 17. huhtikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 21. huhtikuuta 2021. (määrätön)
↑ John Wallis , Arithmetica Infinitorum (Oxford, Englanti: Leon Lichfield, 1656), sivu 182 . Arkistoitu 24. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa . Brouncker ilmaisi jatkuvana murtolukuna ympyrän pinta-alan suhteen rajatun neliön pinta-alaan (eli 4/ π ). Jatkuva murto-osa näkyy sivun 182 yläreunassa (karkeasti) muodossa: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c, jossa neliö ilmaisee haettavaa suhdetta. (Huomaa: Edellisellä sivulla Wallis nimeää Brounkerin nimellä: "Dom. Guliel. Vicecon & Barone Brouncher " (Lord William varakreivi ja paroni Brounker).)
↑ Khovansky A. N. Jatkuvien murtolukujen sovellukset ja niiden yleistykset likimääräisen analyysin kysymyksiin (luvut 1 ja 2). - M .: Gostekhizdat, 1956.
↑ Laskennallisen matematiikan perusteet, 1963 , s. 70-73.
↑ Karpenkov, 2013 .

Kirjallisuus

Arnold V. I. Jatkuu murtoluvut . - M. : MTsNMO , 2000. - T. 14. - 40 s. - ( Kirjasto "Matemaattinen koulutus" ).
Beskin NM Jatkeet // Kvant . - 1970. - T. 1 . - S. 16-26.62 .
Beskin NM Infinite jatkuvat jakeet // Kvant . - 1970. - T. 8 . - S. 10-20 .
Bodnar D.I. Haaroitus jatkui jakeet. - K . : Nauka, 1986. - 174 s.
Bukhshtab A. A. Numeroteoria . - M . : Koulutus, 1966. - 384 s.
Vinogradov I.M. Lukuteorian perusteet . - M. - L .: GITTL, 1952. - 180 s.
Algebran ja lukuteorian laskelmat / Per. englannista. E. G. Belagi, toim. B. B. Venkova ja D. K. Faddeeva. - M .: Mir , 1976. - (Matematiikka. Uutta ulkomaisessa tieteessä).
Gladkovsky S. N. Ehdollisesti jaksollisten jatkuvien jakeiden analyysi, osa 1 . - Lempeä, 2009. - 138 s.
Demidovich B. P., Maron I. A. Laskennallisen matematiikan perusteet. - Toim. 2. - M .: Fizmatlit, 1963. - S. 53-73. — 660 s.
Depman I. Ya. Aritmetiikan historia. Opas opettajille . - Toinen painos - M . : Koulutus, 1965. - S. 253-254.
Davenport G. Korkeampi aritmetiikka. Johdatus lukuteoriaan . - M .: Nauka, 1965.
Siziy SV Luennot lukuteoriasta . - Jekaterinburg: Ural State University on nimetty. A. M. Gorki , 1999.
Skorobogatko V. Ya. Jatkettujen murtolukujen haarautumisteoria ja sen soveltaminen laskennallisessa matematiikassa. - M .: Nauka, 1983. - 312 s.
Khinchin A. Ya Jatkuu murtoluvut . - M .: GIFML, 1960.
Khovansky AN Jatkuvien murtolukujen ja niiden yleistysten soveltaminen likimääräisen analyysin kysymyksiin. - M.: Gostekhizdat, 1956. - 204 s.
Brezinski C. Jatkettujen jakeiden ja Padé-approksimanttien historia. NY: Springer, 1980.
Karpenkov O. Jatkuvien murtolukujen geometria. - Springer, 2013. - ISBN 978-3-642-39367-9 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Iso venäläinen maailman ympäri Pieni Brockhaus ja Efron Uusi Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	J9U : 987007548245805171 LCCN : sh85051149 NDL : 00569391 NKC : ph441076