Engelin hajoaminen

Positiivisen reaaliluvun x Engel-hajotelma on ainoa positiivisten luonnollisten lukujen ei-pienenevä sarja , joka ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \))$

x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cdots .\;

Rationaaliluvuilla on äärellinen Engel-laajennus ja irrationaalisilla luvuilla on ääretön sarjalaajennus. Jos x on rationaalinen, sen Engel-laajennus antaa Egyptin murto -esityksen x :stä . Hajoaminen on nimetty matemaatikko Friedrich Engelin mukaan, joka tutki sitä vuonna 1913 .

Engelin hajottamista samanlaista , mutta termit käänteisinä, kutsutaan Peircen hajotukseksi .

Engelin laajennus, jatkuvat fraktiot ja Fibonacci

Kraeikamp ja Wu [1] huomasivat, että Engelin laajennus voidaan kirjoittaa nousevana jatkuvana murto -osan muunnelmana :

x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3)))){\displaystyle a_{2)) }}{\displaystyle a_{1}}}}.

He väittävät, että tällaisia nousevia jatkuvia fraktioita on tutkittu Fibonaccin helmitaulun ajoista (1202). Tämä lausunto viittaa Fibonaccin monimutkaiseen murto-osuuteen, jossa osoittajien ja nimittäjien sarja, joilla on sama piirre, edustaa nousevaa jatkuvaa murto-osaa:

{\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h))={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e} }}{f}}}{g}}}{h}}.

Jos tässä merkinnässä kaikki osoittajat ovat 0 tai 1, kuten paikoin näkyy helmitaulussa , tuloksena on Engelin laajennus. Engelin hajottamista tekniikkana ei kuitenkaan kuvata kirjassa.

Algoritmi Engelin laajennusten laskemiseen

Löytääksemme Engelin laajennuksen x :lle laitamme

u_{1}=x,

a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k))}\right\rceil ,

u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1

missä on katto (pienin kokonaisluku vähintään r ). $\left\lceil r\right\rceil$

Jos joillekin i , pysäytämme algoritmin. $u_{i}=0$

Esimerkki

Löytääksemme Engel-laajennuksen numerolle 1.175, suoritamme seuraavat vaiheet.

u_{1}=1{,}175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}}\right\rceil =1;

u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0,175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{ ,}175}}\right\rceil=6

u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1 }{0{,}05}}\right\rceil =20

u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0

Sarja on päättynyt. Tällä tavalla,

1{,}175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}

ja Engelin laajennus arvolle 1,175 on {1, 6, 20}.

Engelin rationaalilukujen hajonta

Jokaisella positiivisella rationaaliluvulla on ainutlaatuinen äärellinen Engel-laajennus. Jos Engelin hajottelualgoritmissa u i on rationaalinen luku x / y , niin u i +1 = (− y mod x )/ y . Siten jokainen vaihe pienentää osoittajaa jäljellä olevassa u i :ssä ja Engel-laajennuksen konstruointiprosessin täytyy päättyä äärellisen määrän vaiheiden jälkeen. Jokaisella rationaaliluvulla on myös ainutlaatuinen ääretön Engel-laajennus: yhtälön käyttäminen

{\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.

viimeinen luku n äärellisessä Engel-laajennuksessa voidaan korvata äärettömällä jonolla ( n + 1) arvoa muuttamatta. Esimerkiksi,

1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\pisteet \}.\;\;

Tämä on analogista sen tosiasian kanssa, että millä tahansa rationaalisella luvulla, jolla on äärellinen desimaaliesitys, on ääretön desimaaliesitys (katso 0,(9) ). Ääretön Engel-laajennus, jossa kaikki elementit ovat yhtä suuret, on geometrinen progressio .

Erdős , Renyi ja Szüsz kysyivät ei-triviaalisista rajoista rationaalisen murtoluvun x / y äärellisen Engel-laajennuksen pituudelle . Erdős ja Schallit vastasivat tähän kysymykseen osoittaen, että laajennustermien lukumäärä on O( y 1/3 + ε ) millä tahansa ε > 0 [2] [3] .

Engel-laajennus joillekin tunnetuille vakioille

\pi

= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} (sekvenssi A006784 OEIS : ssä )

{\sqrt {2}}

= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} (sekvenssi A028254 OEIS : ssä )

e

= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} (sekvenssi A000027 OEIS : ssä )

e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;

Lisää Engelin laajennuksia löytyy täältä .

Hajoavien elementtien kasvunopeus

Engelin laajennuksen kertoimilla a i on pääsääntöisesti eksponentiaalinen kasvu . Tarkemmin sanottuna lähes kaikille välin (0,1] luvuille raja on olemassa ja se on yhtä suuri kuin e . Välin osajoukko, jolle tämä ei päde, on kuitenkin riittävän suuri, jotta sen Hausdorff-ulottuvuus on yksi [4 ] . ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n))$

Sama tyypillinen kasvu näkyy ahneen algoritmin generoimissa termeissä Egyptin murtoluvuille . Kuitenkin välin (0,1) reaalilukujen joukolla, jonka Engel-laajennus osuu yhteen niiden ahneella algoritmilla tapahtuvan laajennuksen kanssa, on mitta nolla ja Hausdorffin mitta 1/2 [5] .

Muistiinpanot

↑ Kraaikamp, Wu, 2004 .
↑ Erdős, Renyi, Szüsz, 1958 .
↑ Erdős, Shallit, 1991 .
↑ Wu, 2000 , Wu:n mukaan tulos rajan e yhtäläisyydestä lähes kaikille luvuille johtuu Janos Galamboksesta.
↑ Wu, 2003 .

Kirjallisuus

F. Engel. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. - 1913. - S. 190-191.
T. A. Pierce. Algoritmista ja sen käytöstä algebrallisten yhtälöiden juurien lähentämisessä // Am. Matematiikka. Kuukausittain. - 1929. - T. 36 , nro 10 . - S. 523-525 . — .
Paul Erdős, Alfred Rényi, Peter Szüsz. Engelin ja Sylvesterin sarjoista // Ann. Univ. sci. Budapest. Eötvös Sect. Matematiikka.. - 1958. - T. 1 . - S. 7-32 .
Paul Erdős, Jeffrey Shallit. Uudet rajat äärellisten Piercen ja Engelin sarjojen pituudelle // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 1991. - Vol. 3 , numero. 1 . - S. 43-53 . - doi : 10.5802/jtnb.41 .
J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni. Approksimaatio neliöirrationaaleihin ja niiden Pierce-laajennuksiin // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , nro 2 . - S. 146-153 .
Cor Kraaikamp, kesäkuu Wu. Uudesta jatkuvasta murto-osalaajennuksesta ei-laskevilla osamäärällä // Monatshefte für Mathematik. - 2004. - T. 143 , no. 4 . - S. 285-298 . - doi : 10.1007/s00605-004-0246-3 .
Kesä Wu. Galamboksen ongelma Engelin laajennuksissa // Acta Arithmetica. - 2000. - T. 92 , no. 4 . - S. 383-386 .
Kesä Wu. Kuinka monessa pisteessä on samat Engel- ja Sylvester-laajennukset? // Journal of Number Theory. - 2003. - T. 103 , no. 1 . - S. 16-26 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00017-9 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Engel Laajennus . MathWorld – Wolfram-verkkoresurssi. (määrätön)