Coxeter-ryhmä

Coxeter-ryhmä on ryhmä , jonka muodostavat heijastukset -ulotteisen polyhedronin pinnoilla , jossa jokainen dihedraalinen kulma on kiinteä osa (eli yhtä suuri jollekin kokonaisluvulle ). Tällaisia monitahoja kutsutaan Coxeter-polyhedraiksi . Coxeter-ryhmät on määritelty monitahoisille euklidisessa avaruudessa , pallolla ja myös Lobatševskin avaruudessa . $n$ $\pi$ $\pi /k$ $k$

Esimerkkejä

Äärilliset Coxeter-ryhmät ovat isomorfisia erityisesti yksinkertaisten Lie-algebroiden Weyl-ryhmien kanssa .
Coxeter-polyhedra euklidisessa ulottuvuusavaruudessa : $n$
- $n$ -dimensioinen kuutio, jolla on mielivaltainen ulottuvuus.
- $n$ -ulotteinen simpleksi, joka muodostuu pisteistä, joiden koordinaatit ovat sellaiset, että . $(x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n})$ $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1$
Coxeter-polyhedra yksikkömittapallossa : $n$
- säännöllinen mittainen simpleksi, jossa on sivu . $n$ $\pi/2$
Coxeter-polyhedra Lobachevsky-tiloissa:
- Säännöllinen monikulmio kulmalla . $k$ $\pi/m$
- Säännöllinen suorakaiteen muotoinen dodekaedri . $3$
- Säännöllinen suorakaiteen muotoinen satakaksikymmentä solua . $neljä$

Coxeter-ryhmät kuvataan ja luokitellaan Coxeter-Dynkin-kaavioiden avulla .
Coxeter-polyhedron on Coxeter-ryhmän perusalue.
- Erityisesti Coxeterin polytooppi leimaa tilaa .
- Erityisesti mikä tahansa euklidinen Coxeter-ryhmä on esimerkki pisteryhmästä .
Vinbergin lause. [1] Lobatševskin avaruudessa ei ole olemassa kaikkia riittävän suuria rajoitettuja Coxeterin monitahoja.
Pallomaiset Coxeter-polyhedrat ovat yksinkertaisia.
Coxeter-polytoopit ovat yksinkertaisia .
Merkitään heijastuksia kasvot polyhedron, ja anna olla dihedral kulma kasvojen ja . Antaa Jos kasvot eivät muodosta dihedral-kulmaa polyhedronissa, ja . Sitten Coxeter-ryhmä voidaan määritellä seuraavasti: $\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}$ $\pi/m_{ij}$ $i$ $j$ $m_{ij}=\infty$ $m_{ii}=1$ $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

Coxeter-ryhmät ovat myös yleistys yllä kuvatuista ryhmistä, jotka on määritelty tehtävän avulla : $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$ ,

missä ja osoitteessa .

m_{ii}=1

m_{ij}\geqslant 2

i\neq j