Ihanteellinen luokkaryhmä

Dedekind-renkaan ihanteellinen luokkaryhmä on karkeasti sanottuna ryhmä, jonka avulla voidaan sanoa, kuinka voimakkaasti tekijäominaisuus on rikottu tietyssä renkaassa . Tämä ryhmä on triviaali , jos ja vain, jos Dedekind-rengas on tekijä. Dedekind-renkaan ominaisuudet, jotka koskevat sen elementtien lisääntymistä, liittyvät läheisesti tämän ryhmän rakenteeseen.

Määritelmä

Olkoon R integraalirengas , määritämme suhteen sen nollasta poikkeaviin murto-ideaaleihin seuraavasti: jos ja vain jos renkaassa R on nollasta poikkeavia alkioita a ja b siten , että , on helppo osoittaa, että tämä määrittelee ekvivalenssisuhde. Tämän suhteen ekvivalenssiluokkia kutsutaan ideaaliluokiksi . Luokan kertolasku, joka määritellään muodossa [ a ]*[ b ] = [ ab ], on hyvin määritelty, assosiatiivinen ja kommutatiivinen; päämurtoideaalit muodostavat luokan [ R ], joka on tämän kertolaskujen identiteetti. Luokalla [ I ] on käänteisluokkansa [ J ] jos ja vain, jos ideaali IJ on prinsiaali. Yleisessä tapauksessa tällaista J :tä ei ehkä ole olemassa, ja ideaaliset luokat ovat vain kommutatiivinen monoidi . $\sim$ $I\sim J$ $(a)I = (b)J$

Jos R on myös Dedekind-rengas (esimerkiksi jonkin algebrallisen lukukentän algebrallinen lukurengas ) , niin jokaisella murto-ideaalilla I on käänteinen J siten, että IJ = R = (1). Siksi Dedekind-renkaan ideaaliluokat murto-osalla edellä määritellyllä kertolaskulla muodostavat Abelin ryhmän , renkaan R ideaalisen luokkaryhmän .

Ominaisuudet

Ihanteellinen luokkaryhmä on triviaali silloin ja vain, jos kaikki renkaan R ideaalit ovat pääasiallisia, eli kun R on pääideaalialue . Lisäksi Dedekind-rengas on tekijä, jos ja vain jos se on pääihanteiden alue.
Renkaan R ideaaliluokkien lukumäärä voi yleensä olla ääretön; lisäksi mikä tahansa Abelin ryhmä on isomorfinen jonkin Dedekind-renkaan luokkaryhmälle [1] . Jos R on kuitenkin lukukentän kokonaislukujen rengas, niin sen luokkien lukumäärä on äärellinen.
Luokkien ryhmän laskeminen on yleensä melko vaikeaa. Tämä voidaan tehdä manuaalisesti algebralliselle lukukentälle pienellä diskriminantilla käyttämällä Minkowskin sidosta . Kentillä, joilla on suuri erottaja, manuaalinen laskenta on epäkäytännöllistä, ja se tehdään yleensä tietokoneella.

Esimerkkejä

Neliöllisen kentän luokkien lukumäärä

Jos d on neliötön luku , niin se on neliökenttä . Jos d < 0, luokkaryhmä on triviaali vain seuraaville arvoille: Tapauksessa d > 0 kysymys siitä, onko triviaaliluokkaryhmää vastaavien arvojen määrä ääretön, jää edelleen avoimeksi ongelmaksi. ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.$

Esimerkki ei-triviaalista luokkaryhmästä

$R={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$ — kokonaisluku-numeerisen kentän rengas Tämä rengas ei ole tekijä; todellakin ihanteellinen ${\mathbb Q}({\sqrt {-5}}).$

J=(2,1+{\sqrt {-5}})

ei ole tärkein. Tämä voidaan todistaa ristiriitaisesti seuraavasti. On mahdollista määritellä normifunktio , ja jos ja vain jos x on käännettävä. Ensinnäkin ,. Osamäärärengas on ideaaliltaan isomorfinen , joten . Jos J generoidaan alkiolla x , niin x jakaa luvun 2 ja 1 + √−5. Siksi normi x jakaa 4:n ja 6:n, eli se on yhtä kuin 1 tai 2. Se ei voi olla yhtä suuri kuin 1, koska J ei ole yhtä suuri kuin R , eikä se voi olla yhtä suuri kuin 2, koska sillä ei voi olla jäljellä olevaa 2 modulo 5. On helppo tarkistaa, kumpi on pääideaali, joten J :n järjestys luokkaryhmässä on 2. Kuitenkin sen tarkistaminen, että kaikki ihanteet kuuluvat johonkin näistä kahdesta luokasta, vaatii hieman enemmän vaivaa. $R$ $N(a+b{\sqrt 5})=a^{2}+5b^{2}$ $N(ab)=N(a)N(b)$ $N(x) = 1$ $J\neq R$ $(1+{\sqrt {-5}})$ ${\mathbb Z}/6{\mathbb Z}$ $R/J\cong {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $a^{2}+5b^{2}$ $J^{2}=(2)$

Muistiinpanot

↑ Claborn, 1966

Kirjallisuus

Atiyah M., McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M: Mir, 1972
Claborn, Luther (1966), Jokainen Abelin ryhmä on luokkaryhmä , Pacific Journal of Mathematics, osa 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm /1102994263&page=record > Arkistoitu 7. kesäkuuta 2011 Wayback Machinessa
Fröhlich, Albrecht & Taylor, Martin (1993), Algebrallinen lukuteoria , voi. 27, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6