Desimaalilogaritmi

10 kantalogaritmi on 10 kantalogaritmi Toisin sanoen luvun 10 kantalogaritmi on yhtälön ratkaisu $b$ $10^{x}=b.$

Luvun todellinen desimaalilogaritmi on olemassa, jos ( kompleksinen desimaalilogaritmi on olemassa kaikille ). Kansainvälinen standardi ISO 31-11 määrittelee sen . Esimerkkejä: $b$ $b>0$ $b\neq 0$ $\lg \,b$

\lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2

\lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3

Ulkomaisessa kirjallisuudessa, kuten myös laskimien näppäimistössä , desimaalilogaritmille on muitakin merkintöjä: , ja on syytä muistaa, että kaksi ensimmäistä vaihtoehtoa voivat koskea myös luonnollista logaritmia . $\operaattorin nimi {loki} ,\operaattorin nimi {loki} ,\operaattorin nimi {loki10}$

Algebralliset ominaisuudet

Seuraavassa taulukossa oletetaan, että kaikki arvot ovat positiivisia [1] :

	Kaava	Esimerkki
Työ	$\lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)$	$\lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4$
Jaon osamäärä	$\lg \!\left({\frac {x}{y))\right)=\lg(x)-\lg(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Tutkinto	$\lg(x^{p})=p\lg(x)$	$\lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7$
Juuri	$\lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$

Yllä olevista kaavoista on ilmeinen yleistys tapaukseen, jossa negatiiviset muuttujat ovat sallittuja, esimerkiksi:

\lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),

\lg \!\left|{\frac xy}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),

Tuloksen logaritmin kaava voidaan helposti yleistää mielivaltaiseen määrään tekijöitä:

\lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})

Yllä olevat ominaisuudet selittävät, miksi logaritmien käyttö (ennen laskimien keksintöä) helpotti huomattavasti laskelmia. Esimerkiksi moniarvoisten lukujen kertominen logaritmisilla taulukoilla suoritettiin seuraavan algoritmin mukaan: $x,y$

Etsi taulukoista lukujen logaritmit . $x,y$
Lisää nämä logaritmit, jolloin saadaan (ensimmäisen ominaisuuden mukaan) tulon logaritmi . $x\cdot y$
Etsi itse tulo taulukoista tuotteen logaritmin avulla.

Jako, joka ilman logaritmien apua on paljon työläämpää kuin kertolasku, suoritettiin saman algoritmin mukaan, vain lisäämällä logaritmit, jotka korvattiin vähentämisellä . Samoin suoritettiin eksponentio ja juuriuutto .

Desimaali- ja luonnonlogaritmien välinen suhde [2] :

\ln x\noin 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\noin 0{,}43429\ \ln x

Logaritmin etumerkki riippuu siitä, että luku on logaritminen: jos se on suurempi kuin 1, logaritmi on positiivinen, jos se on välillä 0 ja 1, niin se on negatiivinen. Esimerkki:

\lg \,0{,}012=\lg \,(10^{{-2}}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\noin -2+0 {,}079181=-1{,}920819

Toimintojen yhdistämiseksi positiivisilla ja negatiivisilla logaritmeilla viimeksi mainitun kokonaislukuosa ( ominaisuus ) alleviivattiin päälle:

\lg \,0{,}012\noin -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181

Taulukoista valitun logaritmin mantissi on aina positiivinen tällä lähestymistavalla.

Desimaalilogaritmifunktio

Jos tarkastellaan logaritmista lukua muuttujana, saadaan desimaalilogaritmin funktio: Se on määritelty kaikille Arvoalueille: . Tämän käyrän kuvaajaa kutsutaan usein logaritmiksi [3] . $y=\lg \,x.$ $x>0.$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$

Funktio on monotonisesti kasvava, jatkuva ja differentioituva missä tahansa se määritellään. Sen johdannainen saadaan kaavalla:

{\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}

Y- akseli on pystysuora asymptootti , koska: $(x=0)$

\lim _{{x\to 0+0}}\lg \,x=-\infty

Sovellus

Ennen kompaktien elektronisten laskimien keksimistä 1970-luvulla laskennassa käytettiin laajalti logaritmeja 10 :een. Kuten kaikki muut logaritmit, ne mahdollistivat huomattavasti aikaa vievien laskelmien yksinkertaistamisen ja helpon, korvaamalla kertolaskujen yhteenlaskulla ja jakamisen vähennyksellä; eksponentio ja juurien erottaminen yksinkertaistettiin samalla tavalla . Mutta desimaalilogaritmeilla oli etu verrattuna logaritmiin, joilla on eri kanta: luvun logaritmin kokonaislukuosa ( logaritmiominaisuus ) on helppo määrittää. $x$ $[\lg x]$

Jos , niin 1 on pienempi kuin numeroiden määrä kokonaislukuosassa . Esimerkiksi on heti selvää, mitä välissä on . $x\geqslant 1$ $[\lg x]$ $x$ $\lg 345$ ${\näyttötyyli (2,3)}$
Jos , niin lähin kokonaisluku pienempää sivua on yhtä suuri kuin nollien kokonaismäärä ensimmäisen nollasta poikkeavan numeron edessä (mukaan lukien nolla ennen desimaalipistettä), otettuna miinusmerkillä. Esimerkiksi on välissä . $0<x<1$ $\lg x$ $x$ $\lg 0{,}0014$ $(-3,-2)$

Lisäksi kun desimaalipistettä siirretään luvussa numeroittain, tämän luvun desimaalilogaritmin arvo muuttuu esimerkiksi: $n$ $n.$

\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3

Tästä seuraa, että desimaalilogaritmien laskemiseksi riittää, että laaditaan logaritmitaulukko numeroille välillä - [4] . Tällaisia taulukoita valmistettiin 1600-luvulta lähtien suuria määriä ja ne toimivat korvaamattomana laskentatyökaluna tutkijoille ja insinööreille. $yksi$ $kymmenen$

Koska logaritmien käyttö laskelmissa tietotekniikan myötä on melkein loppunut, nykyään desimaalilogaritmi on suurelta osin korvattu luonnollisella [5] . Se säilyy pääasiassa niissä matemaattisissa malleissa, joissa se on historiallisesti juurtunut - esimerkiksi logaritmiset asteikot rakennettaessa .

Desimaalilogaritmit numeroille, jotka ovat muotoa 5 × 10 C

Määrä	Logaritmi	Ominaista	Mantissa	Äänite
n	loki( n )	C	M = lg( n ) − C
5 000 000	6 698 970...	6	0,698 970...	6 698 970...
viisikymmentä	1 698 970...	yksi	0,698 970...	1 698 970...
5	0,698 970...	0	0,698 970...	0,698 970...
0.5	−0,301 029...	−1	0,698 970...	1 698 970...
0.000 005	−5 301 029...	−6	0,698 970...	6 698 970...

Huomaa, että kaikilla taulukon numeroilla on sama mantissa , koska: $n$ $M$

\lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x )+C

missä on luvun merkittävä osa . $1<x<10$ $n$

Historia

Ensimmäiset desimaalilogaritmien taulukot julkaisi vuonna 1617 Oxfordin matematiikan professori Henry Briggs kahdeksalla (myöhemmin neljätoista) numerolla 1-1000. Siksi ulkomailla desimaalilogaritmeja kutsutaan usein brigeiksi . Näissä ja myöhemmissä taulukoiden painoksissa havaittiin kuitenkin virheitä. Ensimmäinen Georg Vegan ( 1783 ) taulukoihin perustuva erehtymätön painos ilmestyi vasta vuonna 1852 Berliinissä ( Bremikerin taulukot ) [6] .

Venäjällä ensimmäiset logaritmitaulukot julkaistiin vuonna 1703 L. F. Magnitskyn osallistuessa [7] . Neuvostoliitossa julkaistiin useita logaritmitaulukoiden kokoelmia [8] :

Bradis V. M. Neliarvoiset matemaattiset taulukot. M.: Bustard, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Vuodesta 1921 julkaistuja Bradis-taulukoita käytettiin oppilaitoksissa ja teknisissä laskelmissa, jotka eivät vaadi suurta tarkkuutta. Ne sisälsivätnumeroiden desimaalilogaritmien ja trigonometristen funktioiden mantissoja , luonnollisia logaritmeja ja joitain muita hyödyllisiä laskentatyökaluja.
Vega G. Seitsennumeroisten logaritmien taulukot, 4. painos, M.: Nedra, 1971. Ammattimainen kokoelma tarkkoja laskelmia varten.

Kirjallisuus

Logaritmien teoria

Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja . - toim. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tutkijoille ja insinööreille) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - toim. 6. - M .: Nauka, 1966. - 680 s.

Logaritmien historia

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
Klein F. Alkeismatematiikka korkeammasta näkökulmasta . - M . : Nauka, 1987. - T. I. Aritmetiikka. Algebra. Analyysi. — 432 s.
1600-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
1700-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Uspensky Ya. V. Essee logaritmien historiasta. - Petrograd: Tieteellinen kustantaja, 1923. - 78 s.

Linkit

Desimaali (Brigs) logaritmit. (Englanti)

Muistiinpanot

↑ Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 187..
↑ Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 189..
↑ Logaritminen funktio. // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3.
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 94-100.
↑ Klein F. Alkeismatematiikka korkeammasta näkökulmasta, 1987 , s. 406..
↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 62..
↑ Gnedenko B. V. Esseitä Venäjän matematiikan historiasta, 2. painos. - M . : KomKniga, 2005. - S. 66 .. - 296 s. - ISBN 5-484-00123-4 .
↑ Logaritmiset taulukot // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 1151055638