Riemannin zeta-funktio

Riemannin zeta - funktio on Dirichlet - sarjan avulla määritetyn kompleksisen muuttujan funktio , at : $\displaystyle \zeta (s)$ $s=\sigma +it$ $\sigma >1$

\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s }}}+\ldots .

Kompleksisessa puolitasossa tämä sarja konvergoi , on analyyttinen funktio ja sallii analyyttisen jatkon koko kompleksitasolle , lukuun ottamatta yksittäistä pistettä . ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} s>1\))$ $s$ $s=1$

Riemannin zeta-funktiolla on erittäin tärkeä rooli analyyttisessä lukuteoriassa , sillä on sovelluksia teoreettisessa fysiikassa , tilastoissa ja todennäköisyysteoriassa .

Erityisesti, jos todistettua tai kumottua Riemannin hypoteesia zeta-funktion kaikkien ei-triviaalien nollien sijainnista suoralla kompleksitasolla ei ole todistettu tai kumottu tähän mennessä , niin monia tärkeitä alkulukulauseita , jotka perustuvat Riemannin hypoteesiin todisteesta tulee joko totta tai epätosi. $\operaattorin nimi {Re} s=1/2$

Eulerin henkilöllisyys

Edustus äärettömänä tulona pätee myös toimialueella ( Eulerin identiteetti ) $\{s\mid \operaattorinimi {Re} s>1\}$

\zeta (s)=\prod _{{\text{number }}p \atop {\text{simple}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.

Todiste

Todistuksen idea käyttää vain yksinkertaista algebraa, joka on ahkera koulupojan saatavilla. Euler johti alun perin kaavan tällä tavalla. Eratosthenes-seulalla on ominaisuus , josta voimme hyötyä:

\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^ {s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots

{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s} ))+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\lpistettä

Vähentämällä toinen ensimmäisestä, poistamme kaikki elementit, joiden jakaja on 2:

\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{ 11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\ldots

Toista seuraavat asiat:

{\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1 }{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{ s))}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\ldots

Vähennä uudelleen, saamme:

\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta ( s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+ {\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots ,

jossa kaikki elementit, joilla on jakaja 2 ja/tai 3, poistetaan.

Kuten näet, oikea puoli seulotaan siivilän läpi. Toistaen loputtomasti, saamme:

\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\ vasen(1-{\frac {1}{5^{s}}}\oikea)\vasen(1-{\frac {1}{3^{s}}}\oikea)\vasen(1-{\ frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1.

Jaamme molemmat puolet kaikella paitsi , saamme: $\zeta (s)$

\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{ 3^{s}}}\oikea)\vasen(1-{\dfrac {1}{5^{s}}}\oikea)\vasen(1-{\dfrac {1}{7^{s}} }\oikea)\vasen(1-{\dfrac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}),

joka voidaan kirjoittaa lyhyemmäksi äärettömänä tulona kaikkien alkulukujen p yli :

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s))}.

Jotta todistus olisi tiukka, tarvitaan vain, että kun , seulottu oikea puoli lähestyy arvoa 1, mikä seuraa välittömästi Dirichlet - sarjan konvergenssista . $\operatorname {Re} s>1$ $\zeta (s)$

Tämä yhtälö on yksi Zeta-funktion pääominaisuuksista.

Ominaisuudet

Jos otamme muodon osittaisten summien asymptoottisen laajennuksen ${\displaystyle {N\rightarrow +\infty ))$ $\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)+{\frac {1}{1-s}} N^{1-s}+{\frac {1}{2}}N^{-s}-{\frac {1}{12}}sN^{-1-s}+\pisteet$ ,

voimassa , se pysyy myös totta kaikille , paitsi niille, joille (nämä ovat zeta-funktion triviaaleja juuria ). Tästä voidaan saada seuraavat kaavat : ${\rm {Re}}\,s>1$ $s$ $2-s\in {\mathbb {N} }$ $\zeta (s)$

$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}\right)$ , klo , paitsi ; ${\rm {Re}}\,s>0$ $s = 1$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}\right)$ , jossa , paitsi tai ; ${\rm {Re}}\,s>-1$ $s = 1$ $0$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+{\frac {1}{12}} sN^{-1-s}\oikea)$ , kanssa , paitsi tai jne. ${\rm {Re}}\,s>-2$ $s = 1$ $0$ $-yksi$

Zeta-funktion arvoille parillisissa kokonaislukupisteissä on eksplisiittiset kaavat: $\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}$ , missä on Bernoullin numero . $\displaystyle B_{{2m}}$

Erityisesti ( käänteinen neliösarja ),

\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90)),\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945)),\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450)),\ \ \zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}

Lisäksi arvo , jossa on polygamma-funktio ; $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\psi$
Zeta-funktion arvoista parittomissa kokonaislukupisteissä tiedetään vähän: niiden oletetaan olevan irrationaalisia ja jopa transsendentaalisia , mutta toistaiseksi (2019) on todistettu vain luvun ζ(3) irrationaalisuus ( Roger Apéry , 1978), ja myös, että arvojen ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) joukossa on ainakin yksi irrationaali lisää [1] .
klo $\operaattorinimi {Re} \,s>1$
- ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$ , missä on Möbius-funktio $\displaystyle \mu(n)$
- ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s }}}$ , missä on Liouville-funktio $\displaystyle \lambda (n)$
- $\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s))}$ , missä on luvun jakajien määrä $\displaystyle \tau (n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n )}}{n^{s}}}$ , missä on luvun alkujakajien määrä $\displaystyle \nu(n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2 })}{n^{s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n)) ^{2}}{n^{s}}}$
klo $\operaattorin nimi {Re} \,s>2$
- ${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^ {s}}}$ , missä on Euler-funktio $\displaystyle \varphi (n)$
$\displaystyle \zeta (s)$ siinä on yksinkertainen napa pisteessä, jonka jäännös on 1. $\displaystyle s=1$
Zeta-funktio täyttää yhtälön: $\displaystyle s\neq 0,s\neq 1$ $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$ ,

missä on Eulerin gammafunktio . Tätä yhtälöä kutsutaan Riemannin funktionaaliseksi yhtälöksi , vaikka jälkimmäinen ei ole sen laatija eikä se, joka ensin tiukasti todisti sen [2] .

\näyttötyyli \gamma (z)

Toiminnan vuoksi $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ zeta(t)$ ,

Riemannin esittelemä tutkimusta varten ja nimeltään Riemmannin x-funktio , tämä yhtälö saa muotonsa:

\displaystyle \zeta (s)

\displaystyle \ \xi (s)=\xi (1 s)

Zeta-funktion nollat

Kuten Riemannin funktionaalisesta yhtälöstä seuraa, puolitasossa funktiolla on vain yksinkertaisia nollia negatiivisissa parillisissa pisteissä: . Näitä nollia kutsutaan zeta-funktion "triviaaleiksi" nollaksi. Lisäksi ihan oikeasti . Siksi kaikki Zeta-funktion "ei-triviaalit" nollat ovat kompleksilukuja. Lisäksi niillä on ominaisuus symmetriaa suhteessa todelliseen akseliin ja suhteessa pystysuoraan ja ne sijaitsevat kaistalla, jota kutsutaan kriittiseksi kaistaksi . Riemmannin hypoteesin mukaan ne ovat kaikki kriittisellä linjalla . $\operaattorinimi {Re} \,s<0$ $\zeta (s)$ $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\pisteet$ $\zeta (s)\neq 0$ $s\in(0,1)$ $\operaattorin nimi {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ $0\leqslant \operaattorinimi {Re} \,s\leqslant 1$ $\operaattorin nimi {Re} \,s={\frac {1}{2}}$

Konkreettiset arvoesitykset

ζ(2)

Kaavasta , jossa on Bernoullin luku , saamme sen . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Muut riviesitykset

Alla on muita sarjoja, joiden summa on [3] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k }}}}\\\end{tasattu}}}

{\begin{aligned}\zeta (2)&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1 )!(j-1)!}{(i+j)!}}\end{aligned}}

On olemassa myös esityksiä Bailey-Borwain-Pluff-kaavan muodosta , joka sallii joissakin numerojärjestelmissä laskea tietueensa :nnen merkin laskematta edellisiä [3] : $\zeta (2)$ $k$

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {27}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{64^{k} }}\left[{\frac {16}{(6k+1)^{2}}}-{\frac {24}{(6k+2)^{2}}}-{\frac {8}{ (6k+3)^{2))}-{\frac {6}{(6k+4)^{2))}+{\frac {1}{(6k+5)^{2))}\ oikea]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {4}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{729^{k} }}\left[{\frac {243}{(12k+1)^{2}}}-{\frac {405}{(12k+2)^{2}}}-{\frac {81}{ (12k+4)^{4))}-{\frac {27}{(12k+5)^{2))}-\oikea.\\-\vasen.{\frac {72}{(12k+ 6 )^{2))}-{\frac {9}{(12k+7)^{2))}-{\frac {9}{(12k+8)^{2))}-{\frac { 5}{(12k+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12k+11)^{2}}}\right]\end{aligned}}

Integraaliesitykset

Alla on kaavat integraaleille , jotka on saatu Riemannin zeta-funktiolla [4] [5] [6] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]& =\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\ frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\ frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\ pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\oikea)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^ {1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}

Jatkuvia murtolukuja

Osa jatkuvista murto-osien esityksistä saatiin Apéryn vakion samankaltaisten esitysten yhteydessä, mikä mahdollistaa sen irrationaalisuuden todistamisen. $\zeta (2)$ $\zeta (3)$

\zeta (2)={\cfrac {2}{1+{\cfrac {1^{4}}{3+{\cfrac {2^{4}}{5+{\cfrac {3^ {4}}{7+{\cfrac {\pisteet }{\pisteet +{\cfrac {n^{4}}{(2n-1)+\pisteet }}))))))))))))))) ))))

[7]

\zeta (2)=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2 ^{2}}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{1+{\cfrac {n\cpiste (n+1)}{1+\pisteet }}}}}}}}}}}}}}}}}

[7]

\zeta (2)={\cfrac {5}{3+{\cfrac {1^{4}}{25+{\cfrac {2^{4}}{69+{\cfrac {3^ {4}}{135+{\cfrac {\pisteet }{\pisteet +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}-11n+3)+\pisteet }}}}}}} }}}}}

[kahdeksan]

\zeta (2)={\frac {5}{3}}+{\cfrac {1}{25+{\cfrac {1^{4}}{69+{\cfrac {2^{4 }}{135+{\cfrac {3^{4}}{223+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}+11n+3 )+\pisteet }}}}}}}}}}}}}

[9]

ζ(3)

Yksi lyhyimmistä esityksistä on , jossa on polygammafunktio . $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\zeta (3)\noin 1,2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553...$ $\psi$

Jatkuvia murtolukuja

Apéryn vakion jatkuva murto -osa (sekvenssi A013631 OEIS : ssä ) on seuraava:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots )))))) }}\;

Stieltjes ja Ramanujan löysivät itsenäisesti ensimmäisen yleistetyn jatkuvan murto -osan Apéryn vakiolle, jolla on säännöllisyys :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\pisteet }{\pisteet +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\pisteet }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}}

Se voidaan muuntaa muotoon:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\pisteet }}}}}}}}}}}}}}}}

Aperi pystyi nopeuttamaan jatkuvan murto-osan konvergenssia vakiolla:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\pisteet }}}}}}}}}}}}}}

[10] [9]

ζ(4)

Kaavasta , jossa on Bernoullin luku , saamme sen . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

ζ(5)

Yksi lyhyimmistä esityksistä on , jossa on polygammafunktio . $\zeta (5)=-{\frac {\psi ^{(4)}(1)}{24))$ $\zeta (5)\noin 1,0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779...$ $\psi$

Yleistykset

Riemannin zeta-funktioon liittyy melko suuri määrä erikoisfunktioita, joita yhdistää Zeta-funktion yleinen nimi ja ovat sen yleistyksiä. Esimerkiksi:

Hurwitz zeta -funktio : $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},$

joka sopii yhteen Riemannin zeta-funktion kanssa, kun q = 1 (koska summaus alkaa 0:sta, ei 1:stä).

Polylogaritmi : $\mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},$

joka on sama kuin Riemannin zeta-funktio, kun z = 1.

Lerchin zeta-funktio : $\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

joka sopii yhteen Riemannin zeta-funktion kanssa, kun z = 1 ja q = 1 (koska summa on 0:sta, ei 1:stä).

Kvanttianalogi ( q -analogi ).

Samankaltaiset rakenteet

Gaussin polun integraalien teoriassa nousee esiin determinanttien regularisointiongelma . Yksi lähestymistapoja sen ratkaisuun on operaattorin zeta-funktion käyttöönotto [11] . Antaa olla ei-negatiivisesti määritelty itseadjoint-operaattori , jolla on puhtaasti diskreetti spektri . Lisäksi on olemassa reaaliluku , jolla operaattorilla on jälki . Sitten operaattorin zeta-funktio määritellään mielivaltaiselle kompleksiluvulle , joka sijaitsee puolitasossa ja voidaan antaa konvergenttisarjalla $A$ $\mathrm {spec} A=\mathrm {diag} \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \}$ $\alpha >0$ $(I+A)^{-\alpha }$ $\zeta _{A}(s)$ $A$ $s$ $\mathrm {Re} s>\alpha$

\zeta _{A}(s)=\sum _{\lambda _{n}\neq 0}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s))}

Jos näin määritelty funktio sallii analyyttisen jatkon verkkotunnukseen, joka sisältää jonkin pisteen lähialueen , niin sen perusteella voidaan määrittää operaattorin regularisoitu determinantti kaavan mukaisesti. $s = 0$ $A$

\det \,'A=e^{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}.

Historia

Reaalimuuttujan funktiona zeta-funktion esitteli vuonna 1737 Euler , joka osoitti sen hajoamisen tuotteeksi. Sitten Dirichlet ja erityisen menestyksekkäästi Chebyshev harkitsivat tätä funktiota tutkiessaan alkulukujen jakautumislakia. Zeta-funktion syvimmät ominaisuudet löydettiin kuitenkin myöhemmin, Riemannin (1859) työn jälkeen, jossa zeta-funktiota pidettiin kompleksisen muuttujan funktiona.

Katso myös

Luettelo kaikista zeta-funktioista

Muistiinpanot

↑ Zudilin V. V. Zeta-funktion arvojen irrationaalisuudesta parittomissa pisteissä // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , nro 2 (338) . — S. 215–216 .
↑ Blagushin Ya. V. Zeta-funktion funktionaalisen yhtälön historia ja eri matemaatikoiden rooli sen todistuksessa // Pietarin matematiikan historian seminaarit. V. A. Steklov RAS. – 2018.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function \zeta(2) . Mathworld . Haettu 29. huhtikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 29. huhtikuuta 2018. (määrätön)
↑ Connon DF, Jotkut sarjat ja integraalit, mukaan lukien Riemannin Zeta-funktio, binomiaaliset kertoimet ja harmoniset luvut (osa I), arΧiv : 0710.4022 .
↑ Weisstein, Eric W. Double Integral . Mathworld . Haettu 29. huhtikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 29. huhtikuuta 2018. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Hadjicostasin kaava . Mathworld . Haettu 29. huhtikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 29. huhtikuuta 2018. (määrätön)
↑ 12 Steven R. Finchin matemaattiset vakiot 1.4.4 . Haettu 10. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 28. marraskuuta 2020. (määrätön)
↑ Jatkuvia murtolukuja Zeta(2) ja Zeta(3) . tpiezas: ALGEBRAISEN Identiteettien kokoelma . Haettu 29. huhtikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 29. huhtikuuta 2018. (määrätön)
↑ 1 2 van der Poorten, Alfred (1979), Todiste siitä, että Euler ohitti ... Apéryn todisteen ζ :n (3) irrationaalisuudesta , The Mathematical Intelligencer osa 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/BF03408 , < https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ Steven R. Finch Matemaattiset vakiot 1.6.6 . Haettu 10. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 28. marraskuuta 2020. (määrätön)
↑ Takhtajyan, 2011 , s. 348.

Kirjallisuus

Derbyshire J. Yksinkertainen pakkomielle. Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. — M.: Astrel, 2010. — 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 . .
Takhtadzhyan L. A. Kvanttimekaniikka matemaatikoille / Kääntänyt englannista Ph.D. S. A. Slavnov . - Toim. 2. - M. -Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", Izhevsk Institute of Computer Research, 2011. - 496 s. - ISBN 978-5-93972-900-0 .
Yanke E., Emde F., Losh F. Erikoisfunktiot: kaavat, kaaviot, taulukot / Per. 6. tarkistetusta saksalaisesta painoksesta, toim. L. I. Sedova. - Toim. Kolmas, stereotypia. - M .: Nauka, 1977. - 344 s.

Linkit

Jonathan Sondow ja Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .