Bianchin erilainen identiteetti

Riemannin tensori täyttää seuraavan identiteetin:

(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{ \;rij}^{s}=0,

jota kutsutaan differentiaaliksi Bianchi -identiteetiksi (tai toiseksi Bianchin identiteetiksi ) differentiaaligeometriassa .

Todistus erityisellä koordinaattijärjestelmällä

Valitsemme yhden mielivaltaisen pisteen monista ja todistamme yhtäläisyyden (1) tässä kohdassa. Koska piste on mielivaltainen, niin identiteetin (1) pätevyys koko joukossa seuraa tästä. $P$ $P$

Pisteessä voimme valita erityisen koordinaattijärjestelmän siten, että kaikki Christoffel-symbolit (mutta ei niiden derivaatat) katoavat siinä pisteessä. Sitten kovarianttijohdannaisille pisteessä, joka meillä on $P$ $P$

(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}.

Koska

(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{ s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p},

sitten siinä kohdassa, joka meillä on $P$

(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}.

Järjestämällä indeksit syklisesti uudelleen kohdassa (4) saadaan vielä kaksi yhtälöä: $ijk$

(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\osittainen _{i}\Gamma _{kr}^{s},

(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}.

On helppo nähdä, että kun lisäät yhtälön (4), (5) ja (6) yhtälön vasemmalle puolelle, saadaan lausekkeen (1) vasen puoli ja oikealla puolella, kun otetaan huomioon osittaisten derivaattojen kommutatiivisuus , kaikki termit kumoavat toisensa ja saamme nollan.

Katso myös

Algebrallinen Bianchin identiteetti