Jäykkä järjestelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. syyskuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Jäykkä tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmä (ODE) on (löyhästi sanottuna) sellainen ODE-järjestelmä, jonka numeerinen ratkaisu eksplisiittisillä menetelmillä (esim. Runge-Kutta- tai Adamsin menetelmällä ) on epätyydyttävä, koska laskelmien määrä (pienellä integrointiaskelilla) tai virheen jyrkän kasvun vuoksi (ns. virheräjähdys) riittämättömän pienellä askeleella. Jäykille järjestelmille on ominaista se, että niille implisiittiset menetelmät antavat parhaan tuloksen, yleensä verrattoman paremman kuin eksplisiittiset menetelmät [1] .

Muodollinen määritelmä

Harkitse Cauchyn ongelmaa muodon autonomiselle ODE- järjestelmälle

{\begin{cases}{\dfrac {d{\mathbf {y}}(x)}{dx}}={\mathbf {F}}({\mathbf {y}}(x)),\quad { \mathbf {F}}({\mathbf {y}})\in C^{p}(\Omega ),\quad \Omega \subset \mathbb{R} ^{m},\\{\mathbf {y }}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}\in \Omega ,\end{cases}}

(yksi)

missä on tuntematon vektorifunktio , on annettu vektorifunktio, on itsenäinen muuttuja, on alkuehto . ${\mathbf {y}}(x)$ ${\mathbf {F}}({\mathbf {y}})$ $x$ ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$

Järjestelmää (1) kutsutaan jäykiksi , jos ratkaisun (1) olemassaoloväliin kuuluvan tietyn segmentin alkuarvot täyttyvät: ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$ $[x_{0},\;x_{{\mathrm {end}}}]$

Jacobi-matriisin ominaisarvojen maksimimoduuli ( spektrisäde ) on rajattu ratkaisua pitkin : $\rho$ ${\mathbf {y}}(x)$

0<L\leqslant \rho \left({\frac {\partial {\mathbf {y))(x)}{\partial x))\right)\leqslant \left\|{\frac {\partial {\ mathbf {y}}(x)}{\partial x}}\right\|=\left\|\left.{\frac {\partial K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi } }\right|_{{\xi =0}}\right\|<+\infty ,\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{{\mathrm {end}}};

on numeroita , , , jotka täyttävät seuraavat ehdot: $\xi _{{\mathrm {b}}}$ $N$ $\nu$

0<\xi _{{\mathrm {b}}}\ll x_{{\mathrm {end}}},\quad N\gg 1,\quad 1\leqslant \nu \leqslant p,\quad 0<\ xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi \leqslant x_{{\mathrm {end}}};

seuraava epätasa-arvo on totta:

\left\|{\frac {\partial ^{\nu }K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi ^{\nu ))}\right\|\leqslant \left({\frac {L}{N}}\oikea)^{\nu }.

Tässä

K(x+\xi,\;x)=X(x+\xi)X^{{-1}}(x);

X(x)

on yhtälön perusmatriisi järjestelmän (1) muunnelmissa ;

\|A\|=\|A\|_{m}=\max _{i}\sum _{{j=1}}^{m}|a_{{ij}}|

on matriisi -normi .

m

\xi _{{\mathrm {b}}}

on rajakerroksen ns. pituus (parametri).

Jäykät differentiaaliset ODE-järjestelmät sisältävät myös järjestelmät, joissa nämä ehdot täyttyvät kunkin ratkaisun vektorikomponenttien skaalauksen jälkeen. ${\mathrm {y}}(x)$

Koska mikä tahansa ei-autonominen ODE-järjestysjärjestelmä voidaan pelkistää autonomiseksi ottamalla käyttöön ylimääräinen aputoiminto, ei-autonomista ODE-järjestelmää kutsutaan jäykiksi , jos sitä vastaava autonominen järjestysjärjestelmä on jäykkä . $m$ $m+1$

Muistiinpanot

↑ Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integration of stiff Equations Arkistoitu 24. syyskuuta 2015 Wayback Machinessa // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - voi. 38(3). - s. 235-243.

Kirjallisuus

Hairer E., Wanner G. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisu. Jäykät ja differentiaalialgebralliset ongelmat / Per. englannista. - M .: Mir, 1999. - 685 s. — ISBN 5-03-003117-0 . .
Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Jäykkien yhtälöiden integrointi // Proceedings of the National Academy of Sciences of USA. - 1952. - voi. 38(3). - s. 235-243.

Jäykkä järjestelmä

Muodollinen määritelmä

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Linkit