Snellin laki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Snellin laki (myös Snell tai Snell ) kuvaa valon taittumista kahden läpinäkyvän aineen rajalla. Se soveltuu myös erityyppisten aaltojen, esimerkiksi ääniaaltojen, taittumisen kuvaukseen. Snellin lain teoreettinen selitys on artikkelissa Taittuminen .

Hollantilainen matemaatikko Willebrord Snellius keksi lain vuonna 1621 [1] . Hieman myöhemmin julkaissut (ja luultavasti itsenäisesti uudelleen löydetty) René Descartes .

Sanamuoto

Valon tulokulma pinnalle on suhteessa taitekulmaan suhteella:

n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2},

missä on sen väliaineen taitekerroin , josta valo osuu rajapinnalle;

n_{1}

\theta _{1}

- valon tulokulma - pintaan tulevan säteen ja pintaan nähden normaalin välinen kulma;

n_{2}

on sen väliaineen taitekerroin, johon valo tulee rajapinnan läpi kulkiessaan;

\theta _{2}

- valon taitekulma - pinnan läpi kulkevan säteen ja pinnan normaalin välinen kulma . Lain johtaminen

Anna sen olla piirustuksen tasossa. Olkoon akseli suunnattu vaakasuoraan, akseli - pystysuoraan. Symmetrianäkökohdista seuraa, että ja (tulevien, heijastuneiden ja taittuneiden aaltojen osalta) on oltava samassa tasossa. $\vec{k}$ $x$ $y$ ${\vec {k}),$ $\vec{k'}$ $\vec{k''}$

Erotetaan tulevasta säteestä tasopolarisoitu komponentti, jossa kulma ja tason välinen kulma on mielivaltainen. Sitten, jos valitsemme alkuvaiheen yhtä suureksi kuin nolla, niin: ${\vec {E}}$

E=E_{m}e^{i(\omega t-{\vec {k}}{\vec {r}})}=E_{m}e^{i(\omega t-k_{ x}x-k_{y}y)};

E'=E'_{m}e^{i(\omega 't-{\vec {k'}}{\vec {r}})}=E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-{\vec {k''}}{\vec {r}})}=E''_{m }e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Tuloksena oleva kenttä ensimmäisessä ja toisessa ympäristössä on vastaavasti:

E_{1}=E+E'=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)}+E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E_{2}=E''=E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

On selvää, että tangentiaalikomponenttien ja on oltava samat rajapinnassa, eli at $E_1$ $E_2$ $y=0.$

Sitten:

E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x)}+E'_{m}e^{i(\omega 'tk'_{x}x+\alpha ')} =E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}x+\alpha '')}.

Jotta viimeinen yhtälö päteisi kaikille , on välttämätöntä, että ja jotta se pätee kaikille , on välttämätöntä, että: $t,$ $\omega = \omega' = \omega''$ $x,$

k_{x}=k'_{x}=k''_{x}\Leftrightarrow k\sin {\alpha }=k'\sin {\alpha '}=k''\sin {\alpha ''}\Leftrightarrow {\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha }={\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha '}={\ cfrac {\omega }{v_{2))}\sin {\alpha ''},

missä ja ovat aallonnopeudet ensimmäisessä ja toisessa väliaineessa, vastaavasti.

v_{1}

v_{2}

Tästä seuraa siis ${\cfrac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha ''}}}={\cfrac {v_{1}}{v_{2}}}=n_{12}\blacksquare .$

Lain soveltamisala

Snellin laki on hyvin määritelty " geometrisen optiikan " tapauksessa, eli siinä tapauksessa, että aallonpituus on tarpeeksi pieni verrattuna taitepinnan mittoihin, se toimii yleisesti ottaen likimääräisen kuvauksen puitteissa, joka on geometrinen optiikka.

Jos sisäinen heijastus on täydellinen (ei ole taittunutta sädettä, tuleva säde heijastuu kokonaan välineiden välisestä rajapinnasta). $n_{1}\sin \theta _{1}>n_{2},$

On huomattava, että anisotrooppisten väliaineiden (esimerkiksi kiteet, joilla on alhainen symmetria tai mekaanisesti epämuodostuneet kiinteät aineet) tapauksessa taittuminen noudattaa hieman monimutkaisempaa lakia. Tässä tapauksessa taittuneen säteen suunnan riippuvuus ei ole mahdollista vain tapahtuman suunnasta, vaan myös sen polarisaatiosta (katso kahtaistaitteisuus ).

Snellin laki ei kuvaa tulevan, taittuneen ja heijastuneen säteen intensiteettien ja polarisaatioiden suhdetta yksityiskohtaisemmissa Fresnel-kaavoissa .

Historiallinen ääriviiva

Ensimmäinen valon taittumissääntö, toisin sanoen taitekulman riippuvuus tulokulmasta, yritti kokeellisesti määrittää kuuluisan muinaisen tähtitieteilijän Claudius Ptolemaioksen tutkielmansa "Optics" viidennessä kirjassa . Ptolemaios mittasi, kuinka taitekulma muuttuu tulokulman mukaan, kun jälkimmäinen muuttuu arvosta toiseen, ja laati taulukot kolmelle väliaineen vaihtovaihtoehdolle: ilma-vesi, ilma-lasi ja vesi-lasi. Esimerkiksi ilma-vesi -tilanteessa Ptolemaioksen taulukko on seuraava (vertailua varten annetaan myös nykyaikaiset tiedot ja virhearvo) [2] [3] : ${\displaystyle 10^{\circ ))$ $80^{\circ },$

Taitekulmat Ptolemaioksen ja nykyajan tietojen mukaan (ilma-vesi)

Tapahtumakulma, astetta	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°
Ptolemaioksen tiedot	8° 0'	15° 30'	22° 30'	29°0'	35° 0'	40° 30'	45° 30'	50° 0'
Moderni data	7° 29'	14° 52'	22° 01'	28° 49'	35° 04'	40° 30'	44° 48'	47° 36'
Virhearvo	+31'	+38'	+29'	+11'	−4'	0'	+42'	+144'

Historioitsijat ovat tulleet siihen johtopäätökseen, että Ptolemaios todella mittasi säteen taipuman vain 60°:n alueella ja kulmat lähellä sitä, koska kaikissa kolmessa taulukossa tälle arvolle virhe on nolla, ja muille kulmille hän suoritti lineaarisen approksimoinnin. hänen valitsemillaan kertoimilla. Todellisuudessa taitekulman riippuvuus tulokulmasta on kuitenkin epälineaarinen, joten Ptolemaios sai suuria virheitä [2] [4] .

1000- luvun arabifyysikko ja tähtitieteilijä Ibn al-Khaytham käsittelee kirjassaan Optics (1021) myös tätä aihetta ja esittää taulukonsa lähellä Ptolemaioksen taulukoita, mutta ei yritä ilmaista vaadittua lakia matemaattisesti. [3] .

Vuonna 1990 arabien tieteen historioitsija Roshdi Rashed , joka on erikoistunut etsimään arabien panoksia maailmantieteeseen, julkaisi artikkelin, jossa hän kertoi löytäneensä kaksi fragmenttia vähän tunnetun tutkijan arabiankielisestä käsikirjoituksesta. kymmenellä vuosisadalla, Ibn Sal , yksi Ibn al-Haythamin opettajista. Rashed raportoi myös pystyneensä rekonstruoimaan tekstin, josta seuraa, että ibn Sal löysi ja muotoili oikein Snellin lain. Rashedin väitteille ei ole vielä saatu riippumatonta vahvistusta. On myös selitettävä, miksi kukaan ibn Salin seuraajista, mukaan lukien hänen oppilaansa Ibn al-Khaytham, ei mainitse tätä perustavanlaatuista saavutusta ja miksi ibn Sal itse ei raportoi millä kokeilla hän osoitti löytönsä [5] [3] .

Euroopassa ensimmäinen taittumislain muotoilu löytyy englantilaisen matemaatikon Thomas Harriotin (1602) julkaisemattomasta käsikirjoituksesta. Saksalainen tähtitieteilijä Johannes Kepler , joka käsitteli sytytyslinssien parhaan muodon valintaa, pyysi Harriotia toimittamaan yksityiskohtia avoimesta laista, mutta Harriot rajoittui lähettämään päivitettyjä taulukoita vedoten siihen, että huono terveys ei sallinut hänen ilmaista laki julkaistavaksi sopivassa muodossa [6] .

Toinen tämän lain julkaisematon löytö tapahtui vuonna 1621, jolloin hollantilainen matemaatikko Willebrord Snell ( Snellius ) kirjoitti muistiin taittumislain nykyistä vastaavassa muodossa: " samassa mediassa tulokulmien kosekanttien suhde ja taittuminen pysyy vakiona ." Äkillinen kuolema vuonna 1626 esti Snelliä julkaisemasta löytöään, mutta hänestä levisi huhuja, ja luonnos Snellin paperista säilyi ja on Amsterdamin yliopiston kirjastossa [7] .

Myöhemmin "Snellin lain" löysi ja julkaisi itsenäisesti René Descartes tutkielmassa Discourse on Method (Dioptric Appendix, 1637). Snellin prioriteetin asetti Christian Huygens vuonna 1703 (käsitelmässään Dioptrics), 77 vuotta Snellin kuoleman jälkeen, jolloin tämä laki oli jo hyvin tiedossa; Huygens perusteli myös ( kirjassa Treatise on Light ) Snellin lain johtamista valon aaltoteoriasta ja Huygens-Fresnelin periaatteesta . Detractors syyttivät Descartesia plagioinnista epäillen, että Descartes kuuli erään Leiden-vierailunsa aikana Snellin löydöstä ja pystyi tutustumaan hänen käsikirjoituksiinsa [8] . Kuitenkaan ei ole näyttöä plagioinnista, ja historioitsijat ovat tutkineet yksityiskohtaisesti Descartesin itsenäistä polkua tähän löytöyn [9] [10] .

Fermatin periaate

Tunnettua periaatetta [11] valonsäteen liikkeestä pitkin kahden pisteen välistä polkua, joka vaatii vähiten aikaa, voidaan käyttää todistamaan taittumislaki. Olkoon valon nopeus kahdessa väliaineessa ja , jolloin liikkeen aika pisteiden A ja B välillä riippuu väliaineen rajalla olevan pisteen P valinnasta: $v_{1}$ $v_{2}$

T={\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(dx)^ {2}}}{v_{2}}}\,.

Tällä funktiolla on minimi, kun sen derivaatta on nolla [12] :

{\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))}+{\frac {- (dx)}{v_{2}{\sqrt {b^{2}+(dx)^{2}}}}}=0\,.

Tässä kulmien sinit voidaan ilmaista kolmioina:

{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))=\sin \alpha \,,\qquad {\frac {dx}{\sqrt {b^{ 2}+(dx)^{2}}}}=\sin \beta

Johdannainen pelkistetään muotoon

{\frac {\sin \alpha }{v_{1))}-{\frac {\sin \beta }{v_{2))}=0\,,

josta se seuraa

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,.

Tämä lauseke on Snellin laki [13] .

Vektorikaava

Olkoon ja tulevan ja taittuneen valonsäteen sädevektorit eli säteiden suunnat osoittavat vektorit, joilla on pituudet ja yksikkönormaalivektori taittuvaan pintaan taitepisteessä. Sitten: $\scriptstyle {\vec {v}}_{1}$ $\scriptstyle {\vec {v}}_{2}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{1}|=n_{1}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{2}|=n_{2},$ $\scriptstyle {\vec {n))$

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+\left({\sqrt {{\frac {n_{2}^{2}-n_{1 }^{2}}{({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}})^{2}}}+1}}-1\oikea)({\vec {v }}_{1}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}.

Muistiinpanot

↑ Snell on latinoitu muoto alkuperäisestä sukunimestä Snell .
↑ 1 2 Bronshten V. A. Claudius Ptolemaios / Resp. toim. A. A. Gurshtein. - M .: Nauka, 1988. - S. 157-161. — 239 s.
^ 1 2 3 Sabra AI (1981), Theories of Light from Descartes to Newton , Cambridge University Press . ( vrt. Pavlos Mihas, Use of History in Developing ideas of refraktion, linses and rainbow , s. 5, Demokritus University, Traakia , Kreikka .)
↑ Ptolemaios (n. 100-n. 170) . Eric Weinsteinin tieteellisen elämäkerran maailma . Haettu 28. heinäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 27. huhtikuuta 2006. (määrätön)
↑ Dr. Gorden Videen . Kenen taittumislaki? Arkistoitu 27. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa , Optics & Photonics News (Toukokuu 2008) Arkistoitu 27. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Kwan, A.; Dudley, J.; Lantz, E. (2002). "Kuka todella löysi Snellin lain?". PhysicsWorld . 15 (4):64. doi : 10.1088/ 2058-7058 /15/4/44 .
↑ Rosenberger F. Fysiikan historia . - M. - L .: GITTL, 1934. - T. 2. - S. 94-95.
↑ Snellius // Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.
↑ 1600-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 32.
↑ Dorfman Ya. G. Fysiikan maailmanhistoria. Muinaisista ajoista 1700-luvun loppuun. - Toim. 3. - M. : LKI, 2010. - S. 198-199. — 352 s. - ISBN 978-5-382-01091-5 .
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. Osa 3: Säteily. Aallot. Quanta. Käännös englannista (Vol. 4). — Pääkirjoitus URSS. — ISBN 5-354-00701-1 .
↑ Landsberg, G.S. Optiikka: oppikirja yliopistoille . - 6. painos stereot. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 252 . — 848 s. — ISBN 5-9221-0314-8 .
↑ Snellin laki // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - 704 s. - 40 000 kappaletta. - ISBN 5-85270-087-8 .

Linkit

Suuren tieteen elementit: Snellin laki