Neliön kuution laki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 30. tammikuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 23 muokkausta .

Neliön kuution laki on seuraava periaate :

jos objekti suhteellisesti (eli samankaltaisuusmuunnolla ) kasvaa (pienenee) kooltaan, sen uusi tilavuus on verrannollinen skaalauskertoimen kuutioon ja sen uusi pinta-ala on verrannollinen neliöön:

v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}= A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\oikea)^{2},

missä: on alkuperäisen kohteen tilavuus, on uusi tilavuus, on alkuperäisen kohteen pinta-ala, on uusi pinta-ala, on alkuperäisen kohteen lineaarinen koko ja on uusi lineaarinen koko. $v_{1}$ $v_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\ell _{1}$ $\ell _{2}$

Esimerkiksi kuution, jonka sivun pituus on 1 metri, pinta-ala on 6 m² ja tilavuus 1 m³. Jos sivun pituus kaksinkertaistuu , sen pinta - ala nelinkertaistuu 24 m²: iin ja tilavuus kasvaa 8 kertaa 8 m³:iin. Tämä periaate koskee kaikkia elimiä.

Tätä lakia sovelletaan tekniikassa ja biomekaniikassa ja se perustuu mittojen matemaattiseen uudelleenlaskentaan. Ensimmäisen kerran Galileo Galilei osoitti sen vuonna 1638 teoksessa Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (" Kahden uuden tieteen keskusteluja ja matemaattisia todisteita ").

Tekniikka

Jos fyysisen esineen kokoa kasvatetaan säilyttäen samalla materiaalin tiheys, josta se on valmistettu, sen massa kasvaa suhteessa kolmanteen potenssiin kasvutekijään, kun taas sen pinta- ala kasvaa suhteessa kappaleen neliöön. mittakaavatekijä. Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että jos suurennetun kohteen pinnan segmentille annetaan sama kiihtyvyys kuin alkuperäiselle, suurennetun kohteen pintaan kohdistuu enemmän painetta .

Harkitse yksinkertaista esimerkkiä - massalla olevalla kappaleella on kiihtyvyys ja pinta-ala , johon tällä kiihtyvyydellä vaikuttava voima. Kiihtyvyyden aiheuttama voima on , ja pintaan kohdistuva paine on Tarkastellaan nyt kohdetta, jonka mitat kerrotaan kertoimella siten, että sen uusi massa on , ja pinnalla, johon voima vaikuttaa, on uusi pinta-ala, . Tällöin kiihtyvyyden aiheuttama uusi voima on yhtä suuri kuin ja tuloksena oleva paine pintaan: $m$ $a$ $S$ $F = ma$ $T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.$ $x$ $m'=x^{3}\cdot m$ $S'=x^{2}\cdot S$ $F'=x^{3}\cdot ma,$

{\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}} =\\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\\end{aligned}}

Näin ollen, kun esineen koko kasvaa samalla, kun säilytetään sama materiaali, josta esine koostuu (ja siten tiheys ) ja kiihtyvyys, sen pinnalle tuottama paine kasvaa samalla kertoimella. Tämä osoittaa, että kun kohdetta suurennetaan, sen kyky vastustaa stressiä heikkenee ja se on helpompi tuhota kiihtyessä.

Tämä selittää, miksi suuret ajoneuvot eivät suoriudu hyvin törmäystesteissä ja miksi korkeille rakennuksille on asetettu korkeusrajoituksia. Samoin mitä suurempi esine on, sitä vähemmän muut esineet vastustavat liikettä, mikä saa sen hidastumaan.

Biomekaniikka

Jos eläimen kokoa kasvatetaan merkittävästi, sen lihasvoima heikkenee huomattavasti, koska sen lihasten poikkileikkaus kasvaa suhteessa skaalauskertoimen neliöön , kun taas sen massa kasvaa suhteessa tämän kuution tekijä. Tämän seurauksena sydän- ja verisuonitoiminnot ovat vakavasti rajoitettuja. Tästä syystä esimerkiksi hyönteiset voivat nostaa paljon enemmän kuin omaa painoaan. Jos lentävien elävien olentojen kokoa kasvatetaan, niiden siipien kuormituksen on lisättävä, ja siksi niiden on läpäistävä useammin , jotta ne säilyttäisivät saman noston . Tämä ei ole helppoa, koska lihasten voima vähenee. Tämä selittää myös sen, miksi kimalaisen ruumiinkoko voi olla suuri verrattuna sen siipien kärkiväliin, kun taas lentävälle eläimelle, joka on paljon kimalaista isompi, tämä olisi mahdotonta. Myös pienikokoisten elävien olentojen ilmanvastus massayksikköä kohti on korkea, joten ne eivät kuole putoaessaan miltä tahansa korkeudelta.

Lisäksi hyönteisten hengityselinten toiminta riippuu kehon pinnan koosta. Kun kehon tilavuus kasvaa, sen pinta-ala ei pysty tarjoamaan hengitystä.

Näistä syistä kauhuelokuvissa näytettävät jättiläishyönteiset, hämähäkit ja muut eläimet ovat epärealistisia, koska niin suuret koot saattaisivat ne tukehtumaan ja romahtamaan. Jättiläiset vesieläimet ( syvänmeren gigantismi ) ovat poikkeus, koska vesi pystyy tukemaan melko suuria olentoja [1] .

J. B. S. Haldane ilmaisi seuraavan mielipiteen jättiläisistä [1] :

Oletetaan, että siellä on 60 jalkaa pitkä miesjättiläinen, kuten paavi ja pakanajättiläiset lapsuuteni saduista. Tällaiset jättiläiset eivät ole vain 10 kertaa korkeampia kuin keskimääräinen ihminen, vaan 10 kertaa leveämpiä ja 10 kertaa tiheämpiä, eli niiden kokonaispaino on 1000 kertaa keskimääräisen ihmisen paino, joten se on 80-90 tonnia. Tällaisten jättiläisten luiden poikkileikkaus on 100 kertaa suurempi kuin keskimääräisen ihmisen luiden poikkileikkaus; siksi jättiläisen luun jokaisen neliötuman on kestettävä 10 kertaa suurempi kuorma kuin keskimääräisen miehen luun neliötuuma. Kun otetaan huomioon, että ihmisen sääriluu katkeaa 10-kertaisen painon alaisena, jättiläisten sääriluu joutuisi murtumaan jokaisella askeleella. Eikö siksi kuvissa, jotka vieläkin muistan, ne näkyvät istuen?

Lämpöprosessit

Neliökution laki pätee myös lämpöprosesseihin: lämmönvaihtopinta kasvaa suhteessa koon neliöön ja lämpöä sisältävä tai tuottava tilavuus kasvaa suhteessa kuutioon. Tämän seurauksena lämpöhäviö esineen tilavuusyksikköä kohti pienenee sen koon kasvaessa ja päinvastoin kasvaa koon pienentyessä. Siksi esimerkiksi varastotilavuuden lämmittämiseen tai jäähdyttämiseen tarvittava energia pienenee varaston koon kasvaessa.

Tekniikassa

Lailla on laaja sovellus teknologiassa. Syynä on esimerkiksi se, että kaksinkertaisen hyötykuorman lentokoneiden luomiseksi olisi turhaa vain suhteellisesti kaksinkertaistaa sen osien koko - suoran skaalauskiellon määrää neliökuutiolaki.

Sähköautot

Jos oletetaan, että sähkökonetta skaalattaessa virrantiheys , magneettinen induktio ja pyörimisnopeus säilyvät , niin kaikkien mittojen kasvaessa kertaa virranvoimakkuus kasvaa 2 kertaa ( suhteessa poikkipinta-alaan johtimista). Magneettivuo kasvaa myös 2 - kertaiseksi (suhteessa magneettipiirin poikkileikkauspinta-alaan), minkä vuoksi käämeissä indusoituva EMF kasvaa myös 2- kertaiseksi .

Toisin sanoen sekä virran voimakkuus että jännite (EMF) kasvavat a 2 -kertaisesti, minkä vuoksi sähköteho (vastaa virran voimakkuuden ja jännitteen tuloa) kasvaa a 4 - kertaiseksi. Tässä tapauksessa lämpöhäviöt kasvavat vain 3 kertaa (suhteessa johtimien tilavuuteen vakiovirrantiheydellä).

Näin ollen sähkökoneen koon kasvaessa sen ominaisteho (massayksikköä kohti) kasvaa suhteessa eikä ominaislämpöhäviö (massayksikköä kohti) muutu, mikä tarkoittaa, että hyötysuhde kasvaa . Samalla lämmönpoisto monimutkaistuu, koska ominaislämpövirta kaikkien pintojen läpi kasvaa suhteellisesti.

Kaikki tämä pätee muuntajiin (vakiovirtataajuudella ) .

Polttomoottorit

Jos yksinkertaisesti lisäämme polttomoottorin kaikkia mittoja kertoimella vakiolla pyörimisnopeudella, niin liikkuvien osien massa kasvaa kertoimella 3 ja kiihtyvyys , jolla ne liikkuvat , kasvaa kertoimella . Siksi kaikki hitausvoimat[ selventää ] kasvaa a 4 -kertaiseksi, ja koska kitkapintojen pinta-ala kasvaa vain 2 - kertaiseksi, niiden ominaiskuormitus kasvaa 2 -kertaiseksi , mikä johtaa niiden nopeaan kulumiseen. Lisäksi kaasujen liikenopeus venttiilien läpi kasvaa kertaa , mikä lisää merkittävästi kaasudynaamista vastusta ja huonontaa sylintereiden täyttöä.

Siksi polttomoottorin suhteellisella lisäyksellä on välttämätöntä vähentää nopeutta suhteellisesti (pitäen männän keskinopeus muuttumattomana). Tällöin hankauspintojen ominaiskuormitus ja kaasujen nopeus venttiilien läpi pysyvät muuttumattomina. Kuitenkin ominaisteho (massayksikköä kohti) ja litran teho pienenevät suhteessa. Tämä moottorin "painotus" voidaan ratkaista lisäämällä sylinterien määrää, mutta tämä vaikeuttaa sen suunnittelua.

Laivanrakennus

Suunnilleen voidaan olettaa, että aluksen liikkeen vastus (vakionopeudella) on verrannollinen rungon poikkileikkauspinta-alaan keskilaivoissa . Näin ollen, kun aluksen kaikki mitat kasvavat kertaa , sen massa kasvaa a 3 -kertaiseksi ja liikevastus kasvaa vain a 2 kertaa. Näin ollen suuremmat alukset ovat taloudellisempia polttoaineenkulutuksen massayksikköä kohti. Lisäksi jos polttoainevarantojen osuus laivan kokonaismassasta pysyy ennallaan, myös matkalentomatka ilman tankkausta kasvaa kertaalleen .

Samasta syystä ilmalaivojen polttoainetehokkuus ja lentoetäisyys kasvavat suhteessa niiden kokoon (toisin kuin lentokoneissa , joissa nämä parametrit määräytyvät pääasiassa niiden aerodynaamisen laadun perusteella ).

Purjealukselle on tärkeää vastustaa purjeiden aiheuttamaa kaatumismomenttia . Kun aluksen kaikkia mittoja kasvaa kertaa , purjeiden pinta-ala kasvaa 2 - kertaiseksi ja niiden luoma voiman kaatumismomentti kasvaa 3 - kertaiseksi (koska voiman varsi myös kasvaa kertaa ). Samaan aikaan telan tasoittava ja rungosta johtuen rullan aikana syntynyt momentti kasvaa a 4 -kertaiseksi (rungon ja syrjäytyneen veden massa kasvaa a 3 -kertaiseksi, kun taas voiman käsi kasvaa kasvaa kertaa ). Siksi yksinkertaisella geometrisella skaalalla suuret purjelaivat kestävät paremmin purjemomentin aiheuttamaa kallistusta. Tästä syystä suuret purjeveneet eivät tarvitse pienille purjeveneille tyypillisiä kehitettyjä painolastikoleja . Toisaalta suuremmassa laivassa, jos suunnittelu pysyy samana, on mahdollista laittaa suhteettoman isomman alueen purjeet ja saada vastaavasti nopeutta.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 J. B. S. Haldane koon tarkoituksenmukaisuudesta Arkistoitu 22. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa

Linkit

Wayne Throop. Sauropodit, norsut, painonnostajat: Muut asiat .
"World Builders: Eläinten koon rajat – koon ja tilavuuden suhde" . (Englanti)
Michael C. LaBarbera. "B-elokuvahirviöiden biologia "