Cauchyn integraalilause

Cauchyn integraalilause on lause kompleksisen muuttujan funktioiden teoriasta .

Lause

Antaa olla verkkotunnus ja antaa funktion olla holomorfinen ja jatkuva sulkemisessa . Sitten jollekin yksinkertaisesti yhdistetylle verkkotunnukselle ja mille tahansa suljetulle Jordan-käyrälle relaatio $D\subset \mathbb {C}$ $f(z)$ $D$ $\overline {D}$ $A\osajoukko {\mathbb C},$ $\Gamma \osajoukko A$ $\oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$

Todiste

Annamme todisteen, kun verkkoalue on yksinkertaisesti yhdistetty ja derivaatta on jatkuva. Cauchyn-Riemannin yhtälöistä seuraa, että differentiaalimuoto on suljettu . Olkoon nyt suljettu itsehajotettu paloittain sileä ääriviiva funktion toimialueen sisällä , joka rajoittaa toimialuetta . Sitten Stokesin lauseella meillä on: $D$ $f$ $f(z)\,dz$ $\Gamma$ $f(z)$ $D$

\int \limits _{{\Gamma }}f(z)\,dz=\int \limits _{{\partial D}}f(z)\,dz=\int \limits _{D}d[f (z)\,dz]=0

Yleistys

Se voidaan myös todistaa ilman lisäoletuksia derivaatan jatkuvuudesta. Todistuksen ideana on, että se riittää osoittamaan differentiaalimuodon antiderivaatin olemassaolon . Tätä varten riittää, kun todistetaan, että minkä tahansa suorakulmion, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa, integraali on yhtä suuri kuin nolla. $f(z)dz$

Jos tämä integraali on nollasta poikkeava ja yhtä suuri kuin luku , leikattaessa suorakulmio 4 yhtä suureen suorakulmioon (jälleen sivuilla koordinaattiakselien kanssa), yhden suorakulmion integraalimoduuli pienenee enintään neljällä. Katkaistaan se ja jatketaan tätä prosessia. Mutta suorakulmioiden sisäkkäisellä sekvenssillä on oltava yhteinen piste , jonka riittävän pienessä ympäristössä . $a$ $s$ $f(z)=f(p)+f'(p)(zp)+o(zp)$

Mutta kahden ensimmäisen termin hyvin läheisen suorakulmion integraali on yhtä suuri kuin nolla, ja viimeisen integraali on liian pieni. Ristiriita vahvistaa lauseen.

Muut

Cauchyn lauseen rajoitettu käänteinen on Moreran lause . Cauchyn lauseen yleistys moniulotteisen kompleksiavaruuden tapaukseen on Cauchyn-Poincarén lause .

Katso myös

Cauchy-Poincarén lause

Kirjallisuus

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. — M .: Nauka . - 1969, 577 sivua.