Tangenttiviiva

Tangenttiviiva on suora viiva, joka kulkee käyrän pisteen läpi ja osuu sen kanssa tässä pisteessä ensimmäiseen kertaluokkaan asti.

Tiukka määritelmä

Olkoon funktio määritelty jossain pisteen naapurustossa ja olkoon siinä differentioituva : . Funktion kaavion tangenttiviiva pisteessä on lineaarisen funktion kuvaaja , joka on annettu yhtälöllä $f\colon U(x_{0})\subset {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in {\mathbb {R))$ .
Jos funktiolla on ääretön derivaatta pisteessä, tangenttiviiva tässä pisteessä on yhtälön antama pystysuora viiva $f$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ $x=x_{0}.$

Huomautus

Määritelmästä seuraa suoraan, että tangenttiviivan kuvaaja kulkee pisteen läpi . Käyrän tangentin ja x-akselin välinen kulma täyttää yhtälön $(x_{0},f(x_{0}))$ $\alpha$

\operaattorinimi {tg}\,\alpha =f'(x_{0})=k,

jossa tarkoittaa tangenttia ja on tangentin kaltevuuskerroin. Derivaata pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä. $\operaattorinimi {tg}$ $\operaattorinimi {k}$ $x_{0}$ $y = f(x)$

Tangentti sekantin raja- asemana

Olkoon ja Sitten pisteiden läpi kulkeva suora viiva saadaan yhtälöstä $f\colon U(x_{0})\to \mathbb{R}$ $x_{1}\in U(x_{0}).$ $(x_{0},f(x_{0}))$ $(x_{1},f(x_{1}))$

y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}) .

Tämä suora kulkee minkä tahansa pisteen läpi ja sen kaltevuus täyttää yhtälön $(x_{0},f(x_{0}))$ $x_{1}\in U(x_{0}),$ $\alpha (x_{1})$

\operaattorinnimi {tg}\,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

Koska funktion derivaatta on olemassa pisteessä , siirtymällä rajaan pisteessä saamme , että on olemassa raja $f$ $x_0,$ $x_{1}\to x_{0},$

\lim \limits _{{x_{1}\to x_{0}}}\operaattorinimi {tg}\,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),

ja johtuen arctangentin jatkuvuudesta ja rajoituskulmasta

\alpha =\operaattorinimi {arctg}\,f'(x_{0}).

Pisteen läpi kulkeva suora viiva, jolla on rajoittava kaltevuuskulma, joka tyydyttää , saadaan tangenttiyhtälöstä: $(x_{0},f(x_{0}))$ $\operaattorinimi {tg}\,\alpha =f'(x_{0}),$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Tangentti ympyrään

Suoraa, jolla on yksi yhteinen piste ympyrän kanssa ja joka on sen kanssa samassa tasossa, kutsutaan ympyrän tangentiksi .

Ominaisuudet

Ympyrän tangentti on kohtisuorassa kosketuspisteeseen piirrettyyn säteeseen nähden.
Yhdestä pisteestä piirretyn ympyrän tangenttien segmentit ovat yhtä suuret ja muodostavat yhtä suuret kulmat tämän pisteen ja ympyrän keskipisteen kautta kulkevan suoran kanssa.
Yksikkösäteen ympyrään piirretyn tangentin segmentin pituus, joka on otettu tangentin ja ympyrän keskustasta vedetyn säteen leikkauspisteen väliltä, on tämän säteen välisen kulman tangentti . ja suunta ympyrän keskustasta kosketuspisteeseen. "Tangens" lat. tangens - "tangentti".

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yksipuoliset puolitangentit

Jos on oikea derivaatta, niin funktion kuvaajan oikeaa puolitangenttia pisteessä kutsutaan säteeksi $f'_{+}(x_{0})<\infty ,$ $f$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.

Jos on vasen derivaatta, niin funktion kuvaajan vasenta puolitangenttia pisteessä kutsutaan säteeksi $f'_{-}(x_{0})<\infty ,$ $f$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.

Jos on ääretön oikea derivaatta, niin funktiokaavion oikeaa puolitangenttia pisteessä kutsutaan säteeksi $f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $f$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).

Jos on ääretön vasen derivaatta, niin funktion kuvaajan oikeaa puolitangenttia pisteessä kutsutaan säteeksi $f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $f$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).

Katso myös

Kirjallisuus

Toponogov VA Kaarien ja pintojen differentiaaligeometria. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Tangentti // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osana (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.