Käyrien differentiaaligeometria

Käyrien differentiaaligeometria on differentiaaligeometrian haara , joka tutkii sileitä spatiaalisia ja tasokäyriä euklidisessa avaruudessa analyyttisin menetelmin .

Tapoja määrittää käyrä

Yleisin tapa asettaa avaruuskäyrän yhtälö on parametrinen :

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad \qquad

(yksi)

missä ovat parametrin ja (säännöllisyyden ehto) sileät funktiot. $x(t),\y(t),\z(t)$ $t$ $(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}\ >0$

Usein on kätevää käyttää käyrän yhtälön muuttumatonta ja kompaktia merkintää vektorifunktiolla :

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)

jossa vasemmalla puolella on käyrän pisteiden sädevektori ja oikea puoli määrittää sen riippuvuuden jostakin parametrista . Laajentamalla tätä merkintää koordinaatteina saamme kaavan (1). $t$

Käyrän määrittävien funktioiden erilaistumisominaisuuksista riippuen puhutaan käyrän tasaisuusasteesta (säännöllisyydestä). Käyrää kutsutaan säännölliseksi , jos jollekin sen pisteestä, sopivalla suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän valinnalla , se sallii tämän pisteen läheisyydessä antaa yhtälöiden muotoa: $x(t),\y(t),\z(t)$ $x,\y,\z$

y=y(x),\ z=z(x)

missä ja ovat differentioituvia toimintoja. $y(x)\$ $z(x)\$

Jotta yleisen yhtälön (1) antama käyrä olisi tavallinen piste (ei singulaaripiste ), riittää, että seuraava epäyhtälö pätee tässä pisteessä

(x')^{{2}}+(y')^{{2}}+(z')^{{2}}\ >0.

Differentiaaligeometria ottaa huomioon myös paloittain sileät käyrät, jotka koostuvat yksittäisillä pisteillä erotetuista sileistä osista. Yksittäisissä pisteissä määrittävät funktiot eivät joko täytä säännönmukaisuusehtoja tai eivät ole lainkaan differentioituvia.

Litteät käyrät

Tärkeä käyrien luokka ovat tasokäyrät, eli käyrät, jotka sijaitsevat tasossa. Tasokäyrä voidaan määrittää myös parametrisesti kahdella ensimmäisellä yhtälöllä (1). Muut menetelmät:

Selkeä tehtävä: . $y=f(x)\$
Implisiittinen tehtävä: . $F(x,\y)=0$

Funktioiden oletetaan olevan jatkuvasti differentioituvia. Implisiittisellä määrityksellä käyrän piste on tavallinen, jos sen naapurissa funktiolla on jatkuvia osittaisia derivaattoja , jotka eivät ole samaan aikaan yhtä suuret kuin nolla. $f,\F$ $F(x,y)\$ $F_{x}',\ F_{y}'$

Annetaan esimerkkejä tasokäyrien singulaaripisteistä.

Puolikuutioinen paraabeli : Molemmat johdannaiset ovat nollia origossa. Tämä on yksittäinen piste (ensimmäisen tyyppinen huippu), jossa tangenttivektori muuttaa äkillisesti suuntaa vastakkaiseen suuntaan. $x=t^{2};\ \ y=at^{3}.$
Yhtälö määrittelee käyrän, joka koostuu suorasta ja eristetystä singulaaripisteestä origossa. $(x-1)(x^{2}+y^{2})\ =0$ $x=1\$

Bernoullin lemniskaatti on yksittäinen piste itsensä leikkauspisteessä. Singulaaripisteessä funktio on differentioituva, mutta säännönmukaisuusehtoa rikotaan.

Ota yhteyttä

Useita käyräteorian peruskäsitteitä esitellään joukon kosketuskäsitteen avulla , joka koostuu seuraavasta. Antaa ja olla kaksi joukkoa, joilla on yhteinen piste . Sarjan sanotaan olevan yhteydessä tilauspisteessä , jos $M$ $m$ $O$ $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$

{\frac {\delta (X)}{\left|XO\right|^({\alpha ))))\arvoon 0

klo ,

X O:lle

missä on asetuspisteen etäisyys . $\delta (X)$ $X$ $M$ $m$

Käyriin sovellettuna tämä tarkoittaa seuraavaa: kahdella yhteisessä pisteessä olevalla käyrällä on vähintään k :nnen kertaluvun tangentti, jos niiden derivaatat yhteisessä pisteessä k :nnen kertaluvun mukaan lukien ovat samat.

Tangentti

Jos otamme käyrän a:na ja käyrän pisteen kautta kulkevan suoran , määrittää kosketusehdon alla käyrän tangentin pisteessä (kuva 1). Tangentti käyrän pisteessä voidaan määritellä myös sekantin raja-asemaksi, joka kulkee sen pisteen läpi ja lähellä sitä, kun se pyrkii . $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$ $O$ $P$ $P$ $P_1$ $P_1$ $P$

Tasaisella säännöllisellä käyrällä on joka pisteessä selvä tangentti. Tangentin suunta yhtälöiden (1) antamassa käyrän pisteessä on sama kuin vektorin suunta . Vektorimerkinnässä tämä on derivaatta . $t_0$ $\{x'(t_{0}),\ y'(t_{0}),\ z'(t_{0})\}$ ${\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}(t_{0})$

Differentiaaligeometriassa tangenttiyhtälöt johdetaan eri tavoille määrittää käyrä analyyttisesti. Erityisesti yhtälöiden (1) antamalle käyrälle tangentin yhtälöt parametrin arvoa vastaavassa pisteessä ovat $t_0$

{\frac {X-x_{0}}{x_{0}'}}={\frac {Y-y_{0}}{y_{0}'}}={\frac {Z-z_{0} }{z_{0}'}}

jossa indeksi ilmaisee funktioiden ja niiden johdannaisten arvon pisteessä . ${}_{0}\$ $x,y,z\$ $t_{0}\$

Tasokäyrällä tangenttiyhtälöllä pisteessä on seuraava muoto. $(x_{0},\ y_{0})$

Parametrinen tehtävä: $Y=y_{0}+{\frac {y_{0}'}{x_{0}'}}(X-x_{0})$
Selkeä tehtävä: $Y=y_{0}+f_{0}'(X-x_{0})\$
Epäsuora työ: $Y=y_{0}-{\frac {(F_{x}')_{0}}{(F_{y}')_{0}}}(X-x_{0})$

Vierekkäinen taso ja normaalit

Jos otetaan tasona, joka kulkee käyrän pisteen kautta , niin kosketusehto at määrittää käyrän kosketustason (kuva 1). Kaksinkertaisesti differentioituvalla käyrällä on vierekkäinen taso jokaisessa pisteessä. Se on joko ainutlaatuinen tai mikä tahansa käyrän tangentin läpi kulkeva taso on tangentti. $m$ $O$ $M$ $\alpha \geqslant 2$

Antaa olla yhtälö käyrän. Sitten sen vierekkäisen tason yhtälö määritetään suhteesta, jossa ja suluissa on vektorien sekatulo . Koordinaateissa se näyttää tältä: ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $(\mathbf {R} -\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',\mathbf {r} '')=0,$ $\mathbf {R} =(X,Y,Z)$

{\begin{vmatrix}Xx&Y-y&Z-z\\x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{vmatrix}}=0

Suoraa, joka on kohtisuorassa tangenttia vastaan ja joka kulkee kosketuspisteen kautta, kutsutaan käyrän normaaliksi . Tasoa, joka on kohtisuorassa tangenttia vastaan käyrän tietyssä pisteessä, kutsutaan normaalitasoksi ; kaikki tietyn pisteen normaalit ovat normaalitasossa. Kosketustasossa olevaa normaalia kutsutaan päänormaaliksi ja kosketustasoon nähden kohtisuoraa normaalia kutsutaan binormaaliksi [ 1] . Myös lyhyyden vuoksi näitä viivoja pitkin olevia yksikkövektoreita voidaan kutsua normaaleiksi ja binormaaleiksi (tässä tapauksessa päänormaalivektorin suunta valitaan yleensä siten, että se osuu yhteen käyrän kaarevuusvektorin suunnan kanssa [2] ).

Binormaalin vektoriyhtälö parametrin arvoa vastaavassa pisteessä on muotoa: $t_0$ $t$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

Päänormaalin suunta voidaan saada kaksoisristitulona : . $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} ']$

Tasokäyrällä sen sisältävä taso osuu tangenttitason kanssa. Normaali, merkkiin asti, on vain yksi - tärkein, ja sen yhtälöllä pisteessä on seuraava muoto. $(x_{0},\ y_{0})$

Parametrinen tehtävä: $Y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(X-x_{0})$
Selkeä tehtävä: $Y=y_{0}-{\frac {X-x_{0}}{f_{0}'}}$
Epäsuora työ: $Y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(X-x_{0})$

Vierekkäinen ympyrä

Ympyrällä , joka koskettaa käyrää tietyssä pisteessä, on järjestyskosketus käyrän kanssa (kuva 2). Se on olemassa nollasta poikkeavan käyrän jokaisessa pisteessä (katso alla) ja se on myös sen läpi kulkevan ympyrän ja kahden sen lähellä olevan pisteen raja, kun se pyrkii . $P$ $\alpha \geqslant 2$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Vierekkäisen ympyrän keskipistettä kutsutaan kaarevuuskeskipisteeksi ja sädettä kaarevuussäteeksi . Kaarevuussäde on kaarevuuden käänteisluku (katso alla). Koskettavan ympyrän keskipiste on aina päänormaalilla; tästä seuraa, että tämä normaali on aina suunnattu käyrän koveruutta kohti.

Käyrän kaarevuuskeskipisteiden paikkaa kutsutaan evoluutioksi . Käyrää, joka leikkaa ortogonaalisesti käyrän tangentit, kutsutaan involuutioksi . Evoluutin ja evoluution konstruktio ovat keskenään käänteisiä operaatioita, eli tietyn käyrän evoluutio on itse käyrä.

Käyrän kaaren pituus

Mielivaltaisen käyrän osan (kaaren) pituuden mittaamiseksi tämä käyrä korvataan moniviivalla, joka sisältää käyrän pisteet katkeamispisteinä, ja kaikkien tällaisten polylinjojen pituuksien maksimisumma otetaan käyrän pituudeksi (kuva 1). 3). Muuttumattomassa muodossa kaaren pituuden laskentakaava ( käyrän suoristaminen ) on:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}|{\mathbf {r'}}(t)|\,dt

Sama suorakulmaisina koordinaateina:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2 }+(z'(t))^{2}}}\,dt.

Tasaisen käyrän napakoordinaateissa:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\, d\theta.

Parametrisointi

Käyrä sallii äärettömän määrän erilaisia tapoja parametrimäärittelyyn muotoa (1) olevilla yhtälöillä. Niistä erityisen tärkeä on ns. luonnollinen parametrisointi , kun parametrina toimii käyrän kaaren pituus jostain kiinteästä pisteestä mitattuna.

Tämän parametroinnin eduista:

${\mathbf {r))'$ on yksikköpituus ja siksi se on sama kuin tangentin yksikkövektori.
${\mathbf {r))''$ on pituudeltaan yhtäpitävä kaarevuuden kanssa ja suunnassa päänormaalin kanssa.

Kaarevuus

Kun liikkuu käyrää pitkin, sen tangentti muuttaa suuntaa. Tämän pyörimisen nopeutta (tangentin kiertokulman suhde äärettömän pienen ajanjakson aikana tähän väliin) tasaisella, yksikkönopeudella, käyrän liikkeellä kutsutaan käyrän kaarevuudeksi . Tangentin positiivisen yksikkövektorin aikaderivaatta kutsutaan tässä tapauksessa käyrän kaarevuusvektoriksi . Molemmat ovat käyrän pisteen funktioita. Kaarevuus on kaarevuusvektorin itseisarvo.

Käyrän mielivaltaisen parametrisen määrityksen [3] tapauksessa käyrän kaarevuus kolmiulotteisessa avaruudessa määritetään kaavalla

k_{1}={\frac {\left|[\mathbf {r} '(t)\times \ \mathbf {r} ''(t)]\right|}{\left|\mathbf { r} '(t)\oikea|^{3}}}

missä on vektorifunktio koordinaatteineen . ${\mathbf {r}}(t)$ $x(t),\y(t),\z(t)$

Koordinaateissa:

k_{1}={\frac {{\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+( y''x'-x''y')^{2}}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{{3/2}} }}

Korkeamman ulottuvuuden avaruudessa olevalle käyrälle voidaan korvata ristitulo , joka on merkitty tässä hakasulkeilla, ulkotulolla .

Voit myös käyttää käyrälle minkä tahansa ulottuvuuden avaruudessa kaarevuusvektorikaavaa:

{\mathbf k}={\frac {d{\mathbf \tau }}{dl}}

ja se, että kaarevuus on sen moduuli, sekä yksikkötangenttivektorin lauseke

{\mathbf \tau }={\frac {d{\mathbf r}}{dl}}={\frac {r'}{|r'|}}

dl=|{\mathbf r}'|dt,

ja hanki kaarevuuskaava:

k=\left|{\frac {1}{|{\mathbf r}'|}}\left({\frac {{\mathbf r}'}{|{\mathbf r}'|}}\oikea) '\oikea|,

tai aloittavat sulut:

k=\left|{\frac {{\mathbf r}''}{({\mathbf r}')^{2))}-{\mathbf r}'{\frac {({\mathbf r}' ',{\mathbf r}')}{({\mathbf r}')^{4))}\right|.

Suorilla viivoilla ja vain suorilla viivoilla ei ole kaarevuutta kaikkialla. Siksi kaarevuus osoittaa selvästi, kuinka (tietyssä pisteessä) käyrä eroaa suorasta: mitä lähempänä kaarevuus on nollaa, sitä pienempi tämä ero on. Ympyrän, jonka säde on R, kaarevuus on 1/R.

Kaksinkertaisesti differentioituvalla käyrällä jokaisessa pisteessä, jossa kaarevuus on nollasta poikkeava, on yksi yhtenäinen taso.

Tasokäyrillä voidaan erottaa tangentin pyörimissuunta käyrää pitkin liikkuessa, joten kaarevuus voidaan osoittaa tämän pyörimissuunnan mukaan. Yhtälöiden antama tasokäyrän kaarevuus määritetään kaavalla $x=x(t),\ y=y(t)$

k=\pm {\frac {y''x'-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{{3/2))))

Merkki tai on sovittu, mutta se säilyy koko käyrällä. $+$ $-$

Vääntö

Kun liikutaan käyrää pitkin tietyn pisteen läheisyydessä, kosketustaso pyörii ja käyrän tangentti on tämän kierron hetkellinen akseli. Kosketustason pyörimisnopeutta tasaisen yksikkönopeuden liikkeen aikana kutsutaan vääntönä . Pyörimissuunta määrää kierteen merkin.

Kolminkertaisesti differentioituvalla käyrällä on tietty vääntö jokaisessa pisteessä, jonka kaarevuus ei ole nolla. Jos käyrä määritellään mielivaltaisesti parametrisesti yhtälöillä (1), käyrän vääntö määritetään kaavalla

k_{2}={\frac {(\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} ''')}{\left|[\mathbf {r} '\ kertaa \ \mathbf {r} '']\right|^{2}}},

tässä tarkoittaa sekoitettua tuotetta ja on vektorituloa , ts. $(*,*,*)$ ${\näyttötyyli [*,*]}$

k_{2}={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''( x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+ (x'y''-x''y')^{2}}}.

Suoralle viivalle vääntöä ei ole määritelty, koska tangenttitaso on määritelty moniselitteisesti. Tasokäyrällä on nolla vääntö jokaisessa pisteessä. Kääntäen, käyrä, jolla on identtinen nolla vääntö, on tasainen.

Frenetin kaavat

Figuuria, joka koostuu tangentista, päänormaalista ja binormaalista sekä kolmesta tasosta, jotka sisältävät nämä suorat pareittain, kutsutaan luonnolliseksi kolmiosaiseksi ( Frenet 's trihedron , katso kuva 4). Tangentti- ja normaalitasot on jo mainittu; kolmatta tasoa, joka sisältää tangentin ja binormaalin, kutsutaan tasasuuntaajaksi .

Jos luonnollisen kolmikon reunat käyrän tietyssä pisteessä otetaan suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän akseleiksi, niin luonnollisen parametrisoinnin käyrän yhtälö laajenee tämän pisteen läheisyydessä sarjaksi koordinaattia pitkin. käyrä:

x=s+\dots ,\qquad y={\frac {k_{1}}{2}}s^{2}+\dots ,\qquad z=-{\frac {k_{1}k_{ 2}}{6}}s^{3}+\pisteet ...,

missä ja ovat käyrän kaarevuus ja vääntö määritetyssä pisteessä. $k_{1}\$ $k_{2}\$

Käyrän tangentin, päänormaalin ja binormaalin yksikkövektorit muuttuvat liikuttaessa käyrää pitkin. Kun näiden vektorien suunta valitaan asianmukaisesti, kaarevuuden ja vääntömäärän määritelmästä saadaan seuraavat kaavat: ${\boldsymbol {{\vec t}}},\ {\boldsymbol {{\vec n}}},\ {\boldsymbol {{\vec b}}}$

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec t)))){ds}}=k_{1}{\boldsymbol {{\vec n}}}

((2))

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec n)))){ds}}=-k_{1}{\boldsymbol {{\vec t}}}+k_{2}{\boldsymbol {{\vec b}}}\qquad

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec b)))){ds}}=-k_{2}{\boldsymbol {{\vec n}}}

jossa differentaatio kulkee käyrän kaarella. Kaavoja (2) kutsutaan Frenet- kaavoiksi tai Frenet -Serret- kaavoiksi .

Kinemaattinen tulkinta

Käsittelemme tietyn käyrän kaaren pituutta ajana ja Frenet-kolmiota jäykkänä kappaleena, joka liikkuu käyrää pitkin. Sitten tämä liike kullakin ajanhetkellä koostuu translaatiosta (tangenttia pitkin) ja hetkellisestä pyörimisestä kulmanopeudella ( Darboux-vektori ). Frenetin kaavat tarkoittavat: ${\boldsymbol {{\vec \omega ))}$

{\boldsymbol {{\vec \omega }}}=k_{1}\ {\boldsymbol {{\vec b}}}+k_{2}\ {\boldsymbol {{\vec t}}}

Tämä tarkoittaa, että hetkellinen kiertovektori sijaitsee tasasuuntaustasossa ja on jaettu 2 komponenttiin: pyöriminen binormaalin ympäri nopeudella (kierto) ja kierto tangentin ympäri nopeudella (torsio). $k_{1}\$ $k_{2}\$

Luonnollisen käyrän yhtälöt

Käyrä, jonka kaarevuus ei ole nolla, määritellään täysin (avaruuden sijaintipaikkaan asti) määrittämällä sen kaarevuus ja vääntö käyrän kaaren funktioina. Tässä suhteessa yhtälöjärjestelmä $s$

k_{1}=k_{1}(s),~~k_{2}=k_{2}(s)

kutsutaan käyrän luonnollisiksi yhtälöiksi .

Esimerkki

Tarkastellaan yhtälöiden antamaa heliksiä (kuva 4):

x(t)=a\ \cos t

y(t)=a\ \sin t

z(t) = b\t

Yllä olevien kaavojen mukaan saamme:

k_{1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}

k_{2}={\frac {b}{a^{2}+b^{2))}

Siten heliksin kaarevuus ja vääntö ovat vakioita. Koska luonnolliset yhtälöt määrittävät yksiselitteisesti käyrän muodon, ei ole muita käyriä, joilla on vakio kaarevuus ja vääntö. Kierteen rajatapaukset ovat ympyrä (se saadaan kohdassa ) ja suora ( ). $b=0\,\!$ $a=0\,\!$

Muistiinpanot

↑ Binormaali // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
↑ Taso, joka koskettaa käyrää tietyssä pisteessä, on siis taso, jossa tangenttivektori ja kaarevuusvektori sijaitsevat, olettaen, että kukin näistä vektoreista on peräisin käyrän annetusta pisteestä.
↑ eli kun liikkuu käyrää pitkin yleisesti ottaen, ei vakionopeudella parametrin t kasvaessa .

Katso myös

Kirjallisuus

Pogorelov A. V. Differentiaaligeometria (6. painos). Moskova: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Differentiaaligeometrian kurssi (3. painos). M.-L.: GITTL, 1950.
Toponogov, V. A. Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .