Konjugaatioluokka
Konjugaatioluokka on joukko ryhmän elementtejä, jotka on muodostettu tiettyyn ryhmään konjugoiduista elementeistä , eli kaikista muodon alkioista , jossa on mielivaltainen ryhmän elementti .
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![hgh^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f122a972848120fa9849267b40ffd5b3dbb19232)
![h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Elementin konjugaatioluokka voidaan merkitä , tai .
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![[g]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6545341f409fd77429f02ba8bb88e4445bc2002a)
![{\displaystyle g^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab61469635c0f9fc7e433496af70b4a089d256b)
![{\mathrm {Cl}}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42517f78a32206622aa6dda64509447b9bdb8ac8)
Määritelmä
Elementtejä ja ryhmiä kutsutaan konjugaateiksi , jos on elementti , jolle . Konjugaatio on ekvivalenssisuhde ja jakautuu siksi ekvivalenssiluokkiin , mikä tarkoittaa erityisesti sitä, että ryhmän jokainen elementti kuuluu täsmälleen yhteen konjugaatioluokkaan, ja luokat ja ovat samat , jos ja ovat konjugoituja, eivätkä leikkaa muuten .
![g_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1)
![g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![h\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c938e8bf0bc7fa38baf00c88fa8aa6acf633f823)
![hg_{1}h^{{-1}}=g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3343907829ccb4e43f370394a43f2fd584c0c4)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![[g_{1}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8c586017aafbc5333c62867de8c6acec12d12d)
![{\displaystyle [g_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1f4a2f280c149a15dcf2b6f888dc23ecdbf89e)
![g_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1)
![g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b)
Muistiinpanot
Esimerkkejä
- Symmetrisellä ryhmällä , joka koostuu kaikista kuudesta kolmen elementin permutaatiosta, on kolme konjugaatioluokkaa:
![S_{3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e15f3e200aaa247f69c43110cc5a09ecc91b89)
- järjestys ei muutu ( , "1A"),
![abc\to abc](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce03bb875edc85d3b2c736fb16651a665f1c5dc4)
- kahden elementin permutaatio ( , , , "3A"),
![abc\to acb](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ed26f1c57b2ede401f7ef7ee39fdc28bc17dd3)
![abc\to bac](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468fb000933b42dd6846761d06f93bfcea008c57)
![abc\to cba](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a3865565209990194c5b81f67b5a3017324679)
- kaikkien kolmen elementin syklinen permutaatio ( , , "2A").
![abc\to bca](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438c4c57237fd8f3882d2d71649b44da82e50707)
![abc\taksiin](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d5338d009a4ea71222247445f10a7d80197805)
- Symmetrisellä ryhmällä , joka koostuu kaikista neljän elementin 24 permutaatiosta, on viisi konjugasioluokkaa:
![S_4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1632bc1d95d33ccb5473b9d8cc333c2dd0d13a)
- järjestys ei muutu (1 permutaatio): , "1A" tai "(1) 4 ";
![\{\{1,2,3,4\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c433033a7808f5e415a6e8f683aed6fc7b8a1805)
- kahden elementin permutaatio (6 permutaatiota): , "6A" tai "(2)";
![\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63e05978d7b180ad558ecaa0ce75fd9224a8925)
- kolmen elementin syklinen permutaatio (8 permutaatiota): , "8A" tai "(3)";
![\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a69d2e9e512f2fda05dcf739d5a4d701ef91a1c)
- kaikkien neljän elementin syklinen permutaatio (6 permutaatiota): , "6B" tai "(4)";
![\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1851c3cc987b42c2698f6dc70e0a3f6090d856)
- parillinen permutaatio (3 permutaatiota): , "3A" tai "(2)(2)".
![\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0465e5edf4fc0a20da2bab625e34b7a7f601d8)
- Yleisessä tapauksessa konjugasiteettiluokkien lukumäärä symmetrisessä ryhmässä on yhtä suuri kuin luvun osioiden lukumäärä , koska kukin konjugasioluokka vastaa täsmälleen yhtä permutaation osiota jaksoiksi [ en .
![S_{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![\{1,2,\pisteet ,n\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b43a8431dde909b1835b098104af537dc78125)
Ominaisuudet
- Neutraali elementti muodostaa aina oman luokkansa
![[e]=\{e\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1038e4cb6bb735e89ef5bfecb01f1582a6cc0c23)
- Jos on Abelin , Sitten , siis kaikille ryhmän elementeille.
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![{\displaystyle \forall {g,h\in G}\ghg^{-1}=h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c73807f5498c48eebb36b7fb31b783bb1c05388)
![[g]=\{g\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71aeb186d39fa0e0f8e825da71d775b0f5077a1f)
- Jos kaksi elementtiä ja ryhmää kuuluvat samaan konjugasiteettiluokkaan, niillä on sama järjestys .
![g_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1)
![g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
- Yleisemmin sanottuna mikä tahansa ryhmäteoreettinen väite elementistä vastaa lausetta elementistä , koska konjugaatio on ryhmän
automorfismi .![\pi (g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a7ee07121e0e1b6fa039e9c8805b27e9415674)
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![h\in[g]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dd8238b69264bcdaf8686d4e103c69f8239b91)
![x\to xgx^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1e81f64546571f89f955f7ba5485393a5ca633)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Elementti on keskellä silloin ja vain, jos sen konjugaatioluokka koostuu yhdestä alkiosta: .
![Z(G)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a45cef6993e3ea964232c8014e96998bb0aa3d0)
keskittäjä ) on yhtä suuri kuin konjugaatioluokan alkioiden lukumäärä ( radan stabilointilauseen mukaan ).![Z_{G}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87d00af9887be9ac1736112396eb0de0d0f17ca)
![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
Jos ja ovat konjugoituja, niin niiden voimat ja ovat myös konjugoituja .![g_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1)
![g_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b)
![g_{1}^{k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a1e7c057d1cb0d250e7d22b126ab7acf994b2e)
- Ryhmän mille tahansa elementille konjugaattisuusluokan yksi-yhteen elementit vastaavat keskittimen konjugaatioluokkia , todellakin, jos , niin joillekin , mikä johtaa samaan konjugaattielementtiin: . Erityisesti:
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![Z_{G}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87d00af9887be9ac1736112396eb0de0d0f17ca)
![h_{1}\in [t_{2}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e20a12c93365cc725d3c1fcbdc31ad71127ff7)
![{\displaystyle h_{1}=h_{2}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd78278e14fdb04e2313585d2b931bab2c2f1668)
![z\in Z_{G}(g)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b480b423d881faccb8fd808e68a749b1248a716)
äärellinen ryhmä , niin konjugaattisuusluokan alkioiden lukumäärä on keskittäjän indeksi .![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![[g]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6545341f409fd77429f02ba8bb88e4445bc2002a)
![[G:Z_{G}(g)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641912fb66a3f6e3a5794c42a0b3a7fd2e16e52f)
- Kunkin konjugaatioluokan järjestys on ryhmän järjestyksen jakaja.
Ryhmän järjestys on kunkin konjugaatioluokan valitun edustajan keskittäjien indeksien summa: . Ottaen huomioon sen tosiasian, että ryhmän keskittäjä muodostaa konjugaatioluokan yhdestä elementistä (itsestään), tämä suhde, jota kutsutaan konjugaatioluokkien yhtälöksi [2] , kirjoitetaan seuraavasti:
![g_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce36142a0a1c6660e82bdf3ef3f1551317efe0c)
![|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591b26d836373f76ba84ea770426b946ae08bec0)
![Z(G)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a45cef6993e3ea964232c8014e96998bb0aa3d0)
,
jossa summa on otettu kaikkiin kunkin konjugaatioluokan edustajiin, jotka eivät kuulu keskustaan.
- Oletetaan esimerkiksi äärellinen -ryhmä (eli ryhmä, jonka järjestys on , jossa on alkuluku ja ). Koska minkä tahansa konjugaatioluokan järjestyksen on jaettava ryhmän järjestys, jokaisella konjugasuusluokalla on myös kertaluku, joka on yhtä suuri kuin jokin potenssi ( ), ja sitten konjugasuusluokkien yhtälöstä seuraa, että:
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![p^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
![s](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![n>0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96)
![Hei](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd0312f590cc5a400008938f3cc304d42ad3986)
![p^{{k_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2dbbd8ba2fef6af18af37b592eeaffb5aafbec5)
![0<k_{i}<n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24471a898242877804bdbb1f3efb5955c5d9901f)
![|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca14c10026937785c6f8729358653de54dee6d0a)
,
tämä puolestaan tarkoittaa, että luvun on jaettava , joten kaikille äärellisille -ryhmille, eli konjugaattisuusluokkien yhtälö mahdollistaa sen, että voimme todeta, että millä tahansa äärellisellä -ryhmällä on ei-triviaalikeskus.
![s](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![|Z(G)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8e89dd49073b3c359fc377418d1b374d8cde13)
![|Z(G)|>1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a08e0412d7b4000138ac04c323e4b8bb97ad6d)
![s](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Muunnelmia ja yleistyksiä
Mielivaltaiselle osajoukolle (ei välttämättä aliryhmälle) osajoukkoa kutsutaan konjugaatiksi , jos on jokin elementti , joka on sellainen, että . Tässä tapauksessa konjugaatioluokka on kaikkien osajoukkojen joukko siten, että jokainen on konjugaatti .
![S\subseteq G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661adc96925066de10003e726886d8238cea7302)
![T\subseteq G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1a18be292edceb145cdf85ee6afb495f6f2aa8)
![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
![g\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
![T=gSg^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a914aa540aadd5abab0ffd1f09afafc8096f3592)
![[S]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292bbb82029aa583c5d2ac5fa1d7e4fedf537d8b)
![T\subseteq G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1a18be292edceb145cdf85ee6afb495f6f2aa8)
![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
Laajalti käytetty lause on, että mille tahansa ryhmän tietylle osajoukolle sen normalisoijan joukkoindeksi on yhtä suuri kuin sen konjugaatioluokan järjestys :
![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
![N(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3ea80ce89011c04b5ef106c35f78179384c6da)
![[S]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292bbb82029aa583c5d2ac5fa1d7e4fedf537d8b)
![|[S]|=[G:N(S)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5c18b7418af781578804989edc1004606a22ad)
.
Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että for holds: jos ja vain jos , eli ja sisältyy samaan normalisaattorin viereisyysluokkaan .
![g,h\in G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23eaf33f751fae514c9b3e99dfb98a7718241dda)
![gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b889438c962328341e23daf11f9cd254c522fa)
![g^{{-1}}h\in N(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507cd6e6e8bf497d0fbc3a0018acafa894f9ec82)
![g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
![h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
![N(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3ea80ce89011c04b5ef106c35f78179384c6da)
Alaryhmät voidaan jakaa konjugaatioluokkiin siten, että kaksi alaryhmää kuuluvat samaan luokkaan silloin ja vain, jos ne ovat konjugaatteja. Konjugaattialaryhmät ovat isomorfisia , mutta isomorfisten alaryhmien ei tarvitse olla konjugoituja. Esimerkiksi Abelin ryhmä voi sisältää kaksi erillistä isomorfista alaryhmää, mutta ne eivät koskaan konjugoidu.
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ Säleikkö, 2007 , s. 56.
- ↑ Säleikkö, 2007 , s. 57.
Kirjallisuus
- Pierre Antoine Grillet. abstrakti algebra. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 978-0-387-71567-4 .