Konjugaatioluokka

Konjugaatioluokka on joukko ryhmän elementtejä, jotka on muodostettu tiettyyn ryhmään konjugoiduista elementeistä , eli kaikista muodon alkioista , jossa on mielivaltainen ryhmän elementti . $G$ $g\in G$ $hgh^{{-1}}$ $h$ $G$

Elementin konjugaatioluokka voidaan merkitä , tai . $g\in G$ $[g]$ $g^{G}$ ${\mathrm {Cl}}(g)$

Määritelmä

Elementtejä ja ryhmiä kutsutaan konjugaateiksi , jos on elementti , jolle . Konjugaatio on ekvivalenssisuhde ja jakautuu siksi ekvivalenssiluokkiin , mikä tarkoittaa erityisesti sitä, että ryhmän jokainen elementti kuuluu täsmälleen yhteen konjugaatioluokkaan, ja luokat ja ovat samat , jos ja ovat konjugoituja, eivätkä leikkaa muuten . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h\in G$ $hg_{1}h^{{-1}}=g_{2}$ $G$ $[g_{1}]$ $[g_{2}]$ $g_{1}$ $g_{2}$

Muistiinpanot

Konjugaatioluokat voidaan määritellä myös ryhmän toiminnan kiertoradiksi itseensä kaavan [1] antamien konjugaatioiden avulla . $(g,m)=gmg^{{-1}}$

Esimerkkejä

Symmetrisellä ryhmällä , joka koostuu kaikista kuudesta kolmen elementin permutaatiosta, on kolme konjugaatioluokkaa: $S_{3}$
- järjestys ei muutu ( , "1A"), $abc\to abc$
- kahden elementin permutaatio ( , , , "3A"), $abc\to acb$ $abc\to bac$ $abc\to cba$
- kaikkien kolmen elementin syklinen permutaatio ( , , "2A"). $abc\to bca$ $abc\taksiin$

Symmetrisellä ryhmällä , joka koostuu kaikista neljän elementin 24 permutaatiosta, on viisi konjugasioluokkaa: $S_4$
- järjestys ei muutu (1 permutaatio): , "1A" tai "(1) 4 "; $\{\{1,2,3,4\}\}$
- kahden elementin permutaatio (6 permutaatiota): , "6A" tai "(2)"; $\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}$
- kolmen elementin syklinen permutaatio (8 permutaatiota): , "8A" tai "(3)"; $\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}$
- kaikkien neljän elementin syklinen permutaatio (6 permutaatiota): , "6B" tai "(4)"; $\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}$
- parillinen permutaatio (3 permutaatiota): , "3A" tai "(2)(2)". $\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}$

Yleisessä tapauksessa konjugasiteettiluokkien lukumäärä symmetrisessä ryhmässä on yhtä suuri kuin luvun osioiden lukumäärä , koska kukin konjugasioluokka vastaa täsmälleen yhtä permutaation osiota jaksoiksi [ en . $S_{n}$ $n$ $\{1,2,\pisteet ,n\}$

Ominaisuudet

Neutraali elementti muodostaa aina oman luokkansa $[e]=\{e\}$
Jos on Abelin , Sitten , siis kaikille ryhmän elementeille. $G$ $\forall {g,h\in G}\ghg^{-1}=h$ $[g]=\{g\}$
Jos kaksi elementtiä ja ryhmää kuuluvat samaan konjugasiteettiluokkaan, niillä on sama järjestys . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$
- Yleisemmin sanottuna mikä tahansa ryhmäteoreettinen väite elementistä vastaa lausetta elementistä , koska konjugaatio on ryhmän
automorfismi . $\pi (g)$ $g\in G$ $h\in[g]$ $x\to xgx^{{-1}}$ $G$

Elementti on keskellä silloin ja vain, jos sen konjugaatioluokka koostuu yhdestä alkiosta: .

g\in G

Z(G)

[g]=\{g\}

Yleisemmin: aliryhmän indeksi ( tietyn elementin

keskittäjä ) on yhtä suuri kuin konjugaatioluokan alkioiden lukumäärä ( radan stabilointilauseen mukaan ).

Z_{G}(g)

g

[g]

Jos ja ovat konjugoituja, niin niiden voimat ja ovat myös konjugoituja .

g_{1}

g_{2}

g_{1}^{k}

g_{2}^{k}

Ryhmän mille tahansa elementille konjugaattisuusluokan yksi-yhteen elementit vastaavat keskittimen konjugaatioluokkia , todellakin, jos , niin joillekin , mikä johtaa samaan konjugaattielementtiin: . Erityisesti: $g\in G$ $[g]$ $Z_{G}(g)$ $h_{1}\in [t_{2}]$ $h_{1}=h_{2}z$ $z\in Z_{G}(g)$ $h_{1}gh_{1}^{-1}=h_{2}zg(h_{2}z)^{-1}=h_{2}zgz^{-1}h_{2}^ {-1}=h_{2}zz^{-1}gh_{2}^{-1}=h_{2}gh_{2}^{-1}$
- Jos on
äärellinen ryhmä , niin konjugaattisuusluokan alkioiden lukumäärä on keskittäjän indeksi . $G$ $[g]$ $[G:Z_{G}(g)]$
Kunkin konjugaatioluokan järjestys on ryhmän järjestyksen jakaja.

Ryhmän järjestys on kunkin konjugaatioluokan valitun edustajan keskittäjien indeksien summa: . Ottaen huomioon sen tosiasian, että ryhmän keskittäjä muodostaa konjugaatioluokan yhdestä elementistä (itsestään), tämä suhde, jota kutsutaan konjugaatioluokkien yhtälöksi [2] , kirjoitetaan seuraavasti:

g_i

|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

Z(G)

|G|=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

jossa summa on otettu kaikkiin kunkin konjugaatioluokan edustajiin, jotka eivät kuulu keskustaan.

Oletetaan esimerkiksi äärellinen -ryhmä (eli ryhmä, jonka järjestys on , jossa on alkuluku ja ). Koska minkä tahansa konjugaatioluokan järjestyksen on jaettava ryhmän järjestys, jokaisella konjugasuusluokalla on myös kertaluku, joka on yhtä suuri kuin jokin potenssi ( ), ja sitten konjugasuusluokkien yhtälöstä seuraa, että: $s$ $G$ $p^{n}$ $s$ $n>0$ $Hei$ $p^{{k_{i}}}$ $0<k_{i}<n$

|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}

, tämä puolestaan tarkoittaa, että luvun on jaettava , joten kaikille äärellisille -ryhmille, eli konjugaattisuusluokkien yhtälö mahdollistaa sen, että voimme todeta, että millä tahansa äärellisellä -ryhmällä on ei-triviaalikeskus.

s

|Z(G)|

|Z(G)|>1

s

s

Polkukytketyn topologisen avaruuden perusryhmän konjugasiteettiluokkia voidaan pitää vapaiden silmukoiden ekvivalenssiluokina vapaassa homotopiassa.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Mielivaltaiselle osajoukolle (ei välttämättä aliryhmälle) osajoukkoa kutsutaan konjugaatiksi , jos on jokin elementti , joka on sellainen, että . Tässä tapauksessa konjugaatioluokka on kaikkien osajoukkojen joukko siten, että jokainen on konjugaatti . $S\subseteq G$ $T\subseteq G$ $S$ $g\in G$ $T=gSg^{{-1}}$ $[S]$ $T\subseteq G$ $T$ $S$

Laajalti käytetty lause on, että mille tahansa ryhmän tietylle osajoukolle sen normalisoijan joukkoindeksi on yhtä suuri kuin sen konjugaatioluokan järjestys : $S$ $G$ $N(S)$ $[S]$

|[S]|=[G:N(S)]

Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että for holds: jos ja vain jos , eli ja sisältyy samaan normalisaattorin viereisyysluokkaan . $g,h\in G$ $gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}$ $g^{{-1}}h\in N(S)$ $g$ $h$ $N(S)$

Alaryhmät voidaan jakaa konjugaatioluokkiin siten, että kaksi alaryhmää kuuluvat samaan luokkaan silloin ja vain, jos ne ovat konjugaatteja. Konjugaattialaryhmät ovat isomorfisia , mutta isomorfisten alaryhmien ei tarvitse olla konjugoituja. Esimerkiksi Abelin ryhmä voi sisältää kaksi erillistä isomorfista alaryhmää, mutta ne eivät koskaan konjugoidu.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Säleikkö, 2007 , s. 56.
↑ Säleikkö, 2007 , s. 57.

Kirjallisuus

Pierre Antoine Grillet. abstrakti algebra. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 978-0-387-71567-4 .