Äärellinen p-ryhmä

Ryhmää kutsutaan äärelliseksi ryhmäksi $s$ , jos sen järjestys on yhtä suuri kuin jokin alkuluvun potenssi .

Äärillisten p-ryhmien perusominaisuudet

Olkoon siis äärellinen -ryhmä $P$ $s$

P on tehoton .
$|Z(P)|>1$ , missä on ryhmän P keskus . $Z(P)$
Jokaiselle on olemassa normaali järjestyksen alaryhmä . $1\leq k<n$ $P$ $p^{k}$
Jos on normaalia , niin . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
$P'\leq \Phi (P)$ .
$P/\Phi (P)\cong E_{p^{d))$ .

Jotkut äärellisten p-ryhmien luokat

Tässä osiossa kuvataan joidenkin tieteellisessä kirjallisuudessa usein käsiteltyjen äärellisten -ryhmien määritelmiä ja ominaisuuksia. $s$

maksimaalisen luokan p-ryhmät

Äärillistä järjestysryhmää kutsutaan maksimaalisen luokan ryhmäksi, jos sen nilpotenssiluokka on yhtä suuri kuin . $s$ $p^{n}$ $n-1$

Jos on äärellinen maksimaalisen luokan ryhmä, niin ja . $P$ $s$ $P'=\Phi (P)$ $|Z(P)|=p$

Ainoat 2 maksimaalisen luokan ryhmää ovat: kaksitahoinen ryhmä , yleistetty kvaternioryhmä ja puolitasainen ryhmä . $2^{n}$ $D_{2^{n))$ $Q_{2^{n))$ $SD_{2^{n))$

Toisin kuin 2-ryhmässä, p>2:n maksimiluokan p-ryhmien tapaus on paljon monimutkaisempi.

p-keskus p-ryhmät

Äärillistä ryhmää kutsutaan -keskiseksi jos . Käsite on tietyssä mielessä kaksijakoinen käsitteen kanssa voimakas -ryhmä. $s$ $s$ $\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$ $s$

Tehokkaat p-ryhmät

Äärillistä ryhmää kutsutaan voimakkaaksi if for ja for . Käsite on tietyssä mielessä kaksoisryhmä -keskusryhmän käsitteen kanssa . $s$ ${\näyttötyyli [P,P]\leq P^{p))$ $p\neq 2$ $[P,P]\leq P^{4}$ $p = 2$ $s$ $s$

Tavalliset p-ryhmät

Äärillistä ryhmää kutsutaan säännölliseksi , jos , missä , pätee mille tahansa . Esimerkiksi kaikki Abelin -ryhmät ovat säännöllisiä. Ryhmää, joka ei ole säännöllinen, kutsutaan epäsäännölliseksi . $s$ $P$ $x,y\in P$ ${\näyttötyyli (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p))$ $c\in P'$ $s$

Mikä tahansa säännöllisen -ryhmän alaryhmä ja tekijäryhmä on säännöllinen . $s$
Äärillinen -ryhmä on säännöllinen, jos jokin sen kahden elementin muodostamista aliryhmistä on säännöllinen. $s$
Korkeintaan äärellinen järjestysryhmä on säännöllinen. $s$ ${\displaystyle p^{p))$
Äärillinen -ryhmä, jonka nilpotenssiluokka on pienempi kuin säännöllinen. Myös kaikki nilpotenssiluokan 2 ryhmät ovat säännöllisiä . $s$ $s$ $p>2$
Mikä tahansa äärellinen ei-Abelin 2-ryhmä on epäsäännöllinen.

Pienten tilausten rajalliset p-ryhmät

Erillisten tilausryhmien määrä $s$ $p^{n}$

Ei- isomorfisten järjestysryhmien lukumäärä on 1: ryhmä . $s$ $C_{p}$
Ei-isomorfisten järjestysryhmien lukumäärä on 2: ryhmät ja . $p^{2}$ $C_{p^{2))$ $C_{p}\times C_{p}$
Järjestyksen ei-isomorfisten ryhmien lukumäärä on 5, joista kolme on Abelin ryhmiä: , , ja kaksi ei-abelialaisia: for - ja ; kun p = 2 - , . $p^{3}$ $C_{p^{3))$ $C_{p^{2}}\times C_{p}$ ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p))$ $p>2$ $E_{p^{3}}^{+}$ $E_{p^{3}}^{-}$ $D_{4}$ $Q_8$
Ei-isomorfisten järjestysryhmien lukumäärä on 15 , järjestysryhmien lukumäärä on 14. ${\displaystyle p^{4))$ $p>2$ $2^4$
Ei-isomorfisten järjestysryhmien lukumäärä on yhtä suuri kuin . Tilausryhmiä on 51, tilausryhmiä 67. $p^{5}$ ${\näyttötyyli 2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)}$ $p\geq 5$ $2^{5}$ $3^{5}$
Ei-isomorfisten järjestysryhmien lukumäärä on yhtä suuri kuin . Tilausryhmiä on 267, tilausryhmiä 504. $p^{6}$ $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1.3)+11GCD(p-1.4)+2GCD(p-1.5)$ $p\geq 5$ $2^6$ $3^{6}$
Ei-isomorfisten järjestysryhmien lukumäärä on yhtä suuri kuin . Tilausryhmiä on 2328, tilausryhmiä 9310, tilausryhmiä 34297. $p^{7}$ $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1, 8)+GCD(p-1,9)$ $p>5$ $2^7$ $3^{7}$ $5^{7}$

järjestyksen p-ryhmät , asymptotiikka $p^{n}$

Sillä ei-isomorfisten järjestysryhmien lukumäärä on asymptoottisesti yhtä suuri kuin . $n\rightarrow\infty$ $p^{n}$ $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3))$

Kuuluisia ongelmia äärellisten p-ryhmien teoriassa

Äärillisen p-ryhmän automorfismiryhmä

Ryhmille , jotka ovat äärellisen -ryhmän automorfismeja , on olemassa yksinkertaiset ylärajat, mutta alarajat ovat paljon monimutkaisempia. Yli puolen vuosisadan ajan seuraava hypoteesi on pysynyt avoimena: $s$ $s$

Antaa olla ei-syklinen -ryhmä järjestys Sitten . $P$ $s$ $|P|\geq p^{3}$ $|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$

Tämä olettamus vahvistuu suurelle -ryhmien luokalle : Abelin ryhmät, kaikille luokkaryhmille enintään , maksimiluokan ryhmät. Yleistä lähestymistapaa tähän ongelmaan ei kuitenkaan ole vielä löydetty. $s$ $p^{7}$

Higmanin hypoteesi

J. Thompson osoitti hyvin tunnetun lauseen, jonka mukaan äärellinen ryhmä, jolla on säännöllinen alkujärjestyksen automorfismi, on nilpotentti. $q$

Olkoon ryhmällä säännöllinen alkujärjestyksen automorfismi . Sitten sen nilpotenssiluokka on . $P$ $q$ $cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4))$

Toistaiseksi on todistettu vain paljon heikompia arvioita: (Kostrikin, Kreknin). ${\displaystyle cl(P)<q^{q))$

Heikentynyt Burnside-oletus

Burnsiden olettamus oli, että jos on olemassa ryhmä generaattoreilla ja jaksolla (eli sen kaikki elementit täyttävät suhteen ), niin se on äärellinen. Jos näin on, merkitsemme näiden ryhmien enimmäismäärää . Tällöin kaikki muut ryhmät, joilla on sama ominaisuus, ovat sen tekijäryhmiä. Itse asiassa on helppo osoittaa, että ryhmä on alkeis Abelin 2-ryhmä. Van der Waerden osoitti, että ryhmän järjestys on . Kuten Novikov ja Adyan osoittivat, ryhmä on kuitenkin ääretön. $m$ $n$ $x$ $x^{n}=1$ ${\näyttötyyli B(m,n)}$ $B(m,2)$ $B(m,3)$ $3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}$ $m\geq 2$ $n\geq 4381$ ${\näyttötyyli B(m,n)}$

Heikentynyt Burnside-oletus väittää, että äärellisten generoitujen jaksoryhmien järjestykset ovat rajallisia . Tämän olettamuksen todisti Efim Zelmanov . Äärillisille ryhmille se tarkoittaa, että tietyllä eksponentilla ja tietyllä määrällä generaattoreita on vain äärellisen monta ryhmää. $m$ $n$ $s$ $s$

Epäsäännölliset p-ryhmät

Epäsäännöllisten p-ryhmien luokitus . $p^{p+1}$

Kirjallisuus

Belonogov V. A. Tehtäväkirja ryhmäteoriasta - M .: Nauka , 2000.
Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 .
Hall M. Ryhmien teoria. Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo - M. , 1962.
Khukhro E.I. Abelin p-ryhmien automorfismien p-ryhmistä - Algebra i Logika, 39, N 3 (2000), 359-371.
Berkovich Y. Päävoimajärjestyksen ryhmät, osat I, II, (valmisteilla).
Berkovich Y., Janko Z. Päävoimajärjestyksen ryhmät, osa III, (valmisteilla).
Gorenstein D. Rajalliset ryhmät - NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berliini; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Matematiikka. Inst. Hautes Etud. Sei. 26 (1965), 389-603.
Lubotzky A., Mann A. Tehokkaat p-ryhmät, I: äärelliset ryhmät, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adic-analyyttiset ryhmät, ibid., 506-515.
Weigel T. p-keskusryhmien kombinatoriset ominaisuudet - Freiburg Univ., 1996, preprint.
Weigel T. p-Keskiryhmät ja Poincaren kaksinaisuus - Freiburg Univ., 1996, preprint.

Linkit

GAP-järjestelmä .