Stone-Cech-tiivistys

Stone-Cech-tiivistys (myös Stone- Cech- tai Cech-Stone- tiivistys ) on täysin säännöllisen topologisen tilan maksimitiivistys .

Avaruuden Stone-Cech-tiivistystä kutsutaan yleensä nimellä . $X$ $\beta X$

Historia

Kivi-Cech-tiivistysrakennetta harkitsi ensimmäisen kerran Tikhonov [1] vuonna 1930. Stone [2] ja Eduard Cech [3] kuvasivat sen selkeämmin vuonna 1937 .

Yleinen ominaisuus

$\beta X$ on kompakti Hausdorff-avaruus yhdessä jatkuvan kartoituksen kanssa, joka täyttää seuraavan yleisen ominaisuuden : mikä tahansa jatkuva kuvaus kompaktiin Hausdorff-avaruuteen voidaan laajentaa yksilöllisesti jatkuvaksi kartoitukseksi siten, että seuraava kaavio on kommutatiivinen : $x,$ $f:X\to K$ $K$ $\beta f:\beta X\to K,$

Siinä tapauksessa, että alkuperäinen avaruus oli täysin säännöllinen, kartoitus on homeomorfi tämän kartoituksen kuvaan (eli upotus ). $X$ $X\to \beta X$ $X$

Huomautus

Vaikka universaali ominaisuus määrittelee yksiselitteisesti tiivistymisen isomorfismiin asti , tiivistymisen olemassaolon todistamiseksi on kuvattava eksplisiittinen rakenne.

Rakentaminen

Merkitään kaikkien jatkuvien funktioiden joukolla . Voidaan varmistaa, että yhtälön määrittelemä kuvaus ( Tihonovin kuutio ). $A$ $\alpha \colon X\to [0,1]$ $F:X\to [0,1]^{A}$

{\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A))

on homeomorfismi sen kuvalle . Sulkeminen ja on haluttu tiivistys. $X$ $F(X)\subset [0,1]^{A}$ $F(X)$ $[0,1]^{A}$

Ominaisuudet

If on diskreetti avaruus , sen tiivistys on joukko ultrasuodattimia osajoukkojen hilassa , joilla on Stone-topologia . Ultrasuodattimien joukossa olevien Stone-topologian avoimien joukkojen pohjana voimme ottaa sarjat kaikille mahdollisille $X$ $x,$ $G$ $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ $a\in P(X).$

Muistiinpanot

↑ Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, - Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544-561
↑ Stone, MH (1937), Boolen renkaiden teorian sovellukset yleiseen topologiaan, - Trans. amer. soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375-481
↑ Čech, E. (1937), Kaksikokoisissa tiloissa, - Ann. Matematiikka. (The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4) 38 (4): 823-844

Kirjallisuus

Stone-Cech bicompact -laajennus - Encyclopedia of Mathematics -artikkeli . Kozhevnikova I. G.
Dror Bar-Natan , Ultrafilterit, tiiviys ja Stone-Čech-tiivistys