Mittaa keskittyminen

Mittareiden keskittyminen on periaate, jonka mukaan useiden muuttujien funktion arvo on tietyissä melko yleisissä ja ei liian raskaissa rajoituksissa lähes vakio [1] . Esimerkiksi useimmat korkeaulotteisen yksikköpallon pisteparit ovat lähellä toisiaan. ${\tfrac {\pi }{2}}$

Toimenpiteen keskittymisperiaate perustuu Paul Levyn ideaan . Vitaly Milman tutki sitä 1970 - luvun alussa työssään Banach - tilojen paikallisesta teoriasta . Tätä periaatetta kehitettiin edelleen Milmanin ja Gromovin , Moretin, Pisierin , Shekhtmanin , Talagranin, Ledouxin [ en ja muiden teoksissa.

Perusmääritelmät

Antaa olla metrinen avaruus todennäköisyysmittauksella . Päästää ${\näyttötyyli (X,d,\mu )}$ $\mu$

\alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\,\mu (X\setminus A_{\varepsilon })\mid \mu (A)\geqslant 1/2\,\right\},

missä

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{\,x\mid d(x,A)<\varepsilon \,\right\))

on joukon naapurusto . $\varepsilon$ $A$

Ominaisuutta kutsutaan tilaprofiiliksi . $\alpha$ $X$

Epävirallisesti sanottuna avaruus täyttää mittapitoisuuden periaatteen, jos sen profiili pienenee nopeasti kuin . $X$ $\alpha (\varepsilon )$ $\varepsilon$

Muodollisemmin mittoja sisältävien metriavaruuksien perhettä kutsutaan Levy-perheeksi , jos seuraavat pätevät vastaaville profiileille : $(X_{n},d_{n},\mu _{n})$ $\alpha_{n}$

\forall \varepsilon >0\quad \alpha _{n}(\varepsilon )\to 0\quad {\text{at))\quad n\to \infty .

Jos enemmän

\forall \varepsilon >0\quad \alpha _{n}(\varepsilon )\leq C\cdot \exp(-c\cdot n\cdot \varepsilon ^{2})

joillekin vakioille sekvenssiä kutsutaan normaaliksi Levi-perheeksi . $c,C>0$ $(X_{n},d_{n},\mu _{n})$

Muistiinpanot

Seuraava profiilin määritelmä on vastaava: $\alpha$ $\alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\,\mu (\{\,F\geq \mathop {M} +\varepsilon \,\})\,\right\},$

jossa kaikkien 1-Lipschitzin funktioiden pienin yläraja ja mediaani määräytyy seuraavan epäyhtälöparin avulla

F\colon \,X\to \mathbb {R}

M

F

\mu \{\,F\geq M\,\}\geqslant 1/2,\quad \mu \{\,F\leq M\,\}\geqslant 1/2.

Mitan keskittyminen palloon

Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa Paul Levyyn . Pallomaisen isoperimetrisen epäyhtälön mukaan pallon kaikista osajoukkoista tietyllä pallomitalla pallomainen segmentti $A$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\sigma _{n}(A)$

B(x_{0},R)_{\mathbb {S} ^{n))=\left\{\,x\in \mathbb {S} ^{n}\mid \mathrm {dist} (x,x_{0})\leqslant R\,\right\}

millä tahansa on pienin naapurusto mille tahansa kiinteälle . $R$ $\varepsilon$ ${\displaystyle A_{\varepsilon ))$ $\varepsilon >0$

Soveltamalla tätä havaintoa homogeeniseen todennäköisyysmittaukseen ja sellaiseen joukkoon , että saadaan seuraava epäyhtälö: $\sigma _{n}$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $A$ $\sigma _{n}(A)=1/2$

\sigma _{n}(A_{\varepsilon })\geqslant 1-C\cdot \exp(-c\cdot n\cdot \varepsilon ^{2}),

missä ovat universaalit vakiot. Siksi sekvenssi on normaali Lévy-perhe , ja mittapitoisuuden periaate pätee tähän välilyöntien sarjaan. $C,c$ $X_{n}=\mathbb {S} ^{n}$

Sovellukset

Oletetaan, tarkoittaa kaikkien kuperoiden monikulmioiden joukkoa yksikköneliössä, jonka kärjet ovat -hilassa . Sitten pienille useimmat monikulmiot ovat lähellä jotain kuperaa joukkoa . ${\mathcal {P}}_{\varepsilon }$ $\varepsilon$ $(\varepsilon \cdot \mathbb {Z} )^{2}$ $\varepsilon >0$ ${\mathcal {P}}_{\varepsilon }$ $L$
- Tarkemmin sanottuna sitä kuvaa epätasa-arvo [2] $L$
${\sqrt {1-|x|}}+{\sqrt {1-|y|}}\geq 1.$
Pieni vääristymä Lemma
Dvoretskyn lause

Katso myös

Martingale Duba

Muistiinpanot

↑ Michel Talagrand, A New Look at Independence, The Annals of Probability, 1996, Voi. 24, nro 1, 1-34
↑ Barany, Imre. "Kuperoiden hilan monikulmioiden rajamuoto." Discrete & Computational Geometry 13.1 (1995): 279-295.

Lue lisää

Ledoux, Michel. Mittausilmiön keskittyminen (neopr.) . - American Mathematical Society, 2001. - ISBN 0-8218-2864-9 .
A. A. Giannopoulos, V. Milman, Concentration property on probability spaces , Advances in Mathematics 156 (2000), 77-106.