Eudoxus-käyrä

Eudoxus- käyrä ( kreikaksi : καμπύλη [γραμμή], joka tarkoittaa "käyrä [viiva]") on käyrä , jonka yhtälö on suorakulmaisina koordinaatteina

x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),

josta ratkaisu x = y = 0 jätetään pois .

Vaihtoehtoiset parametrisoinnit

Polaarisessa koordinaattijärjestelmässä Eudoxus-käyrällä on yhtälö

r=a\sec ^{2}\theta .

Vastaavasti käyrällä on parametrinen esitys

x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).

Historia

Tätä neljännen asteen käyrää tutki kreikkalainen tähtitieteilijä ja matemaatikko Eudoxus of Cnidus (408-347 eKr.) kuution kaksinkertaistamisen klassisen ongelman yhteydessä .

Ominaisuudet

Eudoxus-käyrä on symmetrinen sekä x- että y -akselin suhteen . Se leikkaa x - akselin pisteissä (± a ,0). Käyrässä on käännepisteitä

\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

(neljä käännepistettä, yksi kussakin kvadrantissa). Käyrän ylempi puolisko lähestyy asymptoottisesti muotoa , ja itse asiassa voimme kirjoittaa $x^{2}/aa/2$ $x\to \infty$

y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}={\frac { x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x} }\oikea)^{2n},

missä

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}

on Katalonian numero . $n$

Muistiinpanot

Kirjallisuus

J. Dennis Lawrence. Luettelo erityisistä tasokäyristä . - Dover Publications, 1972. - S. 141-142 . - ISBN 0-486-60288-5 .

Linkit

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus" , MacTutor History of Mathematics -arkisto , St Andrewsin yliopisto .
Weisstein, Eric W. Kampyle of Eudoxus (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .