Osgood käyrä

Matematiikassa Osgood-käyrä on ei-leikkaava käyrä ( Jordan- käyrä tai kaari), jonka pinta-ala on positiivinen [2] . Muodollisemmin ne ovat käyriä euklidisessa tasossa positiivisella kaksiulotteisella Lebesgue-mitalla .

Tarinat

Ensimmäiset esimerkit tällaisista käyristä löysivät William Fogh Osgood [3] ja Lebesgue [4] . Molemmissa esimerkeissä on joissakin käyrien osissa positiivinen pinta-ala, mutta toisissa osissa pinta-ala on nolla. Tämän puutteen korjasi Knopp [5] , joka löysi käyrän, jossa on positiivinen pinta-ala jokaisen pisteensä läheltä, perustuen Vaclav Sierpinskin aikaisempiin rakenteisiin . Knoppin esimerkillä on se lisäetu, että rakennettaessa pinta-ala voi olla mikä tahansa murto-osa kuperan rungon pinta-alasta [6] .

Fraktaalirakenne

Vaikka useimmat tilantäyttökäyrät eivät ole Osgood-käyriä (niillä on positiivinen pinta-ala, mutta ne leikkaavat itsensä usein äärettömän monta kertaa, mikä rikkoo Jordanin käyrän määritelmää), on mahdollista muokata tilantäyttökäyrien rekursiivista rakennetta tai fraktaalikäyrät Osgood-käyrän saamiseksi [7] .

Aluksi Osgood piti vuoden 1903 julkaisussaan käyrää, joka täyttää neliön [8] . Tämä katkoviiva sai hänen nimensä [1] . Myöhemmin tämä nimi yleistettiin muihin hahmoihin. Esimerkiksi Knoppin konstruktio käyttää kolmioiden rekursiivista jakoa pienempien kolmioiden pareihin, joilla on yhteinen kärkipiste, poistamalla kiiloja. Jos poistettavat kiilat jokaisella rakenteen tasolla muodostavat muuttumattoman (murto-osan) osan kolmioiden pinta-alasta, tuloksena on Kochin käyrän kaltainen Cesaron fraktaali , mutta kun poistetaan kiilat, joiden pinta-alat pienenevät. nopeammin, saamme Osgood-käyrän [6] .

Denjoy-Ries rakentaminen

Toinen tapa muodostaa Osgood-käyrä on käyttää kaksiulotteista versiota Smith-Volterra-Cantor-joukosta , täysin irrallista pisteiden joukkoa, jonka pinta-ala ei ole nolla, johon Denjoy-Ries-lause on sovellettu , jonka mukaan mikä tahansa rajattu ja täysin irti tason osajoukko on osajoukko Jordanin käyrä [9] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Slyusar, V. Fraktaaliantennit. Pohjimmiltaan uudenlainen "rikkinäinen" antenni. Osa 2 . Elektroniikka: tiede, teknologia, liiketoiminta. - 2007. - nro 6. S. 86 - 87. (2007). Haettu 27. huhtikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 3. huhtikuuta 2018.
  2. ↑ Rado (1948) .
  3. ↑ Osgood, 1903 .
  4. ↑ Lebesgue, 1903 .
  5. ↑ Knopp, 1917 .
  6. ↑ 12 Knopp , 1917 ; Sagan, 1994 , jakso 8.3, Osgood Sierpinskin ja Knoppin käyrät, s. 136–140 Arkistoitu 29. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa .
  7. ↑ Knopp, 1917 ; Lance, Thomas, 1991 ; Sagan 1993 ).
  8. ↑ William F. Osgood . Jordanian positiivisen alueen käyrä // Transactions of the American Mathematical Society . - 1903. - T. 4 . — S. 107–112 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1903-1500628-5 . — .
  9. ↑ Balcerzak, Kharazishvili, 1999 .

Kirjallisuus

Linkit